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PORCENTAGEM
A expressão “por cento” significa por cada cem, e se representa com o sinal %.
Podemos expressar uma porcentagem em forma de fração ou como decimal.
X % =
Exemplos:
75% = ou = 0,75 ; 4% = ou = 0,
TRÊS SITUAÇÕES IMPORTANTES
Tomar X % de uma quantia A :
Aumentar uma quantia A de X % :
Diminuir uma quantia A de X % :
Exemplificando:
Tomar 12% de uma quantia A : = 0,12 A
Aumentar uma quantia A de 12% : = 1,12 A
Diminuir uma quantia A de 12% : = 0,88 A
EXERCÍCIOS SOBRE PORCENTAGENS
- Escreva as porcentagens abaixo na forma decimal:
a) 4% b) 0,25% c) 157% d) 100% e) 200%
Solução:
a. 4% 0,04 Págt206-31- b. 0,25% 0, c) 157% 1, d. 100% 1 e. 200% 2
Observe nos itens acima que para obtermos a forma decimal nós simplesmente deslocamos “a vírgula” duas casas à esquerda, que equivale a dividir por 100.
Note que é a forma fracionária de 4% e que 0,04 é a sua forma decimal.
- Escreva as porcentagens abaixo na forma percentual:
a) 0,36 b) 1,25 c) 1 d) 0,005 e) 0,
Solução:
a. 0,36 36% mat206-31- b. 1,25 125% c. 1 100% d. 0,005 0,5% e. 0,045 4,5%
Observe nos itens acima que para obtermos a forma clássica em % , a partir da forma decimal, basta deslocamos “a vírgula” duas casas à direita, que equivale a multiplicar por 100.
Note que a forma fracionária de 36% é , e a sua forma decimal é 0,36.
- Quanto é 2,5% de R$ 60,00?
Solução: Página mat206-51- 2,5% de R$ 60,00 = 1,
- 15 é 25% de que número?
Solução:
Seja X o número procurado, então Pág 25% de X é 15
b.5.Que porcentagem 240 é de 30?
Solução:
Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?
a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36%
Solução: Seja PC = Preço de Custo
Preço de Tabela = 1,80 PC Note que 1,80 é o fator de aumento
Preço com Lucro Zero = 1,44 PC ..... aumentamos PC de 44%.
O maior desconto que se pode conceder ao preço de tabela ( 1,80 PC ) deve diminuir este preço de tal forma que se iguale ao preço com lucro zero ( 1, PC ). Daí,
então X = 20% , onde X é o desconto máximo.
Resposta: 20% - alternativa C
- (FUVEST) Em uma certa população 18% das pessoas são gordas, 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas. Qual é a porcentagem de homens na população?
Solução: Página mat206-21- Como o enunciado não especifica valores absolutos de números de Homens e Mulheres, vamos considerar o número total de pessoas igual a 100%, ou a sua forma decimal que é igual a 1.
Número de Homens = H Número de Mulheres = M
Número total de pessoas = H + M H + M = 1 ( I )
Número de Homens Gordos = 0,30H Número de Mulheres Gordas = 0,10M
Número de Pessoas Gordas = 0,18 ( H + M )
Então .......0,18( H + M ) = 0,30H + 0,10M ( II ) Número de Pessoas Número de Homens Número de Mulheres Gordas Gordos Gordas
Resolvendo o sistema formado pelas equações I e II H = 0,40 ou 40%
Resposta: A porcentagem de homens na população é de 40%.
- Calcular
Solução: at206-21- Lembre-se que nos cálculos e equacionamento de problemas procuramos usar a forma decimal ou a forma fracionária de porcentagem, logo:
forma decimal de 1%
- (Fuvest) Uma mercadoria que custava R$ 2400 sofreu um aumento passando a custar R$ 2700. A taxa de aumento foi de quantos porcento?
Solução: Entendemos que R$ 2400 aumentou de X% passando a valer R$ 2700, então,
- Um produto teve dois aumentos consecutivos de 20%. Qual foi o total de aumento?
Solução: Seja P o preço do produto. Página mat206-61- O preço P teve dois aumentos consecutivos de 20%, então:
Observe que P está sendo multiplicado pelo fator 1,44 (Fator de Aumento).
Note que 1,44 é igual a (1 + 0,44) , ou (1 + ) Fator de Aumento O aumento então foi de 44%
- Um produto no valor de R$ 2000 teve um desconto de 35%. Qual é o seu valor após o desconto?
Solução: O valor R$ 2000 vai diminuir de 35%, então,
Resposta: R$ 1300
- Uma determinada mercadoria teve três descontos consecutivos de 20% cada um. Qual foi o total de desconto?
Solução: Pá Seja P o preço da mercadoria. O preço P teve três descontos consecutivos de 20% cada um, isto é, diminuiu de valor em três vezes consecutivas, de 20% cada diminuição, então:
Solução: Seja D a dívida da empresa, em reais, sendo que 30% dela é em dólares e 70% em euros. Se o dólar se valoriza, em relação ao real , são necessários mais reais para se comprar uma mesma quantidade de dólares. Então, nesse caso, a dívida em reais aumenta. Logo, 30% de D, escreve-se, na forma matemática 0,30·D (Lembre-se que se trata de tomar 30% de D) Com uma valorização do dólar em 10% a dívida ficará igual a 1,10·0,30·D Note que 1,10 é o fator de aumento relativo a 10%.
Agora, se o euro se desvaloriza, em relação ao real , são necessários menos reais para se comprar uma mesma quantidade de euros. Então, nesse caso, a dívida em reais diminui. Logo, 70% de D, escreve-se, na forma matemática 0,70·D Com uma desvalorização do euro em 2% a dívida ficará igual a 0,98·0,70·D Note que 0,98 é o fator de diminuição relativo a 2%.
Então 1,10·0,30·D + 0,98·0,70·D = 0,33·D + 0,686·D = 1,016·D
Em 1,016·D note que 1,016 é um número maior que 1, então 1,016 é um fator de aumento relativo a 1,6%.
Caso você fique na dúvida que o aumento é 1,6%, faça o seguinte: é o fator de aumento relativo a x%. Então
Daí, a resposta é alternativa c
- Com relação à dengue, o setor de vigilância sanitária de um determinado
município registrou o seguinte quadro, quanto aos números positivos:
- em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um aumento de 10% e
- em março, relativamente a fevereiro, houve uma redução de 10%. Em todo o período considerado, a variação foi de
a. -1% b. –0,1% c. 0% d. 0,1% e. 1%
Solução: Seja C o número de casos diagnosticados em Janeiro. Então em Fevereiro tivemos 1,10·C casos diagnosticados (note que 1,10 é o fator de aumento relativo a 10%). Em Março houve uma redução do número de casos de 10%. Então de 1,10·C passou a 0,90·1,10·C , onde 0,90 é o fator de diminuição relativo a 10%.
Então, 0,90·1,10·C = 0,99·C , onde 0,99 é o fator de diminuição relativo a 1%.
Ou ainda, observe que o número de casos passou de C (em Janeiro) para 0,99·C (em Março), ou 99% de C. Isto é, uma diminuição de 1% no número de casos diagnosticados no período considerado.
Alternativa a
- Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de venda de uma mercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro, em porcentagem, seria:
a. 40% b. 45% c. 50% d. 55% e. 60%
Solução:
Seja PV o preço de venda sem o desconto, e PC o preço de compra.
0,80·PV é o preço efetivo de venda, já com o desconto de 20% (ou o preço de venda diminuido de 20%, onde 0,80 é o fator de diminuição relativo a 20%)
Então 0,80·PV – PC = Lucro
Lucro = 20% do PC ou Lucro = 0,20·PC
Então 0,80·PV – PC = 0,20·PC 0,80·PV = 1,20·PC PV = ·PC PV = 1,50·PC ou PV é igual ao PC aumentado de 50%
Alternativa c
- Numa barraca de feira, uma pessoa comprou maçãs, bananas, laranjas e peras. Pelo preço normal da barraca, o valor pago pelas maçãs, bananas, laranjas e peras corresponderia a 25%, 10%, 15% e 50% do preço total, respectivamente. Em virtude de uma promoção, essa pessoa ganhou um desconto de 10% no preço das maçãs e de 20% no preço das peras. O desconto assim obtido no valor total de sua compra foi de:
a. 7,5% b. 10% c. 12,5% d. 15% e. 17,5%
Solução: Seja PT o preço total pago pelas frutas e PN o preço normal (sem desconto).
1
Note que (C – 320)·P·1,16·1,50 é o valor que ele pagaria para a parte do consumo que ultrapassar 320kWh.
Devemos ter então:
320·P·1,16 + (C – 320)·P·1,16·1,50 = C·P·1,
Note que C·P·1,20 vem da parte do enunciado “ Suponha que o valor pago pelo consumo de energia elétrica no mês de outubro tenha sido 20% maior do que aquele que teria sido pago sem as regras do racionamento e sem o aumento de tarifa em agosto ”
Daí, dividindo-se ambos membros por P, temos
320·1,16 + (C – 320)·1,16·1,50 = C·1,
371,2 + 1,74·C - 556,8 = 1,20·C
0,54·C = 185,6 C = 343,
Alternativa b C = 343 kWh
- Um advogado, contratado por Marcos, consegue receber 80% de uma causa avaliada em R$200.000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título de honorários. A quantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a parte do advogado, será de
a) 24000 b) 30000 c) 136000 d) 160000 e) 184000
Solução: Valor recebido: 80% de 200000 = 0,80·200000 = 160000 Valor dos honorários: 15% de 160000 = 0,15·160000 = 24000 Valor recebido por Marcos: 160000 – 24000 = 136000
Alternativa c
EXERCÍCIOS DE PORCENTAGEM
1) Uma mercadoria que custava R$ 24,00 sofreu um aumento passando a custar R$ 28,80. Qual foi a taxa de aumento?
2) Em junho de 1997, com a ameaça de desabamento de uma ponte, o desvio do tráfego provocou um aumento do fluxo de veículos em ruas vizinhas, de 60 veículos por hora em média, para 60 veículos por minuto em média. O fluxo de veículos nessas ruas no período considerado aumentou de quantos porcentos?
3) O preço de certa mercadoria sofre anualmente um aumento de 100%. Supondo que o preço atual seja de R$ 100,00, daqui a três anos qual será o preço dessa mercadoria?
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4) Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preço de venda. Qual é o seu lucro sobre o preço de custo?
5) Em uma sacola existem 200 caramelos, sendo 110 de frutas e o resto de leite. Quantos caramelos de fruta devemos acrescentar nesta sacola para que os caramelos de fruta sejam 70% do total?
6) Um professor de tênis comprou várias bolas, que acabaram de sofrer um aumento de 5% no preço de cada uma. Se não houvesse este aumento o professor poderia ter comprado com a mesma quantidade de dinheiro, mais três bolas. Quantas bolas o professor comprou?
7) Uma jarra tem 600g de uma mistura de água e açúcar, na qual 20% é de açúcar. Quanto de água devemos acrescentar para que a mistura passe a ter 5% de açúcar?
8) Um comerciante aumentou os preços de suas mercadorias em 150%. Como a venda não estava satisfatória, volta aos preços praticados antes do aumento. Em relação aos preços aumentados, qual foi o percentual de redução?
9) Numa certa população 18% das pessoas são gordas, 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas. Qual a porcentagem de homens na população?
10) A porcentagem de fumantes de uma cidade é de 32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes ficará reduzido a 12800. Calcule: a) o número de fumantes da cidade. b) o número de habitantes da cidade.
11) Alegando prejuízos com a inflação, um comerciante aumentou seus preços em 50%. Logo em seguida, notando grande queda nas vendas, anunciou um desconto geral de 50%. A variação percentual sofrida entre preços final e inicial, em termos de valores originais é igual a:
a) 0% b) 75% c) 25% d) 30% e) 50%
12) As promoções do tipo "leve 3 pague 2", comuns no comércio, acenam com um desconto sobre cada unidade vendida, de:
a) (50/3)% b) 20% c) 25% d) 30% e) (100/3)%
13) Se os preços aumentam 10% ao mês , a porcentagem de aumento no trimestre será:
a) 30% b) 33% c) 33,1% d) 10% e) 1,331%
14) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu um aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é de :
a) 2,56x b) 1,6x c) 160x d) 2,6x e) 3,24x
15) Suponha que, após 2 meses, uma ação tenha se valorizado 38%. Sabendo-se que a
15) C
16) E
17) C
Carros Quantidade % Vermelhos 156 31,2 % Verdes 132 26,4 % Pretos 122 24,4 % Brancos 90 18,0 % Total 500 100 %
