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Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x 0 Reveja o capítulo introdutório de LIMITES, clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu BROWSER. Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.
Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x 0 para x^0 +^ Δ^ x^0 :
Se você não entendeu porque o quociente acima é igual à tg α , revise TRIGONOMETRIA, clicando AQUI. Para RETORNAR, clique em VOLTAR no seu BROWSER. Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x 0 , como sendo o limite da razão incremental acima, quando Δ x 0 tende a zero, e é representada por f ' (x^0 ) , ou seja:
Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx. Observe que quando Δ x 0 → 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo β com o eixo horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo S P Q = α .tende ao valor do ângulo β. Ora, quando Δ x 0 → 0 , já vimos que o quociente Δ y 0 / Δ x 0 representa a derivada da função y = f(x) no ponto x 0. Mas, o quociente Δ y 0 / Δ x 0 representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo S P Q = α , onde P é o vértice do ângulo. Quando Δ x 0 →^ 0 , o ângulo S P Q =^ α^ , tende ao ângulo β.
Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x 0 , é igual numericamente à tangente do ângulo β. Esta conclusão será muito utilizada no futuro.
Podemos escrever então: f '(x 0 ) = tgβ Guarde então a seguinte conclusão importante: A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x 0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x 0.
Estou falando há muito tempo em DERIVADAS, e ainda não calculei nenhuma! Vamos lá!
Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções - as quais serão mostradas no decorrer deste curso - mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição. Isto servirá como um ótimo exercício introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da definição acima. Calcule a derivada da função y = x^2 , no ponto x = 10. Temos neste caso: y = f(x) = x^2 f(x + Δ x) = (x + Δ x)^2 = x^2 + 2x.Δ x + (Δ x)^2 f(x + Δ x) - f(x) = x 2 + 2x.Δ x + (Δ x)^2 - x 2 = 2x.Δ x + (Δ x)^2 Δ y = f(x + Δ x) - f(x) = x 2 + 2x.Δ x + (Δ x)^2 - x 2 = 2x.Δ x + (Δ x) 2 Portanto,
Observe que colocamos na expressão acima, Δ x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido. Portanto a derivada da função y = x^2 é igual a y ' = 2x. Logo, a derivada da função y = x^2 , no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 =
Qual a interpretação geométrica do resultado acima? Ora, a derivada da função y = x^2 , no ponto de abcissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x 2 , no ponto x = 10 , será também igual a 20 , conforme teoria vista acima. Ora, sendo β o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x , β será um ângulo tal que tg β = 20. Consultando uma tábua trigonométrica OU através de uma calculadora científica, concluímos que β ≈ 87º 8' 15". Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x 2 , no ponto de abcissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo igual aproximadamente a β ≈ 87º 8' 15". Agora, calcule como exercício inicial, usando a definição, a derivada da função y = 5x no ponto de abcissa x = 1000. Resposta: 5. Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 02 de janeiro de 2000. 1 - Vimos na lição anterior, que a derivada de uma função y = f(x) no ponto x = x0 pode ser determinada, calculando-se o limite seguinte:
Onde:
A rigor, para o cálculo da derivada de uma função, teremos que calcular o limite acima, para cada função dada. É entretanto, de bom alvitre, conhecer de memória as derivadas das principais funções. Não estamos aqui, a fazer a apologia do
g) y = 1 / x ⇒ y ' = (1'.x - 1. x') / x 2 = - 1 / x 2 h) y = x.sen(x) ⇒ y ' = x'. sen(x) + x. (senx)' = sen(x) + x.cos(x) i) y = x + tg(x) ⇒ y ' = 1 + sec 2 (x) Agora determine a derivada da função y = x^2 .tg(x). Resposta: y ' = 2.x.tg(x) + [x.sec(x)]^2 2 - Equação da reta tangente à curva representativa da função y = f(x) no ponto x = x 0 Considere a figura abaixo:
Seja determinar a equação da reta r tangente à curva y = f(x), no ponto x = x 0. Já sabemos da aula anterior , que tg^ β^ = f '(x 0 ) , onde^ β^ é o ângulo formado pela reta r com o eixo dos x e f '(x 0 ) é o valor da derivada da função y = f(x) no ponto de abcissa x = x 0.
Também já sabemos da Geometria Analítica que o valor da tg β é igual ao coeficiente angular m da reta r , ou seja: m = tg^ β^. Como já sabemos da^ Analítica que a equação da reta r, é y - y 0 = m(x - x 0 ) , vem imediatamente que a equação da reta tangente procurada será então dada por:
y - y 0 = f '(x 0 ) (x - x 0 )
Exemplo: Qual a equação da reta tangente à curva representativa da função y = f(x) = 4x^3 + 3x 2 + x + 5, no ponto de abcissa x = 0? Ora, f '(x) = 12x^2 + 6x + 1. Portanto, a derivada no ponto de abcissa x = 0, será: f '(0) = 12.0^2 + 6.0 + 1 = 1 Logo, f ' (0) = 1. Portanto, para achar a equação da reta tangente no ponto de abcissa x = 0, basta agora, determinar o valor correspondente de y da função, para x = 0.
Teremos: x = 0 ⇒ y = f(0) = 4.0^3 + 3.0^2 + 6.0 + 5 = 5 Então, o ponto de tangência é o ponto P(0, 5). Daí, vem finalmente que: y - 5 = 1. (x - 0) ∴ y - 5 = x ∴ y = x + 5.
Resposta: a equação da reta tangente à curva y = 4x 3 + 3x 2 + 6x + 5 , no ponto P(0,5) , é y = x + 5.
Agora resolva este:
Determinar a equação da reta tangente à curva representativa da função y = x 3 , no ponto P de abcissa x = 2. Resposta: y = 12x - 16. Nota : a resolução desta questão requer noções de derivadas Uma lâmpada de um poste de iluminação pública está situada a uma altura de 6m. Se uma pessoa de 1,80m de altura, posicionada embaixo da lâmpada, caminhar afastando-se da lâmpada a uma velocidade de 5m/s, com qual velocidade se desloca a extremidade de sua sombra projetada na rua? SOLUÇÃO: Considere a figura a seguir:
Supondo que a pessoa partiu do ponto O a uma velocidade de 5m/s, depois de t segundos, ela terá percorrido a distância d = 5.t e estará no ponto B. Como a luz se propaga em linha reta, a ponta da sombra da pessoa, estará no ponto S. Seja y esta distância. Pela semelhança dos triângulos BAS e OLS, poderemos escrever:
Substituindo os valores, vem:
Daí, fica: 6(y – 5t) = 1,80.y 6y – 30t = 1,80y 6y – 1,80y = 30t 4,20y = 30t y = (30/4,20)t
Portanto, y = 7,14t Ora, a velocidade v do ponto S será a derivada dy/dt, ou seja:
Como y^ =^ 7,14t,^ vem imediatamente que:
