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ESPAÇOS AMOSTRAIS
I. EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
Experimentos aleatórios são experiências em que não é possível prever o seu resultado, quando repetidas nas mesmas condições.
Por exemplo: a) se lançarmos uma moeda e observarmos a face para cima, o resultado será “cara” ou “coroa” b) se lançarmos um dado e observarmos o número obtido na face para cima, o resultado será um dos números do conjunto {1,2,3,4,5,6}. c) ao fabricarmos parafusos com uma máquina, alguns poderão ter defeito na fabricação. Assim ao escolhermos um parafuso aleatoriamente ele será elemento do conjunto {defeituoso, não- defeituoso}. d) se um experimento consiste em medir o “tempo de vida” de lâmpadas elétricas incandescentes, o resultado do experimento será o tempo t em horas em algum intervalo, por exemplo 0 t 4000, assumindo que nenhuma lâmpada dure mais do que 4000 horas.
II. ESPAÇO AMOSTRAL
Espaço amostral é o conjunto de todos resultados possíveis do experimento aleatório. Cada um destes resultados é denominado de ponto amostral.
Indicaremos por E o espaço amostral e por n(E) o número de elementos deste espaço quando E for finito.
Por exemplo: a) E = {c,k } , onde c representa cara e k representa coroa, é o espaço amostral do experimento "lançar uma moeda" do exemplo a) e n(E) = 2.
b) E = {1,2,3,4,5,6} é o espaço amostral do experimento "lançar um dado" do exemplo b) e n(E) = 6.
c) E = {defeituoso, não-defeituoso} é o espaço amostral do exemplo c) e n(E) = 2.
d) E = { t R | 0 t 4000 } é o espaço amostral do exemplo d). Este é um espaço amostral infinito.
III. EVENTO
Evento é um qualquer subconjunto A do espaço amostral E. Os conjuntos E (todo o espaço amostral) e Φ = { } (conjunto vazio) serão denominados respectivamente de evento certo e evento impossível.
EXEMPLO: Considere o experimento: “ lançar uma moeda e verificar a face de cima”. O espaço amostral será E = { c , k } ( c= cara e k =coroa). Considere o evento A : ocorrer cara. Então esse evento é representado pelo conjunto A = {c}.
EXEMPLO: Considere o experimento: “ lançar um dado e verificar a face de cima”. O espaço amostral será E = { 1,2,3,4,5,6 }. Considere o evento B: ocorrer face par. Então esse evento é representado pelo conjunto B = {2,4,6}.
EXEMPLO: Considere o experimento “lançar 2 moedas simultaneamente”. O espaço amostral será E = { (c,c) , (c,k) , (k,c) , (k,k) } e n( E ) = 4. Considere o evento A: sair exatamente uma cara. Então esse evento é representado pelo conjunto A = { (c,k) , (k,c) }.
EXEMPLO: Considere o experimento “lançar 2 dados simultaneamente”. O espaço amostral será E = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) , (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } e n( E ) = 36. Considere o evento A: a soma dos pontos é 5. Então esse evento será representado pelo conjunto A = { (1,4) , (4,1) , (2,3) , (3,2) }
IV) OPERAÇÕES COM EVENTOS
Considerando A e B dois eventos quaisquer de um espaço amostral E, e representando por x um ponto amostral de E, diremos que:
i) x A B A ou B ocorrer (ou ambos) ii) x A B A e B ocorrerem simultaneamente iii) x = E - A A não ocorrer iv) x A – B A ocorre, mas B não ocorre
Isto é, i) A B = { x E | x A ou x B } (reunião de conjuntos) ii) A B = { x E | x A e x B } (intersecção de conjuntos) iii) = E - A = { x E | xA } (complementar de A) iv) A – B = { x E | x A mas xB } (diferença de conjuntos)
Quando acontece A B = Φ (conjunto vazio), dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
EXEMPLO: Seja E = {1,2,3,4,5,6} o espaço amostral do experimento "tirar uma
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C = { (c,c,k) , (c,k,c) , (c,k,k) , (k,c,c) , (k,c,k) , (k,k,c) , (k,k,k) } e n(C) = 7
Evento D: ocorrência de pelo menos duas coroas D = { (c,k,k) , (k,c,k) , (k,k,c) ,(k,k,k) } e n(D) = 4
- Experimento: extração sucessivamente e sem reposição de duas bolas de uma caixa que contém 4 bolas numeradas de 1 a 4.
E = { (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,4) , (4,1) ,
(4,2) , (4,3) } e n(E) = 12
Evento A: a soma dos números é igual a 5 A = { (1,4) , (,2,3) , (3,2) ,(4,1) } e n(A) = 4
Evento B: o número do 1º dado é maior que o número do 2º dado B = { (2,1) , (3,1) , (3,2) , (4,1) , (4,2) , (4,3) } e n(B) = 6
Evento C: o produto dos números é ímpar C = { (1,3) , (3,1) } e n(C) = 2
EXERCÍCIO : Seja o experimento: lançamento de um dado e observação da face superior. Considere os eventos: A: o número da face é ímpar B: o número da face é um número entre 1 e 6 Determine: a. A = { 1,3,5 } b. B = { 2,3,4,5 } c. A B = { 1,2,3,4,5 } d. A B = { 3,5 } e. = { 2,4,6 } f. = { 1,6 } g. B – A ={ 2,4 } h. A – B = { 1 } i. = { 1,2,4,6 } j. = { 6 } k. = { 2,3,4,5,6 } l. = { 1,3,5,6 }
