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PROBABILIDADE CONDICIONAL
Muitas vezes, há interesse em calcular a probabilidade de ocorrência de um evento A, dada a ocorrência de um evento B. Exemplos:
- Qual é a probabilidade de chover amanhã, sabendo que choveu hoje?
- Qual a probabilidade de um dispositivo eletrônico funcionar sem problemas por 200 horas consecutivas, sabendo que ele já funcionou por 100 horas?
- Qual a probabilidade de que um dos três servidores de correio eletrônico fique congestionado, sabendo que um deles está inoperante?
Em outras palavras, queremos calcular a probabilidade de ocorrência de A condicionada à ocorrência prévia de B. Essa probabilidade é representada por P( A | B ) (lê-se probabilidade de A dado B ).
Exemplo : Os dados, a seguir, representam o sumário de um dia de observação de um posto de qualidade, em que se avalia o peso dos pacotes de leite produzidos num laticínio.
Condição do peso
Tipo do leite B (B) C (C) UHT (U) Total
Dentro das especificações (D) 500 4.500 1.500 6.
Fora das especificações (F) 30 270 50 350
Total 530 4.770 1.550 6.
Retira-se, ao acaso, um pacote de leite da população de 6.850 unidades. Sejam D e F os eventos que representam se o pacote retirado está dentro ou fora das especificações , respectivamente. Da mesma forma, B, C e U são eventos que representam o tipo do leite. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de o pacote de leite estar fora das especificações?
Resp.: Como o espaço amostral é composto de 6.850 unidades, sendo que 350 satisfazem ao evento, então:
P(F) == 0,
b) Qual a probabilidade de o pacote de leite retirado estar fora das especificações, sabendo-se que é do tipo HTU?
Resp.: Nesse, caso, o espaço amostral ficou restrito às 1.550 unidades de leite UHT. Destas, 50 satisfazem ao evento. Então
P(F | U) == 0,
Note que, se o numerador e o denominador de P(F | U) forem divididos pelo número total de unidades, temos
P(F | U) == =
que é a relação usada na definição formal de probabilidade condicional.
Definição: Sejam A e B eventos quaisquer com P(B) > 0. Definimos a probabilidade condicional de A dado B por
P(A | B) =
Se houver interesse no oposto, isto é, na probabilidade de ocorrência de B condicionada à ocorrência prévia de A, sendo P(A) > 0, temos
P(B | A) =
Observemos que P (A B ) = P (B A ).
Exemplo : Seja o lançamento de 2 dados não viciados e a observação das faces voltada para cima. Suponha que haja interesse nas probabilidades dos seguintes eventos:
a) Faces iguais, sabendo que a soma é menor ou igual a 5. b) Somas das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais.
Solução : Lembremos que o espaço amostral neste caso é constituído de 36 pares ordenados que representam as possíveis combinações de resultados dos dois dados.
Considere os eventos: A = faces iguais = { (1,1) , (2,2) , (3,3) ,(4,4) , (5,5) , (6,6) } e n(A) = 6
B = soma das faces é menor ou igual a 5 = = { (1,1) , (1,2) ,(1,3) , (1,4) ,(2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) , (4,1) } e n(B) = 10.
Portando AB = { (1,1) , (2,2) } e n(AB ) = 2.
P(A 1 ) = (pois existem 4 amarelos dentre os 12 cartões) e P(A 2 | A 1 ) = (pois, supondo que tenha sido extraído cartão amarelo na primeira extração, restaram 3 amarelos dentre 11 cartões).
Logo, P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ). P(A 2 | A 1 ) =. = =
b. Qual a probabilidade dos outros pontos amostrais?
Temos
P(A 1 V 2 ) = P(A 1 ). P(V 2 | A 1 ) =. =. P(V 1 A 2 ) = P(V 1 ). P(A 2 | V 1 ) =. = P(V 1 V 2 ) = P(V 1 ). P(V 2 | V 1 ) =. =.
Observe que a soma dos quatro resultados possíveis é igual a 1 (axioma da probabilidade).
c) Qual a probabilidade de ocorrer exatamente 1 cartão amarelo?
Queremos a probabilidade de ocorrer (A 1 , V 2 ) ou (V 1 , A 2 ). Em termos da linguagem de conjuntos, queremos a união dos dois eventos. Como esses eventos são mutuamente exclusivos, então a probabilidade é dada pela soma, ou seja:
P{ (A 1 , V2 ) , (V 1 , A 2 ) } = P{ (A 1 , V 2 ) } + P{ (V 1 , A 2 ) } = + =.
REGRA DO PRODUTO PARA 3 EVENTOS
Para 3 eventos A, B e C, vale a seguinte regra do produto
P(ABC) = P(A). P(B | A). P(C | AB)
Exemplo : Uma caixa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Retiramos, ao acaso, 3 cartões, um após o outro, sem reposição, e observamos as cores dos dois cartões. Qual é a probabilidade de que os 3 sejam amarelos? Chamando de Ai o evento que representa cartão amarelo na i-ésima extração e V (^) i o evento que representa cartão vermelho na i-ésima extração ( i = 1, 2, 3 ), temos o seguinte espaço amostral: E = { (A 1 , A 2 , A 3 ) , (A 1 , A 2 , V 3 ) , (A 1 , V 2 , A 3 ) , (A 1 , V 2 , V 3 ) , (V 1 , A 2 , A 3 ) , (V 1 , A 2 , A 3 ) , (V 1 , V 2 , A 3 ) , (V 1 , V 2 , V 3 ) }.
Solução:
27
A probabilidade de interesse é P({(A 1 , A 2 , A 3 )}), que também pode ser colocada em termos de intersecção : P(A 1 A 2 A 3 ), isto é, a probabilidade de ocorrer amarelo na primeira extração, amarelo na segunda extração e amarelo na terceira extração.
Para a aplicação da regra do produto ,
P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 ). P(A 2 | A 1 ). P( A 3 | A 1 A 2 ) calculamos
P(A 1 ) = = (pois existem 4 amarelos dentre os 12 cartões) e
P(A 2 | A 1 ) = (pois, supondo que tenha sido extraído cartão amarelo na primeira extração, restaram 3 amarelos dentre 11 cartões).
P( A 3 | A 1 A 2 ) = (pois, supondo que tenha sido extraído cartão amarelo na primeira extração e cartão amarelo na segunda extração, restaram 2 amarelos
dentre 10 cartões).
Logo, P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 ). P(A 2 | A 1 ). P( A 3 | A 1 A 2 ) =.. = =
EVENTOS INDEPENDENTES
Definição : Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros.
Se dois eventos A e B são independentes, então:
P(A | B) = P(A) e
P(B | A) = P(B)
Como conseqüência, a regra do produto pode ser simplificada para
P(AB) = P(A). P(B | A) = P(A). P(B)
Para 3 eventos independentes A, B e C, a regra do produto fica assim
P(ABC) = P(A). P(B). P(C )
Exercícios:
A probabilidade de que Joãozinho resolva este problema é 0,5. A probabilidade de que Mariazinha resolva este problema é 0,7. Qual é a probabilidade de o problema ser resolvido se ambos tentarem independentemente?
Um sistema tem dois componentes que operam independentemente. Suponha que as probabilidades de falha dos componentes 1 e 2 sejam 0,1 e 0,2, respectivamente. Determinar a probabilidade de o sistema funcionar nos dois casos seguintes: a) os componentes são ligados em série (isto é, ambos devem funcionar para que o sistema funcione); b) os componentes são ligados em paralelo (isto é, basta um funcionar para que o sistema funcione).
De acordo com certa tábua de mortalidade, a probabilidade de José estar vivo daqui a 20 anos é 0,6, e a mesma probabilidade para Manuel é de 0,9. Determinar: a) a probabilidade P 1 ambos estarem vivos daqui a 20 anos b) a probabilidade P 2 de nenhum estar vivo daqui a 20 anos c) a probabilidade P 3 de um estar vivo e outro estar morto daqui a 20 anos. d) a probabilidade P 4 de pelo menos um estar vivo.
a caixa I tem 8 peças boas e 2 defeituosas; a caixa II tem 6 peças boas e 4 defeituosas; a caixa III tem 9 peças boas e 1 defeituosa.
Condição das peças Caixa I Caixa II Caixa III Total
Peças boas (B) 8 6 9 23
Peças defeituosas (D) 2 4 1 7
Total 10 10 10 30
a. tira-se, aleatoriamente, uma peça de cada caixa. Determinar a probabilidade P 1 de serem todas boas b. escolhe-se uma caixa ao acaso e tira-se uma peça. Determinar a probabilidade P 2 da peça ser defeituosa c. escolhe-se uma caixa ao acaso e tira-se uma peça. Calcular a probabilidade P 3 de ter sido escolhida a caixa I, sabendo-se que a peça é defeituosa.
- A qualidade de CDs foi avaliada em termos da resistência a arranhão e adequação das trilhas. Os resultado 1.000 CDs foram:
Adequação das trilhas
Resistência a arranhão Aprovado Reprovado Total
Alta 700 140 840
Baixa 100 60 160
Total 800 200 1.
Se um CD for selecionado ao acaso desse lote de 1.000 CDs, qual é a. A probabilidade P 1 de ele ter resistência a arranhão alta e ser aprovado na avaliação das trilhas? b. A probabilidade P 2 de ele ter resistência a arranhão alta ou ser aprovado na adequação das trilhas? c. A probabilidade P 3 de ele ser aprovado na adequação das trilhas, dado que tem resistência a arranhão alta? d. A probabilidade P 4 de ele ter resistência a arranhão alta, dado que foi aprovado na adequação das trilhas?
Respostas:
- A probabilidade de que ambos não resolvam o problema é P 1 = ( 1 – 0,5 ). ( 1 – 0,7 ) = 0,5. 0,3 = 0,15.
A probabilidade de que pelo menos um deles resolva o problema é P 2 = 1 – P 1 = 1 – 0,15 = 0,85 = 85%
- a) A probabilidade de que ambos componentes funcionem é P 1 = ( 1 – 0,1 ). ( 1 – 0,2) = 0,9. 0,8 = 0,72 = 72%
b) A probabilidade de que ambos componentes não funcionem é P2 = 0,1. 0,2 = 0,02 = 2%
A probabilidade de que pelo menos um dos componentes funcione será P 3 = 1 - P 2 = 1 - 0,02 = 0,98 = 98%
- a) P 1 = 0,6. 0,9 = 0,
b) P 2 = (1 – 0,6). (1 – 0,9) = 0,4. 0,1 = 0,
c) P 3 = 0,6. (1 – 0,9) + (1 – 0,6). 0,9 = 0,6. 0,1 + 0,4. 0,9 = = 0,06 + 0,36 = 0,
d) P 4 = P 1 + P 3 = 0,54 + 0,42 = = 0,96 ou P 4 = 1 – P 2 = 1 - 0,04 = 0,
- a) P 1 = 0,8. 0,6. 0,9 = 0,
