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Fun¸c˜oes (12.o^ ano)
a
derivada (concavidades e pontos de inflex˜ao)
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios
- Considere uma fun¸c˜ao, f , de dom´ınio R , duas vezes diferenci´avel, e a fun¸c˜ao f 00 , segunda derivada da fun¸c˜ao f.
Sabe-se que:
- a fun¸c˜ao f 00 tem exatamente dois zeros:
e 3 ;
- as retas r e s s˜ao tangentes ao gr´afico da fun¸c˜ao f nos pontos de abcissas 2 e 1 , respetivamente.
Considere as proposi¸c˜oes seguintes.
I. O gr´afico da fun¸c˜ao f tem dois pontos de inflex˜ao, de abcissas
e 3. II. O declive da reta r ´e menor do que o declive da reta s.
Justifique que as proposi¸c˜oes I e II s˜ao falsas.
Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposi¸c˜oes, uma raz˜ao que justifique a sua falsidade. Exame – 2025, Ep. especial´
- Seja f uma fun¸c˜ao, de dom´ınio R , positiva e duas vezes diferenci´avel, cujo gr´afico tem concavidade voltada para cima e cuja primeira derivada n˜ao se anula.
Seja g a fun¸c˜ao, de dom´ınio R , definida por g(x) = [f (x)] 2.
Estude a fun¸c˜ao g quanto ao sentido das concavidades do seu gr´afico.
Exame – 2025, Ep. especial´
- Seja f uma fun¸c˜ao de dom´ınio R +^ , duas vezes diferenci´avel.
Sabe-se que:
- a fun¸c˜ao f 0 , derivada da fun¸c˜ao f , ´e estritamente crescente no intervalo ]0, + 1 [;
- f 0 (1) = 2. Considere a proposi¸c˜ao seguinte. O gr´afico da fun¸c˜ao f pode ter concavidade voltada para baixo em R +^. Justifique que a proposi¸c˜ao anterior ´e falsa.
Na sua resposta, apresente uma raz˜ao que justifique a sua falsidade. Exame – 2024, 2.a^ Fase (adaptado)
- Resolva este item sem recorrer `a calculadora.
Seja f uma fun¸c˜ao diferenci´avel, de dom´ınio R, cuja derivada, f 0 , ´e dada por
f 0 (x) = 2 xe 1 x^
2
Estude a fun¸c˜ao f quanto ao sentido das concavidades do seu gr´afico e quanto `a existˆencia de pontos de inflex˜ao.
Na sua resposta, apresente:
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de f tem concavidade voltada para baixo;
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de f tem concavidade voltada para cima;
- a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflex˜ao do gr´afico de f , caso este(s) exista(m).
Exame – 2023, 1.a^ Fase
- Sejam f e g fun¸c˜oes duas vezes diferenci´aveis, de dom´ınios R e ]0, + 1 [, respetivamente, e seja r a reta de equa¸c˜ao y = 2x 1.
Sabe-se que:
- a reta r ´e tangente ao gr´afico de g no ponto de abcissa 1;
- lim x!+ 1
f (x) 2 x + 1
- nos respetivos dom´ınios, o gr´afico de f tem concavidade voltada para cima e o gr´afico de g tem concavidade voltada para baixo.
Considere as proposi¸c˜oes seguintes.
I. O gr´afico da fun¸c˜ao f admite uma ass´ıntota horizontal quando x tende para + 1.
II. lim x! 1 g(x) = 2;
III. f 00 (x) < g 00 (x), 8 x 2 ]0, + 1 [.
Justifique que as proposi¸c˜oes I, II e III s˜ao falsas.
Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposi¸c˜oes, uma raz˜ao que justifique a sua falsidade.
Exame – 2023, 1.a^ Fase
- Considere a fun¸c˜ao f , de dom´ınio R +^ , definida por f (x) = x 3 + 6 ln x
Estude a fun¸c˜ao f quanto ao sentido das concavidades do seu gr´afico e quanto `a existˆencia de pontos de inflex˜ao.
Na sua resposta, apresente:
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de f tem concavidade voltada para baixo;
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de f tem concavidade voltada para cima;
- as coordenadas do(s) ponto(s) de inflex˜ao do gr´afico de f
Exame – 2018, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. xOy, parte do gr´afico de uma fun¸c˜ao f , polinomial do terceiro grau.
Tal como a figura sugere, a fun¸c˜ao f tem um m´aximo relativo para x = 2 e tem um m´ınimo relativo para x = 2
A origem do referencial ´e ponto de inflex˜ao do gr´afico de f
Sejam f 0 e f 00 a primeira e a segunda derivadas da fun¸c˜ao f , respetivamente.
Qual ´e o conjunto solu¸c˜ao da condi¸c˜ao f 0 (x) ⇥ f 00 (x) 0?
x
y
O
f
(A) [ 2 ,0][[2,+ 1 [ (B) ] 1, 2][[0,2] (C) ] 1,0][[2,+ 1 [ (D) ] 1, 2][[0,+ 1 [
Exame – 2017, Ep. especial´
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio ]1 ⇡, + 1 [, definida por
f (x) =
2 x 2 sen (x 1) se 1 ⇡ < x < 1
2 se x = 1
e ^2 x+4^ + ln(x 1) se x > 1
O gr´afico da fun¸c˜ao f tem um ´unico ponto de inflex˜ao, cuja abcissa pertence ao intervalo ]1,2[ Determine, recorrendo `a calculadora gr´afica, a abcissa desse ponto. Na sua resposta:
- reproduza, num referencial, o(s) gr´afico(s) da(s) fun¸c˜ao(˜oes) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver o problema;
- apresente a abcissa do ponto de inflex˜ao arredondada `as cent´esimas.
Exame – 2017, Ep. especial´
- Seja f uma fun¸c˜ao de dom´ınio R A tabela de varia¸c˜ao de sinal da fun¸c˜ao f 00 , segunda derivada de f , ´e a seguinte.
x 1 10 0 10 + 1
f 00 0 + 0 0 +
Seja g a fun¸c˜ao definida por g(x) = f (x 5)
Em qual dos intervalos seguintes o gr´afico de g tem concavidade voltada para baixo?
(A) ] 15 , 5[ (B) ]0,10[ (C) ] 5 ,5[ (D) ]5,15[ Exame – 2017, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. xOy, parte do gr´afico de uma fun¸c˜ao polinomial f Sabe-se que o ´unico ponto de inflex˜ao do gr´afico de f tem abcissa 0 Seja f 00 a segunda derivada da fun¸c˜ao f
Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira?
(A) f 00 (1) + f 00 (2) < 0 (B) f 00 ( 2) + f 00 ( 1) > 0
(C) f 00 ( 1) ⇥ f 00 ( 2) < 0 (D) f 00 (1) ⇥ f 00 (2) > 0
x
y
O
f
Exame – 2017, 1.a^ Fase
- Seja f uma fun¸c˜ao, de dom´ınio R, cuja derivada, f 0 , de dom´ınio R, ´e dada por
f 0 (x) = e x^
x 2 + x + 1
Resolva o item seguinte recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora.
Estude a fun¸c˜ao f quanto ao sentido das concavidades do seu gr´afico e quanto `a existˆencia de pontos de inflex˜ao. Na sua resposta, apresente:
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de f tem concavidade voltada para baixo;
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de f tem concavidade voltada para cima;
- a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflex˜ao do gr´afico de f
Exame – 2016, 1.a^ Fase
- Seja f : R! R uma fun¸c˜ao tal que:
- f tem derivada finita em todos os pontos do seu dom´ınio;
- f 0 (0) > 0
- f 00 (x) < 0, para qualquer x 2 ] 1,0[ Nenhum dos gr´aficos a seguir apresentados ´e o gr´afico da fun¸c˜ao f
Gr´afico A Gr´afico B Gr´afico C
x
y
O x
y
O x
y
O
Elabore uma composi¸c˜ao na qual apresente, para cada um dos gr´aficos, uma raz˜ao pela qual esse gr´afico n˜ao pode ser o gr´afico da fun¸c˜ao f Exame – 2015, 2.a^ Fase
- Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por
f (x) =
ex^
p e 2 x 1
se x <
(x + 1) ln x se x
Estude, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora, a fun¸c˜ao f quanto ao sentido das concavidades do seu gr´afico e quanto `a existˆencia de pontos de inflex˜ao, no intervalo
Na sua resposta, apresente:
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de f tem concavidade voltada para baixo;
- o(s) intervalo(s) em que o gr´afico de f tem concavidade voltada para cima;
- as coordenadas do(s) ponto(s) de inflex˜ao do gr´afico de f
Exame – 2015, 1.a^ Fase
- Seja f uma fun¸c˜ao de dom´ınio ] 5 ,5[ Sabe-se que o gr´afico da fun¸c˜ao f tem exatamente dois pontos de inflex˜ao.
Em qual das op¸c˜oes seguintes pode estar representado o gr´afico da fun¸c˜ao f 00 , segunda derivada da fun¸c˜ao f?
(A) (B)
x
y
(^5) O 5 x
y
5 O 5
(C) (D)
x
y
5 O
x
y
5 O
Exame – 2014, Ep. especial´
- Na figura seguinte, est´a representada, num referencial o.n. xOy, parte do gr´afico de uma fun¸c˜ao polinomial f , de grau 3
Sabe-se que:
- 2 e 3 s˜ao os ´unicos zeros da fun¸c˜ao f
- a fun¸c˜ao f tem um extremo relativo em x = 2
- h 0 , primeira derivada de uma fun¸c˜ao h, tem dom´ınio R e ´e definida por h 0 (x) =
f (x) e 2 x
Considere as afirma¸c˜oes seguintes.
x
y
2 O 3
f
I) A fun¸c˜ao h tem dois extremos relativos. II) h 00 ( 2) = 0 III) y + 3 = 0 ´e uma equa¸c˜ao da ass´ıntota do gr´afico da fun¸c˜ao h quando x tende para + 1
Elabore uma composi¸c˜ao, na qual indique, justificando, se cada uma das afirma¸c˜oes ´e verdadeira ou falsa. Na sua resposta, apresente trˆes raz˜oes diferentes, uma para cada afirma¸c˜ao.
Exame – 2014, 2.a^ fase
- Sejam f 0 e f 00 , de dom´ınio R, a primeira derivada e a segunda derivada de uma fun¸c˜ao f , respetivamente. Sabe-se que:
- a ´e um n´umero real;
- P ´e o ponto do gr´afico de f de abcissa a
- lim x!a
f (x) f (a) x a
Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e necessariamente verdadeira?
(A) a ´e um zero da fun¸c˜ao f
(B) f (a) ´e um m´aximo relativo da fun¸c˜ao f
(C) f (a) ´e um m´ınimo relativo da fun¸c˜ao f
(D) P ´e ponto de inflex˜ao do gr´afico da fun¸c˜ao f
Exame – 2013, 2.a^ fase
- Seja g uma fun¸c˜ao, de dom´ınio R +^ , cuja derivada, g 0 , de dom´ınio R +^ , ´e dada por
g 0 (x) = ln(e x^ + 6e x^ + 4x)
Estude a fun¸c˜ao g quanto ao sentido das concavidades do seu gr´afico e quanto `a existˆencia de pontos de inflex˜ao, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora.
Exame – 2013, 2.a^ fase
- Seja f uma fun¸c˜ao de dom´ınio R e seja f 00 a segunda derivada da fun¸c˜ao f Sabe-se que f 00 tem dom´ınio R e ´e definida por f 00 (x) = e x^ x 2 (x 1) Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira?
(A) O gr´afico da fun¸c˜ao f tem exatamente quatro pontos de inflex˜ao.
(B) O gr´afico da fun¸c˜ao f tem exatamente trˆes pontos de inflex˜ao.
(C) O gr´afico da fun¸c˜ao f tem exatamente dois pontos de inflex˜ao.
(D) O gr´afico da fun¸c˜ao f tem exatamente um ponto de inflex˜ao.
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 24.05.
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o. n. xOy, parte do gr´afico de h 00 , segunda derivada de uma fun¸c˜ao h, de dom´ınio R
Em qual das op¸c˜oes seguintes pode estar representada parte do gr´afico da fun¸c˜ao h?
x
y
O
h 00
(A) (B)
x
y
O x
y
O
(C) (D)
x
y
O x
y
O
Exame – 2012, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. xOy, parte do gr´afico de uma fun¸c˜ao f , de dom´ınio R
Sejam f 0 e f 00 , de dom´ınio R, a primeira deri- vada e a segunda derivada de f , respetivamente.
Qual dos valores seguintes pode ser positivo?
(A) f 0 (1) (B) f 0 ( 3)
(C) f 00 ( 3) (D) f 00 (1)
x
5 4 3 2 (^1 1 )
y
2
1
1
2
O
f
Exame – 2012, 1.a^ Fase
- De uma certa fun¸c˜ao f sabe-se que:
- o seu dom´ınio ´e ]1, + 1 [
- a sua derivada ´e dada por f 0 (x) = x 2 4 x +
4 ln(x 1)
Na figura ao lado, est´a representada parte do gr´afico da fun¸c˜ao f. Tal como a figura sugere, o gr´afico da fun¸c˜ao f tem um ponto de inflex˜ao. Determine a abcissa desse ponto, recorrendo a m´etodos exclusiva- mente anal´ıticos. x
y
f
(^2) b
A
B
r
s
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 24.05.
- Para um certo n´umero real a, seja a fun¸c˜ao f , de dom´ınio R, definida por f (x) = ax 2 1
Na figura ao lado, est´a representada, num referen- cial o. n. xOy, parte do gr´afico da fun¸c˜ao f 00 , segunda derivada da fun¸c˜ao f
Qual dos valores seguintes pode ser o valor de a?
(A) 0 (B) ⇡ (C) 3 (D) 3
x
y
f 00
Exame – 2011, Ep. especial´
- De uma fun¸c˜ao g sabe-se que tem dom´ınio
, e g 0 , primeira derivada de g, tem dom´ınio,
; e ´e definida por g 0 (x) = log (^2)
x
Estude a fun¸c˜ao g quanto ao sentido das concavidades do seu gr´afico e quanto `a existˆencia de pontos de inflex˜ao no intervalo
Exame – 2011, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial ortogonal xOy, parte do gr´afico de uma fun¸c˜ao polinomial f , de grau 4
Qual das express˜oes seguintes pode definir a fun¸c˜ao f 00 , segunda derivada de f?
(A) (x 3) 2 (B) (x + 3) 2
(C) 9 x 2 (D) x 2 9
x
y
f
Exame – 2011, 2.a^ fase
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial ortogonal xOy, parte do gr´afico da fun¸c˜ao g Sabe-se que:
- g ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em R
- g n˜ao tem zeros
- a segunda derivada f 00 de uma certa fun¸c˜ao f tem dom´ınio R e ´e definida por f 00 (x) = g(x) ⇥ (x 2 5 x + 4)
- f (1) ⇥ f (4) > (^0) x
y
O
g
Apenas uma das op¸c˜oes seguintes pode representar a fun¸c˜ao f
(I) (II)
x
y
O 1 4
x
y
O 1 4
(III) (IV)
x
y
O 1 4
x
y
O 1 4
Elabore uma composi¸c˜ao na qual
- indique a op¸c˜ao que pode representar f
- indique as raz˜oes que o levam a rejeitar as restantes op¸c˜oes Apresente trˆes raz˜oes, uma por cada gr´afico rejeitado.
Exame – 2011, 1.a^ fase
- Na figura ao lado, est´a parte da representa¸c˜ao gr´afica de uma fun¸c˜ao polinomial f
O ponto de abcissa 2 ´e o ´unico ponto de inflex˜ao do gr´afico da fun¸c˜ao f
Qual das express˜oes seguintes pode definir f 00 , segunda deri- vada da fun¸c˜ao f?
(A) (x 2) 2 (B) (2 + x) 2 (C) 2 x (D) x 2
x
y
f
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 19.05.
- De uma fun¸c˜ao f , de dom´ınio R, sabe-se que a sua derivada, f 0 , ´e definida por
f 0 (x) = (2x + 4)e x
Sem recorrer a calculadora, estude a fun¸c˜ao f quanto ao sentido das concavidades do seu gr´afico e quantoa existˆencia de pontos de inflex˜ao. Teste Interm´edio 12.o^ ano – 27.05.
- Na figura ao lado est´a representada parte do gr´afico de uma fun¸c˜ao h, de dom´ınio R + 0.
Em cada uma das figuras abaixo est´a representada parte do gr´afico de uma fun¸c˜ao de dom´ınioR + 0.
Uma das fun¸c˜oes representadas ´e h 0 , primeira derivada de h, e a outra ´e h 00 , segunda derivada de h. x
y
O a^ b c
x
y
O b x
y
O a^ c
Gr´afico A Gr´afico B
Numa pequena composi¸c˜ao, explique em qual das figuras est´a representado o gr´afico da primeira derivada e em qual est´a representado o gr´afico da segunda derivada. Na sua composi¸c˜ao, deve referir-se `a varia¸c˜ao de sinal das fun¸c˜oes h 0 e h 00 , relacionando-a com caracter´ısticas da fun¸c˜ao h(monotonia e sentido das concavidades do seu gr´afico). Exame – 2007, 2.a^ fase
- De uma certa fun¸c˜ao f , de dom´ınio R, sabe-se que a sua segunda derivada ´e dada por f 00 (x) = (x 2 1)(x 2 + 5)(x + 6)^2
Quantos pontos de inflex˜ao tem o gr´afico de f?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
Exame – 2006, Ep. especial´
- Na figura ao lado est´a parte do gr´afico de uma fun¸c˜ao h, de dom´ınio R. Sejam h 0 e h 00 a primeira e a segunda derivadas de h, respetiva- mente. Admita que estas duas fun¸c˜oes tamb´em tˆem dom´ınio R. Qual das express˜oes seguintes designa um n´umero positivo?
(A) h(0) + h 00 (0) (B) h(0) h 0 (0)
(C) h 0 (0) h 00 (0) (D) h 0 (0) ⇥ h 00 (0)
x
y
Exame – 2006, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado est´a representada parte do gr´afico de uma fun¸c˜ao polinomial f. Tal como a figura sugere, o gr´afico de tem a concavidade voltada para cima em ] 1,0] e voltada para baixo em [0, + 1 [.
A reta r, tangente ao gr´afico de f no ponto de ab- cissa 0, ´e paralela `a bissetriz dos quadrantes ´ımpares e interseta o eixo Ox no ponto de abcissa 2.
Sabendo que f 0 e f 00 designam, respetivamente, a primeira e a segunda derivadas de f , indique o valor de f (0) + f 0 (0) + f 00 (0)?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
x
y
r
f
Exame – 2006, 1.a^ Fase
- De uma certa fun¸c˜ao f , de dom´ınio R, sabe-se que a sua derivada ´e dada por
f 0 (x) = x 3 3 x + 1 Em qual dos conjunto seguintes, o gr´afico de f tem a concavidade voltada para baixo?
(A) ] 1 ,1[ (B) ] 1, 1[ (C) ]0,3[ (D) ]0, + 1 [
Exame – 2005, ´Ep. especial (c´od. 435)
- Seja f uma fun¸c˜ao, de dom´ınio R +^ , tal que a sua derivada ´e dada por
f 0 (x) = 2 + x ln x, 8 x 2 R + Sem recorrer a calculadora, estude a fun¸c˜ao f quanto ao sentido das concavidades do seu gr´afico e quantoa existˆencia de pontos de inflex˜ao. Exame – 2005, 1.a^ Fase (c´od. 435)
- Na figura ao lado est´a parte da representa¸c˜ao gr´afica de uma fun¸c˜ao f , polinomial do terceiro grau.
Seja f 00 a segunda derivada de f
Qual dos valores seguintes pode ser solu¸c˜ao da equa¸c˜ao f 00 (x) = 0?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
x
y
f
Exame – 2004, ´Ep. especial (c´od. 435)
- Seja f uma fun¸c˜ao de dom´ınio R. Sabe-se que a primeira e a segunda derivadas de f s˜ao negativas em R. Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gr´afico da fun¸c˜ao f?
(A) (B)
x
y
0 x
y
(C) (D)
x
y
0 x
y
Exame – 2003, 1.a^ fase - 1.a^ chamada (c´od. 435)
- Seja f uma fun¸c˜ao de dom´ınio R e a um ponto do dom´ınio de tal f que f 0 (a) = 0 Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e necessariamente verdadeira?
(A) a ´e zero de f (B) f (a) ´e extremo relativo de f
(C) (a,f (a)) ´e ponto de inflex˜ao do gr´afico de f (D) A reta de equa¸c˜ao y = f (a) ´e tangente ao gr´afico de f
Exame – 2002, Prova para militares (c´od. 435)
- Seja f uma fun¸c˜ao de dom´ınio R
Na figura ao lado est´a representada parte do gr´afico de f 00 , segunda derivada da fun¸c˜ao f.
Relativamente ao gr´afico da fun¸c˜ao f , qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira? x
y
a (^0) b c
f 00
(A) O ponto de abcissa a ´e um ponto de inflex˜ao.
(B) O ponto de abcissa c ´e um ponto de inflex˜ao.
(C) A concavidade est´a virada para baixo no intervalo [0,b]
(D) A concavidade est´a sempre virada para cima
Exame – 2002, 2.a^ fase (c´od. 435)
- Na figura ao lado est´a representada parte do gr´afico de uma fun¸c˜ao f , de dom´ınio R.
Numa das alternativas seguintes est˜ao os quadros de sinais de f 0 e de f 00 , respetivamente primeira e segunda derivadas de f.
Em qual delas?
x
y
0 a b c d e
(A)
x a c e f 0 + 0 0 + 0
x b d f 00 + 0 0 +
(B)
x a c e f 0 + 0 0 + 0
x b d f 00 0 + 0
(C)
x a c e f 0 0 + 0 0 +
x b d f 00 + 0 0 +
(D)
x a c e f 0 0 + 0 0 +
x b d f 00 0 + 0 Exame – 2002, 1.a^ fase - 1.a^ chamada (c´od. 435)
- Seja f uma fun¸c˜ao de dom´ınio [0, + 1 [
Na figura ao lado, a esquerda, est´a parte da representa¸c˜ao gr´afica da fun¸c˜ao f 0 e,a direita, parte da representa¸c˜ao gr´afica da fun¸c˜ao f 00 , respetiva- mente primeira e segunda derivadas de f.
Em qual das figuras seguintes pode estar parte da representa¸c˜ao gr´afica da fun¸c˜ao f?
x
y
O
f 0
x
y
O
f 00
(A) (B)
x
y
O
x
y
O
(C) (D)
x
y
O x
y
O
Exame – 2001, Prova para militares (c´od. 435)
