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MATRIZES
CONCEITO:
Um conjunto de elementos algébricos dispostos em uma tabela retangular com linhas e colunas é uma Matriz. A seguir, vemos um exemplo de Matriz de 3 linhas e 4 colunas, e que representaremos por :
[ ]
Os elementos que formam a Matriz devem ser escritos entre parênteses ou entre colchetes. Podemos representar a Matriz por seus elementos, que serão simbolizados por “ ”, onde o índice i, que é o primeiro, representa a linha e j, o segundo, a coluna onde se encontra o elemento. Então, na Matriz M , que serve de exemplo, o elemento a 23 , que se encontra na segunda linha e na terceira coluna , é igual a zero. Do mesmo modo, a12 = -3, e o elemento a 34 = 9. É conveniente sempre nos lembrarmos que a disposição dos elementos em uma Matriz é a seguinte:
[ ]
EXEMPLOS: Muitas vezes precisamos montar uma Matriz a partir de uma lei geral. Analise os exemplos a seguir:
- Montar a Matriz ( ) tal que: {
Resolução: Esta Matriz possui 2 linhas e 5 colunas, e podemos montá-la do modo a seguir:
Assim, a Matriz solicitada será [ ]
- Obtenha a soma dos quadrados dos elementos da terceira coluna da Matriz cujos elementos são dados pelas expressões: , se ; , se ;
. se. Resolução: Os elementos da terceira coluna, somados, formam a seguinte igualdade:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
- Escreva a Matriz cujos elementos são: ( ) ( ). Resolução: Esta Matriz possui 3 linhas e 3 colunas cujos elementos são assim obtidos:
[
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (^) ( ) ( ) (^) ( ) ( ) (^) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
] [ ]
EXERCÍCIOS:
Monte as Matrizes de acordo com as suas leis de formação:
- Matriz ( ) , tal que.
Resposta: [ ]
- Matriz ( ), de modo que {
Resposta: [ ]
- Matriz ( ), onde (^ )^ , se , e (^ )^ se.
Resposta:
[ ] TIPO DE UMA MATRIZ: Dizemos que uma Matriz possui tipo. Assim, no exercício 1, temos uma Matriz de tipo 2x3 , que devemos ler 2 por 3. A Matriz do exercício 2 é de tipo 2x4 , e a Matriz Coluna do exercício 3 possui tipo 5x1. MATRIZES ESPECIAIS: Existem Matrizes que possuem propriedades que as tornam especiais. Entre elas destacamos:
MATRIZ LINHA: É toda Matriz. Isto é, ela possui só uma linha e n colunas.
MATRIZ COLUNA: É toda Matriz. Ou seja, ela possui m linhas e apenas uma coluna. O exercício nº 3 da página anterior nos mostra uma Matriz Coluna. Como exemplo de Matriz Linha podemos escrever: (^) [ (^) √ ]
MATRIZ QUADRADA : É toda Matriz. Isto é, ela possui o número de linhas igual ao de colunas. Ordem de uma Matriz quadrada: Dada uma Matriz quadrada de tipo n x n, dizemos que ela possui ordem n. Então, uma Matriz Quadrada de tipo 4x4 possui ordem 4, ou ela é de 4ª ordem.
MATRIZ TRANSPOSTA: Dada uma Matriz , sua Matriz Transposta, que será representada por , é a que obtemos pela troca ordenada de linhas por colunas da Matriz dada. Assim, a primeira linha de será a primeira coluna de , a segunda linha de passará a ser a segunda coluna de. Exemplo:
Se [ ], então [ ]
Podemos perceber facilmente que, se transpusermos duas vezes uma Matriz, obteremos a mesma Matriz.
Em simbologia algébrica:. IGUALDADE DE MATRIZES: Duas Matrizes de mesmo tipo serão iguais se, e somente se seus elementos correspondentes forem respectivamente iguais. Exemplos de aplicação: Obtenha os valores das incógnitas x e y para que as matrizes A e B sejam iguais:
- [ ] [ ]
Resolução: Conforme a definição que acabamos de ler, se A = B, seus elementos correspondentes são respectivamente iguais. Se igualarmos tais elementos correspondentes, teremos:
{
Conclusão: e
- [ ] [ ]
Resolução: Podemos perceber que. Logo, conforme a definição, estas duas matrizes são diferentes para quaisquer valores de x e y, e, assim, o problema não tem solução.
- Encontre os valores das incógnitas , sabendo que.
[ ], [ ]
Resolução: Devemos obter a transposta da Matriz A e igualá-la à Matriz B, para em seguida resolvemos o sistema formado pelas equações decorrentes dessa igualdade:
[ ] [ ]
A solução deste sistema nos traz : , e EXERCÍCIOS:
- Obtenha os valores de x, y e z de modo que sejam verdadeiras as igualdades a seguir: a) (^) [ ] [ ]
Resp.: ( )
b)[ ] [ ]
Resp.: ( )
c)[ ] [ ]
Resp.: ( )
d) [ (^) | |] [ ]
Resp.: ( )
OPERAÇÕES COM MATRIZES: ADIÇÃO DE MATRIZES: A adição de duas Matrizes somente pode ser realizada se elas forem de mesmo tipo, e a sua soma é uma outra Matriz desse tipo e cujos elementos são tais que cada um deles é igual à soma dos elementos das Matrizes iniciais que estejam na sua posição.
Assim, se [ ] e [ ], então a sua soma será dada
por [ ] [ ]
Matrizes ( ) e ( ) , a sua soma será obtida do seguinte modo:
( ) ( ) ( ), onde e.
MATRIZ NULA: Uma Matriz é Nula se todos os seus elementos forem iguais a zero.
– (^ )^ (^ )^ (^ ).
Logo, teremos: (^ )^ (^ )^ (^ ) e assim obteremos ( ) ( ). Exemplo: Dadas as Matrizes (^ ), (^ )^ e (^ ), obtenha a Matriz M de modo que ( ). Solução: ( )
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
EXERCÍCIOS:
- Calcular os valores desconhecidos na equação matricial (que envolve matrizes):
[ ] [ ] [ ]
Resp.: ( )
- Calcule as variáveis da seguinte equação: [ ] [ ] [ ]
Resp.: ( )
- Dadas as Matrizes [ ], [ ] e [ ], obtenha:
a) Matriz M tal que: –.
Resp.: [ ]
b) Matriz Y tal que: –
Resp.: [ ]
MULTIPLICAÇÃO DE DUAS MATRIZES:
Dadas duas Matrizes e , seu produto é uma terceira Matriz cujos elementos serão iguais à soma dos produtos dos elementos da linha i da Matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da Matriz B.
É importante perceber que, para multiplicarmos duas Matrizes, é preciso que o número de colunas da primeira delas seja igual ao de colunas da segunda.
Exemplo: Obter o produto , sabendo que [ ] e [ ].
Resolução: Podemos ver que a Matriz A é do tipo e a B é do tipo. Assim, o número de colunas da primeira Matriz é o mesmo do de linhas da segunda. Então é possível multiplicá- las nesta ordem e seu produto é uma Matriz C, de tipo. Passemos agora à sua obtenção:
[ ] [ ] [
( ) ( ) ( )
]
Então, [ ]
EXERCÍCIOS:
- Calcular os seguintes produtos:
a) [ ] [ ]
Resp.: [ ]
b) [ ] [ ]
Resp.: [ ]
c) {[ ] [ ]} [ ] Resp.: [ ]
OBSERVAÇÃO:
Dada uma Matriz A, o produto pode ser simbolizado por , e somente é possível obtê-lo se A for quadrada. Analogamente podemos as “potências” , , etc., e que também só existem se A for quadrada.
- Conhecidas as Matrizes ( ) [ ] e [ ], obtenha:
a) ; b) ; c). Respostas:
Desta igualdade entre duas Matrizes decorre o seguinte sistema de 4 equações e 4 incógnitas:
{
As duas primeiras equações deste sistema apresentam as variáveis x e z, e assim, com facilidade, podemos perceber que e. Analogamente, se trabalharmos com o sistema das duas últimas equações, chegaremos a e , e a Matriz procurada será:
[ ]
OBSERVAÇÕES:
e A, devemos multiplicá-las e o produto deverá ser a Matriz Identidade.
- Se o sistema de equações for impossível de ser resolvido, dizemos que a Matriz A não é inversível, o ainda que não existe Matriz inversa.
EXERCÍCIOS:
- Inverta as seguintes Matrizes:
a) [ ]; b) [ ]; c) [ ].
Respostas:
a) Não existe ; b) [ ]; [ ]
Dadas as Matrizes: [ ], [ ] e [ ], obtenha a Matriz M tal que Resp.: [ ]
Seja a Matriz [ ]. Obtenha a Matriz.
Resp.: [ ]
- Se [ ], obtenha , e com.
Resposta: (^) [ ]; (^) [ ]; (^) [ ]
- Definimos Traço de uma Matriz Quadrada como o número igual à soma dos elementos de sua diagonal pr
Matrizes A e P são dadas por [ ] e [ ]
Resp.: ( )
