Baixe Estatistica Aplicada e Probabilidade e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Produção, somente na Docsity!
Probabilidade e Estatística I
Unidade 1: Introdução à Probabilidade
Introdução
Primeiramente quero dar as boas vindas a todos vocês que estão se propondo a estudar a disciplina
Probabilidade e Estatística I, ofertada principalmente para os alunos do curso de Engenharia Elétrica do
IPUC com extensão às demais ênfases da Engenharia.
Gosto iniciar com a citação da frase de Herbert George Wells (1866-1946), escritor inglês de A
Máquina do Tempo, A Ilha do Dr. Moreau, O Homem Invisível, dentre outros:
“Raciocinar estatisticamente será um dia tão necessário quanto a habilidade de ler e escrever”
O momento de entrar em contato com esse tipo de raciocínio começa agora com a seguinte
pergunta: porque um engenheiro precisa estudar Estatística? Em primeiro lugar, porque um engenheiro é
um profissional que resolve problemas de interesse da sociedade por meio de aplicações de técnicas
científicas, que por sua vez, são baseadas em evidências. As evidências são obtidas por meio de dados, quer
sejam em pesquisas acadêmicas quer sejam em situações observadas no cotidiano de muitas modalidades,
ou tipos, de trabalhos na Engenharia. Por outro lado, os dados podem gerar modelos que suportam
resoluções de problemas similares.
A pergunta então é porque a Estatística e não a Matemática? A Matemática está presente em todas
as situações em que se podem aplicar os modelos determinísticos – aqueles que são regidos por leis físicas
ou gerais: lei de Ohm; lei de gás ideal; leis gravitacionais, dentre outras… Mas, e as situações que envolvam
variabilidade? A variabilidade exige técnicas especiais de tratamento, e essas técnicas são produtos da
Estatística, que por sua vez estão fundamentadas na Matemática. Os modelos estatísticos, portanto, são
modelos probabilísticos – ou não-determinísticos. Daí a importância de iniciarmos esse curso com o estudo
de Probabilidade.
Outro lado importante da Estatística é que ela propicia o tratamento de um pequeno conjunto de
dados, uma amostra, provenientes de uma população de interesse. O estudo de uma população, na grande
maioria das vezes, é oneroso – tempo e dinheiro, mas a Estatística contempla com suas técnicas o estudo de
uma pequena parte da população e os valores ali estimados são inferidos (ou concluídos) para a população
em geral. Essa é chamada de Estatística Inferencial.
Por sua vez, todas as observações que são transformadas em dados precisam de tratamento
especial e pretende-se aqui, dar uma noção dessas possibilidades de apresentação e descrição dos mesmos.
Dessa maneira, vocês terão maiores possibilidades na composição com os outros vários saberes da
Engenharia, no processo que será finalizado como profissionais bem sucedidos.
Algumas informações e dicas
Probabilidade e Estatística I
Unidade 1: Introdução à Probabilidade
Nesse curso vocês receberão alguns textos com anotações de aula que servirão como leitura
complementar ao livro texto que iremos utilizar: Estatística Aplicada e Probabilidade para
Engenheiros, 4ª. edição. Douglas C. Montgomery e George C. Runger., 2009.
Editora LTC.
A sugestão é que vocês sempre leiam o texto do livro e tentem resolver seus exercícios ou
exemplos.
Algumas dicas para obter sucesso nesse curso:
a) Reserve tempo semanal para o estudo. A proposta de Atividades Semanais tem como um de
seus objetivos, facilitar esse desafio;
b) Tente fazer as Atividades dentro do período de tempo proposto – se você iniciar o estudo logo
no principio de sua proposição terá tempo de gerar dúvidas e buscar ajuda por meio do correio
acadêmico. c) Faça uso das facilidades que a PUC Virtual oferece: tais como o Centro de Recursos – local em
que o professor publica material adicional, por exemplo, exercícios resolvidos, resolução e/ou
comentário das Atividades propostas; e o correio acadêmico – principal canal de comunicação
diária com o professor.
d) Participem dos Encontros on line – e quando existirem, dos plantões presenciais.
Em síntese: Não deixem de criar o hábito de estudar diariamente, não só essa disciplina, como as
demais presenciais que certamente estarão fazendo. Não incorram no erro da fala: “estou fazendo a
disciplina virtual porque trabalho… não tenho tempo…” Essa frase é FALSA!!. Você está fazendo uma
disciplina virtual porque ela facilita a LIBERAÇÃO em sua carga horária semanal…. Mas, por outro lado ela
cobra um preço: você precisará ser rigoroso na reserva de tempo para estudá-la.
Enfim…
Espero que vocês aproveitem ao máximo o curso de Probabilidade e Estatística I.
Eu estarei sempre pronta a atendê-los e ajudá-los nesse processo de construção que ora vocês
iniciam.
Sejam bem vindos e tenham muito sucesso!
Probabilidade e Estatística I
Unidade 1: Introdução à Probabilidade
- Relações entre dois eventos A e B
a) Evento União ou Reunião é composto pelos resultados da ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B.
Exemplo: Sejam E: lançamento de um dado com 6 faces; S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, o espaço amostral associado; Os eventos, A: a face é par = {2, 4, 6} e B: a face é 4 ou 5 = {4, 5} O evento União, A ∪ B= {2, 4, 5, 6}
b) Evento Interseção é composto pela ocorrência simultânea dos eventos A e B.
No exemplo anterior, O evento Interseção, A ∩ B= {4 }
c) Evento Negação ou Complementar do evento A é composto por todos os elementos que não ocorreram em A.
No exemplo anterior, a negação ou o complementar do evento A é: A = {1, 3, 5} → as faces ímpares!
Notação: A ∪B
O símbolo “ ∪ ” significa “ou”
Notação: A ∩B
O símbolo “ ∩ ” significa “e”
S
A (^) A
S
A (^) A
AA BB SS
AA BB SS
Notação: Aou Ac
Probabilidade e Estatística I
Unidade 1: Introdução à Probabilidade
d) Os eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos (excludentes) se não ocorrerem
simultaneamente, ou seja, seA ∩ B= φ( φ indica conjunto vazio: sem nenhum resultado).
No exemplo anterior, os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Não! Pois a interseção entre eles não é vazia... Por outro lado, A e A são mutuamente exclusivos. Nos eventos mutuamente exclusivos a ocorrência é de pelo menos um dos eventos, mas não os dois simultaneamente.
- Propriedades dos eventos
Dentro de um contexto matemático observa-se que os eventos são similares aos conjuntos diferindo apenas no significado da representação dos símbolos. Devido a essa similaridade, as propriedades dos eventos são idênticas às dos conjuntos. Reprisando:
comutativa s 2.A B B A
1. A B B A
associativ as 4.(A B) C A (B C)
3. (A B) C) A (B C)
distributi vas 6.(A B) C (A C) (B C)
5. (A B) C (A C) (B C)
9.A A anegaçãodanegaçãodoeventoéopróprio evento.
8.A
7.A A
Leisde Morgan 11.A B A B
10. A B A B
Exemplo 4.1: (Meyer) Um dispositivo eletrônico é ensaiado e o tempo total de serviço t é registrado. Admitiremos que o espaço amostral seja { t | t ≥ 0}. Sejam A, B e C três eventos definidos da seguinte maneira: A = {t | t < 100 }; B = {t | 50 ≤ t ≤ 200}; C = { t | t > 150}. Nesse exemplo, o espaço amostral é dito contínuo. Temos consequentemente que: A ∪ B= {t | t ≤ 200} ou numa forma mais rigorosa: { t | 0 ≤ t ≤ 200}; A ∩ B= {t | 50 ≤ t < 100}; B ∪ C= {t | t ≥ 50}; A = {t | t ≥ 100}; A ∩ B= {t | t < 50 ou t ≥ 100}; A ∪ B= {t | t > 200}.
AA BB SS
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Unidade 1: Introdução à Probabilidade
Evento A: observar o resultado “cara” Utilizando a notação para representação dos resultados: C = cara e C = coroa, podemos obter a possível seqüência de resultados:
C, C , C , C, C, C , C, .....
A seqüência de freqüências relativas associadas a essa possível seqüência é:
,..... 7
A Figura 5.1 apresenta as freqüências relativas do evento A, ou seja, as proporções de ocorrência de cara quando o experimento é repetido por 10, 20, 30, ...., até 500 vezes.
E: lançamento de uma moeda n vezes A: observar cara
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1,
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 no. de lançamentos
Proporção de cara
Figura 5.1: Observação do evento cara em n lançamentos de uma moeda.
Observe, no gráfico, que no princípio a freqüência relativa tem uma grande variação, mas é intuitivamente evidente, que após um grande número de repetições ela irá se estabilizar próxima do valor
. Essa propriedade de estabilidade, ou de regularidade estatística, pode ser matematicamente mais
precisa, num curso mais avançado de Estatística.
No exemplo 5.3, verificamos que a freqüência relativa de A, fA “converge” em um certo sentido de probabilidade, para o valor 0,5. Esse valor é assumido então, como a probabilidade de ocorrência do evento A, e denotado por P(A) e sua definição freqüentista é:
Exemplo 5.4: Seja a distribuição de 2.377 estudantes de certa faculdade pesquisados sobre preferência por refrigerante dada pela tabela:
númerototalderepetiçõesdoexperiment o
númerodeocorrênciasdeA P( A)=
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Preferência Refrigerante Freqüência Freq. relativa Coca Cola 82 0, Coca Cola Light 231 0, Pepsi Cola 254 0, Fanta 690 0, Sprite 1.120^ 0, Total 2.377 1, Fonte: Adaptado de Anderson et al. 2007, pág 23
Considerando que temos um grande número de estudantes, podemos associar as freqüências relativas da preferência por cada refrigerante como sua probabilidade para um estudante pesquisado aleatoriamente. Isto é, por exemplo, equivalente à pergunta: qual a probabilidade de um aluno dessa
faculdade preferir Pepsi Cola,? Na tabela de distribuição, temos que P(Pepsi Cola) = 0,107
- Propriedades da probabilidade A probabilidade de um evento satisfaz as seguintes propriedades: i) 0 ≤ P (A) ≤ 1 ii) P(S) = 1 iii) Se A e B forem dois eventos mutuamente exclusivos (disjuntos) então P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Como conseqüência dessas propriedades tem-se as seguintes regras: iv) P(φ) = 0 → o evento A não ocorre em nenhuma das repetições do experimento (A é um evento impossível). v) P( A ) = 1 – P(A) Verificação: Observando o diagrama de Venn no subitem (c) do item (3), verifica-se claramente que os eventos A e A são mutuamente exclusivos e o espaço amostral pode ser representado da seguinte maneira: S = A ∪ A Pela propriedade (iii) tem-se: P(S) = P(A) + P( A ) e pela propriedade (ii), obtém-se: P(A) + P( A ) = 1 o que conclui a conseqüência expressa em (v).
vi) Se A e B forem dois eventos quaisquer então
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
A verificação dessa regra é facilmente entendível utilizando o diagrama de Venn, em que pode ser verificado que a porção A ∩ B é computada duas vezes! Essa regra é conhecida como a da ADIÇÃO de probabilidades.
A probabilidade é uma proporção, ou seja, assume qualquer valore entre 0 e 1. Se essa proporção for multiplicada por 100, a probabilidade fica expressa em termos de percentuais. A tabela de distribuição do exemplo 5.4 ficaria assim:
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Considere as seguintes situações: (1) Sabe-se que o aluno sorteado é do curso de Matemática diurno, qual a probabilidade de ele ser esportista? Solução: como já é fato conhecido que o aluno é do curso de Matemática diurno, podemos considerar apenas os 500 alunos que são do curso de Matemática diurno, ou seja, a informação dessa linha,
donde se observa que 100 são esportistas. Obtém-se então a probabilidade de 500
(2) Sabendo-se que o aluno sorteado é esportista, qual a probabilidade dele ser do curso de Matemática noturno? Solução: a informação que dispomos agora é obtida pela coluna do ser esportista, ou seja, dos
4.000 alunos que são esportistas, observa-se que 300 são esportistas. Dessa maneira tem-se:
- 000
Nessas duas situações observa-se uma redução do espaço amostral e o condicionamento da ocorrência de um segundo evento considerando os resultados de um primeiro que já realizado. A probabilidade desses eventos é denominada de Probabilidade condicional:
- Probabilidade condicional
Seja o evento B, não-vazio, tal que P(B>0), a probabilidade condicional do evento A, sabendo-se que o evento B já ocorreu é definida por:
Em que o símbolo “| “é lido por: “ A dado B” ou “A sabendo-se que B ocorreu”
Na situação (1) acima temos:
E na situação (2):
Reescrevendo a fórmula de cálculo da probabilidade condicional, temos:
que é conhecida como a Regra da MULTIPLICAÇÃO.
Lembrete:
Símbolo Significado Operação ∪ Ou Adição (+) ∩ E Multiplicação (.)
- Eventos independentes
Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um deles não interferir na ocorrência do outro. Exemplo 8.1: (Soares) Seja o lançamento de dois dados equilibrados (honestos) e com 6 faces cada e sejam definidos os eventos A: { a face do 1º. dado é par}
P(B )
P(A B)
P( A|B)
P(Md)
P(E Md) P( E|Md) = =
P(E)
P( Mn|E)=P(Mn∩E)= =
P(A B) P(B)P(A|B )
P(B)
P(A B)
P( A|B) ⇒ ∩ =
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B: { a face do 2º. dado é 3 ou 6}. Intuitivamente podemos perceber que o fato do evento A ter ocorrido não nos é fornecida nenhuma informação sobre a ocorrência, ou não, do evento B. Isso significa que os eventos A e B não estão relacionados. Matematicamente podemos efetuar os seguintes cálculos:
P ( A)= = ,
P ( B)= = ,
P ( A∩ B)= = e
(i) ( ) 2
( | ) P A
PB
P A B
P A B = = = =
Esse resultado nos informa que o conhecimento do resultado ocorrido em B não interferiu no resultado de A, pois ao se condicionar o resultado do evento A na já conhecida ocorrência do evento B, a probabilidade do evento A é a mesma de ele ter ocorrido sem esse conhecimento prévio. Essa é a informação dada por: P(A|B)=P(A)
(ii) ( ) 3
( | ) P B
P A
P A B
P B A = = = =
Similarmente, temos a mesma situação quando condicionamos o evento B à ocorrência do evento A: P(B|A)=P(B).
Pode-se verificar também que: ( ) ( ) 3
P (A∩B)= = =P AP B
Dessa maneira, desde que P(A) > 0 e P(B) > 0, os eventos A e B são definidos INDEPENDENTES se
P A B PBP A B PBP A
P A B P APB A P APB
ou seja, se P(A|B)=P(A) e P(B|A)=P(B).
Exemplo 8.2: Reescrevendo a tabela do exemplo 6.2 somente com os dados dos alunos do curso de Matemática e os Outros cursos temos:
Tabela 8.1: Tabela com os dados observados para cada evento Curso E (^) E Total M 300 900 1. M 3.700^ 5.100^ 8. Total 4.000 6.000 10.
A tabela com as probabilidades em cada casela ou célula:
Tabela 8.2: Tabela com as probabilidades de ocorrência de cada evento Curso E (^) E Total M 0,03 0,09 0, M 0,37^ 0,51^ 0, Total 0,40 0,60 1,
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Unidade 1: Introdução à Probabilidade
Cálculo das probabilidades:
Tabela 9.2: Distribuição das probabilidades observadas Lesão na cabeça Uso do capacete Sim (L) Não ( L )
Total
Sim (C) 0,021 0,164 0,
Não ( C ) 0,275 0,540 0,
Total 0,296 0,704 1,
Se os eventos fossem independentes deveríamos ter: P(C ∩ L) = 0,021 = P(C) P(L),
Mas, P(C)P(L)= (0,185)(0,296)=0,055 ≠ P(C ∩ L)!
Como essas probabilidades não preservam a igualdade podemos concluir que os eventos NÃO são INDEPENDENTES, ou seja, existe uma relação entre eles ou equivalentemente, eles estão associados.
A tabela de probabilidades observadas acima é chamada de distribuição de probabilidade conjunta e ela apresenta a distribuição de probabilidades das variáveis: Capacete e Lesão. As probabilidades da linha e da coluna “Total” são chamadas de probabilidades marginais. Se as variáveis: Capacete e Lesão fossem independentes, então as probabilidades das caselas (das interseções) seriam o produto de suas respectivas probabilidades marginais (total da linha e total da coluna). Considerando independência a tabela de probabilidades seria:
Tabela 9.3: Distribuindo das probabilidades considerando independência entre os eventos Lesão na cabeça Uso do capacete Sim (L) (^) Não ( L )
Total
Sim (C) (^) 0,055 0,130 0,
Não ( C ) 0,241 0,573^ 0,
Total 0,296 0,704 1,
Fazendo a comparação entre as tabelas 9.2 e 9.3, observa-se que as probabilidades de todas as caselas são diferentes!! – conclui-se então que os eventos estão associados. Resta saber se essa associação é estatisticamente significativa, a qual pode ser medida por meio do teste qui-quadrado de Pearson:
0,055=(0,296)(0,185) 0,573=(0,704)(0,815)
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10) Teste Qui-quadrado ( χ 2 )
A tabela 10.1 apresenta dados genéricos de uma situação envolvendo a comparação de dois grupos em que a resposta de interesse é dicotômica: a ocorrência ou não de um evento.
Tabela 10.1: Classificação do sucesso ou fracasso para a variável resposta de interesse Grupo Resposta Total Sucesso Fracasso Grupo I a b n 1 = a+b Grupo II c d n 2 =c+d Total m 1 =a+c m 2 =b+d N
Se não existir nenhuma diferença entre as proporções de “Sucesso” nos dois grupos, então a n
c
1^ n 2
=
Se as igualdades acima forem verdadeiras, então também valem:
a n
c n
a c n n
m
1 2 1 2^ N
1 = =
= , ou seja: a
m x n N
m x n N
= =
1 1 1 2 e c (1)
e analogamente, b
m x n N
m x n N
= 2 1 e c =^2 2 (2)
Obtemos, portanto, dois conjuntos de valores: os observados (Oij), que são denotados por a, b, c e d na tabela 10.1 e os esperados (Eij), calculados sob a hipótese de igualdade das proporções de sucesso entre os grupos e obtidos pelas expressões (1) e (2). Vamos voltar ao exemplo 9.1. Os dados da tabela 9.1 são os valores observados na pesquisa. Calculando os valores que seriam esperados, caso não haja diferença entre os dois grupos (uso ou não do capacete) obtemos:
Tabela 10.1: Valores esperados para os dados da tabela 9.1. Lesão na cabeça Uso do capacete Sim (L) (^) Não ( L )
Total
Sim (C) 43,56 103,44 147 Não ( C ) 191,44^ 454,56^646 Total 235 558 793
Em que, para a primeira casela os cálculos foram: 793
43 , 56 =. As demais foram obtidas
analogamente.
Se as proporções de sucesso são iguais nos dois grupos, então a discrepância entre os dois conjuntos de números acima não deve ser grande. Pearson, importante estatístico do início do século, propôs medir a discrepância entre os valores observados e esperados por meio da expressão:
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Isso significa que a chance de ter lesão na cabeça entre os estudantes que não usam capacete é aproximadamente quatro vezes mais freqüente em relação aos que usam capacete.
Observação importante: As chances são muito utilizadas em cassinos, loterias e corridas de cavalo, por apresentarem facilidade nas transferências de dinheiro. São comumente expressas na forma “a:b” – a para b – em que, os valores a e b são primos entre si. Em termos de probabilidade de um evento A, a chance “a favor” é definida
por: ( )
P A
P A
; e a chance “contra” por: ( )
P A
P A
Suponha, por exemplo, que a probabilidade de um evento A seja, 5
P ( A )= , logo 5
P ( A )=. Então a
chance “a favor” é “ 2:3” – dois para três e a chance “contra” é de “ 3:2” – três para dois. Nas apostas, a chance contra um evento representa a razão do ganho líquido para a quantia apostada. Quando a chance não é especificada, ela é sempre “contra” a ocorrência do evento, ou seja, numa aposta 50:1, significa R$50,00 para cada R$1,00 apostado!
- Regra ou Teorema de Bayes
Seja um espaço amostral, S, particionado por eventos mutuamente exclusivos, Bi´s, tal que
ou seja,
Seja considerado o evento A desse espaço amostral o qual poderá ser escrito por:
mesmo que algumas das interseções A ∩ Bi seja vazia, esse fato não irá interferir no cálculo de sua probabilidade. Podemos representar esse espaço amostral, as partições Bi´s e o evento A pela figura:
A probabilidade do evento A é obtida por:
Observe que:
1) se A ∩ Bi = φ ⇒ P ( A ∩ Bi )= 0 , não afetando, portanto, o resultado da P(A);
- é chamada de PROBABILIDADE TOTAL.
A
B 1 B 2
B 3
B 4
B 5
Bn
.. ..
..
.. B 6 A
B 1 B 2
B 3
B 4
B 5
Bn
.. ..
..
.. B 6
Bi ∩ Bj = 0 / ;∀i≠ j U
n
i
S Bi = 1
A = ( A ∩ B 1 )∪( A ∩ B 2 )∪....∪ ( A ∩ Bn )
P ( A )= P ( A ∩ B 1 )+ P ( A ∩ B 2 )+....+ P ( A ∩ Bn )
U
n
i
P Bi 1
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O teorema de Bayes é uma generalização da probabilidade condicional definida no item 7. Essa regra calcula a probabilidade de uma partição Bi condicionada à ocorrência do evento A, ou seja,
Exemplo 12.1: (Morettin) Num mercado, três corretoras A, B e C são responsáveis por 20%, 50% e 30% do volume total de contratos negociados, respectivamente. Do volume de cada corretora, 20%, 5% e 2% respectivamente, são contratos futuros em dólares. Um contrato é escolhido ao acaso e este é futuro em dólares. Qual a probabilidade de ele ter sido negociado pela corretora A? Solução: Considere os eventos: A, B e C: Corretoras F: contrato futuro em dólares
Deseja-se saber: P(A | F).
Por definição: , precisamos então calcular a P(F).
O evento F pode ser escrito como: Dessa maneira,
O problema nos fornece as informações: P(A)=0,2; P(F|A)=0, P(B)=0,5; P(F|B) = 0, P(C)=0,3; P(F|C) = 0,
Para facilitar, podemos utilizar um esquema em árvore:
Logo,
A probabilidade de o contrato ter sido negociado pela corretora A é de 56,3%
O teorema de Bayes pode ser ilustrado para esse problema em especial pela figura:
PB PA B PB PA B PBnPAB n
PBiPABi PA
A PA Bi P Bi = + + +
PF
PA F
P A F
F = ( A ∩ F )∪( B ∩ F )∪ ( C ∩ F ) P ( F )= P ( A ∩ F )+ P ( B ∩ F )+ P ( C ∩ F )
F
F
F
F
F
F
A
B
C
0 , 04
0 , 025
0 , 006
P( A∩F )
P( B∩F )
P( C∩F )
P( F)= 0 , 071
P(F|A )
F
F
F
F
F
F
A
B
C
0 , 04
0 , 025
0 , 006
P( A∩F )
P( B∩F )
P( C∩F )
P( F)= 0 , 071
PP ((FF||AA ))
PF
PA F
PAF
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Unidade 1: Introdução à Probabilidade
Solução: Sejam os eventos: C 1 : carro 1 “pega” C 2 : carro 2 “ pega” E sua negação:
C 1 : carro 1 não “pega”
C 2 : carro 2 não “pega”
Dados do problema:
- C 1 e C 2 são independentes
- P ( C 1 ) = 0 , 20 e P ( C 2 ) = 0 , 30
- De (2) e pela propriedade de negação de evento: P ( C 1 ) = 1 − P ( C 1 ) = 0 , 80 e P ( C 2 ) = 0 , 70.
Então,
a) O evento: nenhum “pegar” = C 1 (^) ∩ C 2 ⇒
P ( C 1 ∩ C 2 ) = P ( C 1 ) P ( C 2 ) =( 0 , 20 )( 0 , 30 ) = 0 , 06
Logo, P(nenhum “pegar”) = 6,0%
b) Apenas um “pegar” ⇒ ( C 1 ∩ C 2 ) ∪( C 1 ∩ C 2 )
Como C1 e C2 são independentes e ( C 1 (^) ∩ C 2 )e (^)
C 1 (^) C 2 são mutuamente exclusivos, tem-se que:
P(apenas um “pegar”) é:
P [ ( C 1 ∩ C 2 ) ∪( C 1 ∩ C 2 )] = P ( C 1 ) P ( C 2 ) + P ( C 1 ) P ( C 2 ) =( 0 , 80 )( 0 , 30 )+( 0 , 20 )( 0 , 70 )= 0 , 38
Logo, P(apenas um “pegar”) = 38,0%
Exercício 13.3 – (Montgomery) O circuito a seguir opera se, e somente se, houver um caminho de equipamentos funcionais, da esquerda para a direita. Considere que equipamentos falhem independentemente, sendo a probabilidade de falha de cada equipamento mostrada no figura. Qual a probabilidade de que o circuito opere?
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Solução: Sejam:
Da esquerda para a direita e considerando a independência dos equipamentos: a) 1º circuito opera se: I =( A ∩ B ) ∪ C
Logo, a probabilidade de I operar é: P ( I ) = P ( A ∩ B ) + P ( C ) − P [( A ∩ B )∩ C ]
P ( I ) =( 0 , 99 )( 0 , 99 ) +( 0 , 90 ) −( 0 , 99 )( 0 , 99 )( 0 , 90 ) = 0 , 998
b) 2º circuito opera se: II =( D ∪ E )
P ( II ) = P ( D )+ P ( E )− P ( D ∩ E ) =( 0 , 90 ) +( 0 , 90 ) −( 0 , 90 )( 0 , 90 ) = 0 , 99
O circuito em paralelo irá operar se I e II operarem simultaneamente: I ∩ II Dos resultados obtidos em (a) e (b) e considerando que I e II são independentes (pela independência dos equipamentos), a probabilidade de o circuito operar será: P ( I I II )= P ( I ) P ( II )=( 0 , 998 )( 0 , 99 )= 0 , 988
Conclusão: A probabilidade de o circuito acima operar é de 98,8%.
Exercício 13.4 – A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 40%; a de sua mulher é 65%. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos: a) Ambos estejam vivos; b) Somente o homem esteja vivo; c) Somente a mulher esteja viva; d) Nenhum esteja vivo; e) Pelo menos um esteja vivo. Solução: Sejam os eventos: H – homem está vivo daqui a 30 anos; M – mulher está viva daqui a 30 anos a) Ambos estejam vivos?
b) Somente o homem esteja vivo
c) Somente a mulher esteja viva
d) Nenhum esteja vivo
P ( H ∩ M )= P ( H ) P ( M )=( 0 , 40 )( 0 , 65 )= 0 , 26
P ( H ∩ M )=( 0 , 40 )( 1 − 0 , 65 )=( 0 , 40 )( 0 , 35 )= 0 , 14
P ( H ∩ M )=( 1 − 0 , 40 )( 0 , 65 )=( 0 , 60 )( 0 , 65 )= 0 , 39
A B
C
D
E
I II
A B
C
D
E
A B
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D
E
I II
