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01 - (Uerj) Dois cubos cujas arestas medem 2 cm são
colados de modo a formar o paralelepípedo
ABCDA’B’C’D’. Esse paralelepípedo é seccionado pelos
planos ADEF e BCEF, que passam pelos pontos médios
F e E das arestas A’B’ e C’D’, respectivamente.
A parte desse paralelepípedo compreendida entre
esses planos define o sólido ABCDEF, conforme indica
a figura a seguir.
O volume do sólido ABCDEF, em cm
3
, é igual a:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 12
02 - (Famema) Um cilindro circular reto A, com raio da
base igual a 6 cm e altura H, possui a mesma área
lateral que um cilindro circular reto B, com raio da base
r e altura h, conforme mostram as figuras.
Sabendo que
h
H
= 1,2 e que o volume do cilindro B é
240 π cm
3
, é correto afirmar que a diferença entre os
volumes dos cilindros é
a) 5 0 π cm
3
b) 42 π cm
3
c) 45 π cm
3
d) 48 π cm
3
e) 37 π cm
3
03 - (Fac. Albert Einstein) Para a feira cultural da escola,
um grupo de alunos irá construir uma pirâmide reta de
base quadrada. A pirâmide terá 3 m de altura e cada
aresta da base medirá 2 m. A lateral da pirâmide será
coberta com folhas quadradas de papel, que poderão
ser cortadas para um melhor acabamento.
Se a medida do lado de cada folha é igual a 20 cm, o
número mínimo dessas folhas necessárias à execução
do trabalho será
Utilize √
a) 285
b) 301
c) 320
d) 333
04 - (Ufu) Um recipiente cônico utilizado em
experiências de química deve ter duas marcas
horizontais circulares, uma situada a 1 centímetro do
vértice do cone, marcando um certo volume v, e outra
marcando o dobro deste volume, situada a H
centímetros do vértice, conforme figura.
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Geometria Espacial
Nestas condições, a distância H, em centímetros, é
igual a:
a) √ 2
3
b) √ 3
c) 4/
d) 3/
05 - (Enem) A bocha é um esporte jogado em canchas,
que são terrenos planos e nivelados, limitados por
tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse
esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um
material sintético, de maneira a situá-las o mais perto
possível do bolim, que é uma bola menor feita,
preferencialmente, de aço, previamente lançada.
A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram
jogados em uma cancha. Suponha que um jogador
tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha
ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme
ilustra a Figura 2.
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto
O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são os
pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente,
tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B
é igual a d.
Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do
bolim?
a) 1
b)
2 √
10
5
c)
√
10
2
d) 2
e) √
06 - (Efomm) Seja uma esfera de raio R e um cubo de
aresta A, ambos com a mesma área de superfície. A
razão entre o volume do cubo e o volume da esfera é
igual a
a)
1
√
π
b)!
π
12
c)
2π
3
d)!
π
3
e)!
π
6
07 - (Pucrs) Muitos prédios que estão sendo
construídos em nossa cidade possuem caixas d’água
com a forma de um paralelepípedo. Um construtor
quer adquirir duas delas que tenham internamente a
mesma altura, mas diferindo na base, que deverá ser
quadrada em ambas. A primeira deverá ter capacidade
para 16.000 litros, e a segunda para 25.000 litros. A
razão entre a medida do lado da base da primeira e a
da segunda, em decímetros, é
a) 0,
b) 0,
c) 0,
d) 0,
e) 1,
08 - (Fatec) Um cilindro circular reto é dividido em N
partes quando interceptado por quatro planos. Um dos
planos é paralelo às bases do cilindro e os outros três,
perpendiculares a elas. A figura mostra os cortes
obtidos com essas intersecções.
Assim sendo, de acordo com a figura, o valor de N é
a) 10.
b) 12.
c) 14.
d) 15.
e) 17.
Gabarito:
Questão 1:
Questão resolvida durante o aulão.
Questão 2:
Questão resolvida durante o aulão.
Questão 3:
Questão resolvida durante o aulão.
Questão 4:
Questão resolvida durante o aulão.
Questão 5:
Questão resolvida durante o aulão.
Questão 6: E
Tem-se que
6 A
2
= 4πR
2
⇒ A =
2π
3
R.
Portanto, a resposta é
A
3
4
3
πR
3
"
2π
3
R$
3
4
3
πR
3
π
6
Questão 7: D
Sejam a, b e c, respectivamente, a medida do lado da
primeira, a medida do lado da segunda e a altura das
caixas d’água. Desse modo, vem a
2
∙ c = 16000 e b
2
∙ c =
25000 e, portanto, dividindo ordenadamente essas
equações, encontramos
a
2
· c
b
2
· c
16000
25000
a
b
16
25
a
b
Questão 8: C
A base do cilindro foi dividida em 7 partes pelos planos
perpendiculares a elas, dividindo assim o cilindro em
sete sólidos. Considerando o plano paralelo às bases
cada um destes 7 sólidos foi dividido em duas partes.
Portanto o valor de N será 2 · 7 = 14.
Questão 9: D
Do enunciado e da figura, temos:
G é ponto de encontro das diagonais do quadrado
ABCD, pois EABCD é uma pirâmide quadrangular
regular.
O comprimento de R é dado por AG + GF, pois AG
é a
projeção perpendicular de AE
sobre ABCD e GF
é a
projeção perpendicular de EF
sobre ABCD.
Note que AG = 1/2 AC e GF = 1/2 AD.
No triângulo ACD,
(AC)
2
2
2
(2AG)
2
2
4(AG)
2
2
Como AG > 0,
AG
2
2
2AG = 40 √ 2
AG = 2 0
2 cm
Como AD = 40 cm,
GF = 1/2 ∙ 40
GF = 20 cm
Assim,
AG + GF = (20√ 2 + 20) cm
AG + GF = 20(1 + √ 2 ) cm
Questão 10: C
Sejam r e h, respectivamente, o raio da base e a altura
do cilindro. Logo, sabendo que os dois sólidos possuem
o mesmo raio da base e a mesma altura, tem-se que a
resposta é dada por
πr
2
h
1
3
πr
2
h
