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FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA: UM ENFOQUE APLICADO AO ENSINO
TÉCNICO
Maristela de Quadros Albé 1
Rosane Maria Jardim Filippsen
2
Resumo
Este artigo propõe o emprego do software Advanced Grapher para realizar uma
atividade que envolve leitura, interpretação, construção de gráficos e aplicações de
funções trigonométricas do tipo seno e cosseno. Embora seja uma proposta, esta
atividade foi desenvolvida na 2ª série do Ensino Médio do curso de Eletrônica da
Fundação Escola Técnica Liberato Salzano Vieira da Cunha, em Novo Hamburgo, RS.
Palavras-chave : Função trigonométrica, Circuitos senoidais, Software gráfico.
Abstract
This article proposes the use of a software called “Advanced Grapher” as a tool
in an activity of reading, interpreting and drawing of sine and cossine trigonometric
functions’ graphics. Although it is a proposal, this activity was developed with High
School second grade students from the electronics course at Fundação Escola Técnica
Liberato Salzano Vieira da Cunha, at Novo Hamburgo – RS.
Keywords: Trigonometrics function, sine circuit, graphic software.
1 Introdução
Os avanços tecnológicos têm causado modificações significativas nos
paradigmas educacionais, provocando necessidade de nova consciência sobre como
construir conhecimento. A utilização crescente de recursos da informática, como
softwares educativos e o acesso a Internet, favorece a expressão de idéias na construção
de um sujeito ativo, autônomo, produtivo e comprometido com o mundo, exigindo nova
postura do professor frente a si mesmo, ao aluno e ao ato de conhecer.
As transformações ocorridas no mundo contemporâneo fizeram com que a
Educação Matemática fosse se adequando a uma nova realidade. Cada vez mais a
matemática está presente nas diversas atividades da vida contemporânea, daí a
necessidade de se proporcionar aos jovens um conhecimento matemático capaz de
inseri-los no mundo do trabalho como cidadãos conscientes. A matemática é uma forma
de perceber e atuar no mundo, já que é um conhecimento construído por indivíduos que
interagem com um contexto natural, social e cultural.
A construção do saber não acontece se o educando não interage, não participa
dessa construção, assim, entende-se que é falsa a idéia que o aluno passivo constrói o
conhecimento. Nesse sentido a implantação da Informática Educativa nas escolas deve
1 Professora da Fundação Escola Técnica Liberato Salzano Vieira da Cunha. Mestre em Engenharia com
ênfase em Energia, pela ULBRA. E-mail: [email protected] 2 Professora da Fundação Educacional Encosta Inferior do Nordeste, Faculdade de Engenharia e
Matemática, FACCAT. Mestre em Ensino de Ciências e Matemática, pela ULBRA. E-mail:
[email protected]
ater-se a essa questão fundamental que é a de tornar o aluno o mais ativo possível,
respeitando porém, suas características individuais. Logo, os educandos
precisam aprender a investigar, dominar as diferentes formas de acesso à informação, desenvolver a capacidade crítica de avaliar, reunir e organizar informações mais relevantes. Necessitam de metodologias que desenvolvam habilidades para manejar e produzir conhecimento, que levem ao questionamento, às manifestações de curiosidade e criatividade e ao seu posicionamento como sujeitos diante da vida. (MORAES, 2000, 144)
A escola que pretende um aluno ativo, reflexivo e criativo precisa proporcionar a
esse aluno situações que exijam que ele faça, experimente, enfim que reflita para tomar
decisões. A interação aluno-computador pode ser uma ótima oportunidade para o
educando desenvolver o hábito de buscar informações e resolver problemas, exercitando
o pensamento e o raciocínio. O computador possibilita a manipulação dos símbolos,
modela a realidade, cria o virtual para torná-lo concreto. De acordo com os Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática,
o bom uso que se possa fazer do computador na sala de aula também depende da escolha de softwares, em função dos objetivos que se pretende atingir e da concepção de conhecimento e de aprendizagem que orienta o processo.(1998,
O presente trabalho tem por objetivo o estudo de funções trigonométricas do tipo
y = b + asen ( kx + q ) e y = b + a cos( kx + q ), utilizando um software gráfico e enfocando a
aplicação destas funções em conteúdos curriculares nas disciplinas da área técnica do
curso de Eletrônica. Para tal, é importante que o aluno conheça os diferentes modelos de
funções e que seja estimulado por meio de atividades que permitam a construção do
conhecimento.
Justifica-se essa abordagem do conteúdo, pois se entende que dessa forma será
dada continuidade ao trabalho desenvolvido pela disciplina de Matemática, no estudo de
funções na primeira série do Ensino Médio e também da-rá subsídios para que o aluno
construa alguns conceitos como amplitude, translação, período, deslocamento de fase ou
defasagem e freqüência utilizados no Ensino Profissional.
O recurso computacional utilizado no desenvolvimento das atividades pode ser
um software livre como o Scilab ou outro software de análise matemática, que o
professor utilize e seja de fácil acesso aos alunos. Neste trabalho utiliza-se o software
matemático Advanced Grapher por ser licenciado para uso na Fundação Liberato.
Sugere-se assim uma seqüência de atividades a serem desenvolvidas para que o
aluno observe e conclua os efeitos determinados pelos coeficientes das funções, em seus
respectivos gráficos, por meio do uso do software, bem como das aplicações no ensino
profissional.
2 Fundamentos conceituais
Para que esta atividade tenha êxito, é importante que o estudo de funções
desenvolvido na primeira série tenha sido ministrado por meio deste enfoque. Para
demonstrar a abordagem, utilizar-se-á, como exemplo, a função quadrática e algumas
famílias desta função, demonstrando como se pode obter as noções de alongamento,
compressão, translação e reflexão, a partir do trabalho anterior já realizado.
Para os seis grupos de famílias de funções quadráticas apresentadas a seguir, os
alunos construíram gráficos observando domínio, contra-domínio, imagem e escreveram
as modificações ocorridas nas outras curvas se comparadas com a curva A.
(A)
2 y = x
(B) ( )
2 y = x + 2
(C) ( )
2 y = x − 3
Quando se compararam as curvas B e C com a curva A, observa-se, nesta família de funções, que houve
translação horizontal de duas unidades para a esquerda e três unidades para a direita respectivamente.
Grupo 06
(A)
2 y = x
(B) ( 1 ) 5
2 y = x + +
(C) ( 2 ) 4
2 y = x − −
Quando se compararam as curvas B e C com a curva A, observa-se, nesta família de funções, que houve
translação vertical de cinco unidades para cima e quatro unidades para baixo, houve também translação
horizontal de uma unidade para a esquerda e duas unidades para a direita respectivamente.
Convém salientar que, neste momento, interessa apenas mostrar como os alunos
construíram as noções de alongamento, compressão, translação e reflexão.
3 Proposta de trabalho
As funções trigonométricas podem ser modelos matemáticos de vários
fenômenos que se repetem como as variações diárias na temperatura da atmosfera
terrestre, a pressão sanguínea do coração e o nível de água em uma bacia marítima
devido à sua periodicidade. Também são periódicos fenômenos como a tensão e a
corrente elétrica domésticas, o campo eletromagnético gerado para aquecer comida no
microondas, bem como o comportamento ondulatório de notas musicais, fluxo de caixa
em negócios sazonais e funcionamento de máquinas rotativas. Ainda pode-se citar como
fenômenos periódicos as fases da lua, as estações do ano, o clima, o movimento dos
planetas entre outros.
Porém, a proposta de trabalho apresentada desenvolve conceitos e gráficos das
funções trigonométricas seno e cosseno aplicados à área de eletrônica para análise de
circuitos com excitação senoidal, com o auxílio do software gráfico Advanced Grapher.
Para tal, propõe-se uma análise do que ocorre com estas funções quando seus
parâmetros são alterados já que, muitas das aplicações em diferentes áreas do
conhecimento são modeladas por funções trigonométricas do tipo y = b + asen ( kx + q ) e
y = b + a cos( kx + q ) sendo a , b , k e q constantes reais. Os gráficos dessas funções podem
ser obtidos alongando, comprimindo, transladando e refletindo apropriadamente cada
gráfico, a partir das funções y = senkx e y = cos kx respectivamente.
3.1 Aplicação matemática
Atividade: Construir os gráficos de cada conjunto de funções, a seguir, em um
mesmo plano cartesiano e escrever as alterações observadas em cada um dos conjuntos,
se comparadas com o gráfico da função y = senkx ou y = cos kx. As conclusões colocadas
junto aos gráficos em itálico são algumas observações que os alunos obtiveram ao fazer
a atividade proposta, a partir das funções y = senkx e y = cos kx respectivamente.
Grupo 01
Para as funções y = b + asen ( kx + q ) e y = b + a cos( kx + q ), faz-se q = 0 , k = 1 , b = 0 ,
a ≠ 0 e obtém-se as famílias de funções y = asenkx e y = a cos kx
y senx
y senx
y senx
x
y
−1π 1π 2π 3π 4π
−
−
−
−
1
2
3
4
0
Se estes mesmos gráficos forem construídos em um período, tem-se:
x
y
0.5π 1π 1.5π 2π
−
−
−
−
1
2
3
4
0
- mudando o coeficiente a , a curva alonga na vertical e oscila entre –a e a - a curva se repete a cada 2 π
y x
y x
y x
cos 4
cos 2
cos
- mudando o coeficiente k , _a curva alonga na horizontal
- a curva se repete a cada_ k
2 π , logo o período das curvas é 2 π , 4 π e 6 π respectivamente
cos( 4 )
cos 2
cos
y x
y x
y x
x
y
−0.5π 0.5π 1π 1.5π 2π
−
1
0
Se estes mesmos gráficos forem construídos em um período, tem-se:
x
y
0.5π 1π 1.5π 2π
−
1
0
- mudando o coeficiente k , _a curva comprime na horizontal
- a curva se repete a cada_ k
2 π logo o período das curvas é 2 π , π e 2
π respectivamente
Grupo 03
Nas funções y = senx , y = cos x e y = −cos x faz-se q = 0 , k = 1 , b = 0 e a = 1 ou
a =− 1.
Para as demais funções y = b + asen ( kx + q ) e y = b + a cos( kx + q ), faz-se q = 0 , k ≠ 0 ,
b = 0 , a ≠ 0 e obtém-se as famílias de funções y = asenkx e y = a cos kx.
x y sen
x y sen
y senx
x
y
−1π 1π 2π 3π 4π 5π
−
−
−
1
2
3
0
Se estes mesmos gráficos forem construídos em um período, tem-se:
x
y
1π 2π 3π 4π
−
−
−
1
2
3
0
- mudando k , a curva 2
x y = sen alonga na horizontal com período de 4 π, porque k
P
π
- depois de alongar na horizontal mudando a , a curva 2
x y = sen alonga na vertical e oscila entre − 3 e 3
y x
y x
y x
y x
2 cos 3
2 cos 3
cos
cos
x
y
1π 2π
−
−
1
2
0
Se estes mesmos gráficos forem construídos em um período, tem-se:
x
y
1π 2π
−
−
1
2
0
- a curva y = −cos xse opõe a curva y = cos _x, ou seja, houve reflexão da curva
- a curva_ (^) y = − 2 cos 3 xé a reflexão da curva (^) y = 2 cos 3 x - além da reflexão citada no item anterior nas curvas y = − 2 cos 3 x e y = 2 cos 3 x, ocorreu também
X
Y
−1π 1π 2π
−
−
−
1
0
Se estes mesmos gráficos forem construídos em um período, tem-se:
X
Y
1π 2π
−
−
−
1
0
- a curva y = −cos xse opõe a curva y = cos _x, ou seja, houve reflexão
- depois da reflexão, mudando o coeficiente_ b , a curva desloca ou translada na vertical para baixo duas e
uma unidade respectivamente
- a curva se repete a cada 2 π
y senx
y senx
y senx
X
Y
−1π 1π 2π
−
−
1
2
3
4
5
0
Se estes mesmos gráficos forem construídos em um período, tem-se:
X
Y
1π 2π
−
−
1
2
3
4
5
0
- mudando o coeficiente a, a curva alonga na vertical e oscila entre –a e a - depois de alongar, mudando o coeficiente b , a curva desloca ou translada na vertical três unidades
para cima
- a curva se repete a cada 2 π
y x
y x
y x
y x
2 3 cos
3 cos
cos
cos
X
Y
1π 2π
−
−
2
0
X
Y
−1π 1π 2π
−
−
2
0
Se estes mesmos gráficos forem construídos em um período, tem-se:
- a curva y = −cos xse opõe a curva y = cos _x, ou seja, houve reflexão da curva
- depois da reflexa,o mudando o coeficiente_ a , a curva alonga na vertical e oscila entre –a e a - depois da reflexão e do alongamento , mudando o coeficiente b , a curva desloca ou translada na vertical
duas unidades para baixo
- a curva se repete a cada 2 π
Grupo 05
Nas funções y = senx , y = cos x e y = −cos x , faz-se q = 0 , k = 1 , b = 0 e a = 1 ou
a =− 1.
Para as demais funções y = b + asen ( kx + q ) e y = b + a cos( kx + q ) faz-se q ≠ 0 ; k = 1 ;
b = 0 e a = 1 ou a =− 1 , obtém-se as famílias de funções y = asen ( kx + q ) e y = a cos( kx + q ).
Será de grande valia se estas famílias forem escritas na forma
k
q
y asenk x e
k
q
y a cos k x.
π = −
π = +
y sen x
y sen x
y senx
X
Y
0.5π 1π 1.5π 2π 2.5π
−
1
0
- a curva y = −cos xse opõe a curva y = cos _x, ou seja, houve reflexão
- depois da reflexão ocorrerá a translação horizontal de_ 2
π para a função
π = − − 2
y cos x e de 4
π −
para a função
π = − + 4
y cos x
Grupo 06
Nas funções: y = senx e y = cos x faz-se q = 0 , k = 1 , b = 0 e a ≠ 0.
Para as demais funções y = b + asen ( kx + q ) e y = b + a cos( kx + q )faz-se q ≠ 0 , k ≠ 0 ,
b ≠ 0 e a ≠ 0 ,obtém-se as famílias de funções y = b + asen ( kx + q ) e y = b + a cos( kx + q ).
Optou-se, neste grupo de funções, por uma seqüência de alterações nos
parâmetros que conduzem às mesmas conclusões feitas nos grupos anteriores, bem
como a construção gráfica em apenas um período.
π = − +
π =− +
π =− +
x y sen
x y sen
x y sen
x y sen
x y sen
y senx
X
Y
1π 2π 3π 4π
−
2
4
0
π =− + −
π = + −
π = −
π = −
2 4 cos 3
1 4 cos 3
4 cos 3
cos 3
cos 3
cos
y x
y x
y x
y x
y x
y x
X
Y
1π 2π
−4.
−2.
0
Conclusões e definições
efeito
Observando as funções y = b + asen ( kx + q ) e y = b + a cos( kx + q ) e comparando com
as funções y = senkx e y = cos kx , respectivamente, pode-se concluir que:
Alongamento e compressão
vertical
ou
Amplitude
- o coeficiente a determina o alongamento ou a compressão vertical da
curva e, por conseqüência, determina também o intervalo em que a curva
oscila, -a a a ;
- se a é negativo ( a < 0 ) além do alongamento ou da compressão ocorrerá
também a reflexão da curva em torno de seu eixo;
- se a > 1 (ou seja − 1 > a > 1 ) a curva alonga na vertical e se
a < 1 (ou seja − 1 < a < 1 ) a curva comprime na vertical;
- este alongamento ou compressão recebe o nome de amplitude da curva;
- a amplitude é obtida fazendo a.
Alongamento e compressão
horizontal
ou Período
- o coeficiente k determina o alongamento ou a compressão horizontal da
curva e, por conseqüência, determina também o intervalo em que a curva se
repete;
- se k > 1 (ou seja − 1 > k > 1 ), a curva comprime na horizontal e se
k < 1 (ou seja − 1 < k < 1 ), a curva alonga na horizontal;
- o intervalo em que a curva se repete é denominado período e é obtido
fazendo
k
P
2 π
- só haverá alteração no período se k ≠ 1.
É importante destacar que o exposto até o momento é aplicado em sala de aula,
na disciplina de matemática, do Curso Técnico em Eletrônica, da Fundação Liberato.
Porém, os conceitos apresentados a seguir fizeram parte de uma pesquisa que forneceu a
base e o norte no desenvolvimento do conteúdo matemático, dando significado e
fazendo o elo, entre a matemática e o conteúdo técnico apresentado.
3.2 Circuitos com excitação senoidal - análise gráfica e matemática do sinal senoidal
Propõe-se, como abordagem técnica do trabalho de análise gráfica das funções
trigonométricas seno e cosseno, o estudo gráfico e matemático da forma de onda
senoidal, conteúdo de importância fundamental para a análise de circuitos em corrente
alternada já que, a geração, transmissão, distribuição e consumo de energia elétrica são
feitas na forma de tensões e correntes senoidais. Segundo Nilsson,
... a suposição de que o sistema está funcionando no regime senoidal quase sempre simplifica o projeto dos circuitos. Assim, um engenheiro pode formular as especificações em termos de uma resposta senoidal e projetar o sistema para que atenda a essas especificações. (NILSSON, 1999, 200)
É importante salientar que a função cossenoidal é a função senoidal defasada de
o
90 , portanto são equivalentes e, para o presente trabalho, foi escolhida a função seno.
Apresenta-se, a seguir, formas de representação de um sinal senoidal.
- Graficamente em forma de onda ⇒⇒⇒⇒ representa visualmente o sinal, tal como pode ser
observado em instrumentos de bancada como o osciloscópio.
Graficamente, uma tensão senoidal pode ser representada de duas maneiras:
- no domínio temporal
- no domínio angular
Onde,
V P = tensão de pico = amplitude máxima, positiva ou negativa, que a tensão senoidal
pode atingir, dada em volts ( V ). É o a na função
k
q
y b asenk x ;
v(t) [ V]
t(s)
V P
−V P
V PP
2
T T
0
v( θ) [V ]
ωt =θ(rd )
V P
−V P
0 π (^2) π
V PP = tensão de pico a pico = amplitude total entre os valores máximos positivo e
negativo, dada em volts ( V ) ⇒ V PP = 2 ⋅ VP ;
T = período = tempo que a função necessita para completar um ciclo, dado em
segundos ( s ). É o
k
na função
k
q
y b asenk x ;
f = freqüência = número de vezes que um ciclo se repete por segundo, dado em Hertz
( Hz ) ou em ciclos por segundo ( c/s ). E,
T
f =. É o
k
na função
k
q
y b asenk x.
- Forma trigonométrica ⇒⇒⇒⇒ representa matematicamente a função com todos os seus
detalhes, como: amplitude, freqüência angular e fase inicial, além de permitir o cálculo
de valores instantâneos.
Matematicamente, o gráfico da tensão senoidal no domínio temporal é dado por:
v ( t ) = VP ⋅ sen ω t e no domínio angular é dado por v ( θ )= VP ⋅ sen θ;
onde, v ( t ) = v ( θ )⇒ valor da tensão no instante t ou para o ângulo θ , em volts ( V );
ω = freqüência angular ou velocidade angular = é a variação do ângulo θ do sinal em
função do tempo, em radiano por segundo ( rd/s ). É o k na função
k
q
y b asenk x ;
θ = ângulo, em radiano ( rd ).
E, se v ( t ) = v ( θ ), então θ = ω t e se θ = 2 π, então t = T e 2 π = ω T.
Assim,
T
T
f = ⇒
f
T = ⇒ 2 f
f 2
f
1
ω ⇒ ω = 2 π f.
Exemplo 1: Dado o sinal senoidal a seguir (ALBUQUERQUE, 2002, 25),
pode-se analisar:
- tensão de pico ⇒ VP = 5 V ;
- tensão de pico a pico ⇒ VPP = 10 V ;
- período ⇒ T = 0 , 25 s , pois um ciclo completo se repete a cada 0 , 25 s ;
- freqüência ⇒ f = 4 c/s = 4 Hz , pois em 1 s são completados 4 ciclos.
Então, matematicamente, tem-se:
- freqüência ⇒ 4 Hz
T
f = = =
- freqüência angular ⇒ ω = 2 π⋅ f = 2 π⋅ 4 = 8 π rd/s ;
- tensão no domínio temporal ⇒ v ( t ) = VP ⋅ sen ϖ t = 5 ⋅ sen 8 π t
- se t = 0 , 6 s , então o valor da tensão será v ( t ) = 5 ⋅ sen ( 8 π 0 , 6 ) = 2 , 94 V , conforme
representação no gráfico a seguir.
5
0 0,25 0,5 0,75 1,
t(s)
ms = milisegundos 0 , 1 ms = 100 μ s
μ s = microsegundos
Em análise de circuitos com excitação senoidal, não se tem uma referência
absoluta de tempo, portanto o conceito de fase inicial é substituído pelo conceito de
defasagem e adota-se um dos sinais do circuito como referência de fase 0 °.
Defasagem = ∆ θ ⇒ diferença de fase entre dois sinais de mesma freqüência. É
medida tendo um dos sinais como referência.
Exemplo 3: Qual a defasagem entre os sinais
( ) ( V )
v 1 t 10 sen t
ω e
v 2 ( t ) = 5 ⋅ sen ω t ( V ) (ALBUQUERQUE, 2002, 29)?
De acordo com o gráfico a seguir, é possível observar que v 1 está adiantado de rd
em
relação a
2
v ou
2
v está atrasado de rd
em relação a v 1. Portanto, a defasagem de v 1
em relação a
2
v é de rd
∆θ = ou a defasagem de
2
v em relação a v 1 é de rd
- Diagrama fasorial ⇒⇒⇒⇒ forma de representar um sinal senoidal utilizando um fasor.
Representa graficamente o fenômeno de forma mais simplificada que a forma de onda,
permitindo operações de adição e subtração de vários sinais.
v (V )
t ( μs)
10
8,
0
rd 3
π ≡
100
v ( V) 10
5
0
2
π ∆θ=
2
π π 2
3 π (^2) π 2
5 π (^3) π 2
7 π (^4) π
ωt (rd)
Fasor – é um número complexo usado para representar a amplitude e a fase de
um sinal senoidal. É um segmento orientado girante de amplitude igual ao valor de pico
( V P ) do sinal, girando com velocidade angular ω , no sentido anti-horário.
Onde, OP = VP e sen θ =projeção de OP no eixo vertical, o que reproduz a tensão
senoidal v ( t ) = VP ⋅ sen ω t e v ( θ )= VP ⋅ sen θ
O valor instantâneo da tensão será dado por, v ( t ) = VP ⋅ sen (ω t + θ 0 )quando em t = 0 o vetor
OP formar um ângulo θ 0 com a referência do diagrama fasorial (parte positiva do eixo
horizontal), o que significa que o sinal possui uma fase inicial.
θ 0 > 0 ⇒ se o sinal inicia seu ciclo adiantado
θ 0 < 0 ⇒ se o sinal inicia seu ciclo atrasado
Exemplo 4: Representar os seguintes sinais senoidais graficamente e através do
diagrama fasorial correspondente, determinando a defasagem entre eles,
Função Senoidal v(t)
v (θ )
P
θ 0
V P
t t
⇒θ=ω
θ ω=
v ( θ)
V P
−V P
0
ωt
θ 0
v ( θ)
V P θ 0
v 0
t = 0 v 0
ω
ω
ω t
v ( θ)
−V P
0
θ 0
v ( θ)
−v 0 V P^ θ 0
t = 0 −v 0
V P
