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FUNÇÃO DE 2º GRAU
1. Equação de 2º grau ➢ Toda equação de 2º grau possui a forma
ax 2 + bx + c = 0 , em a , b e c são os coeficientes da
equação devendo ser números reais e a 0.
➢ Uma equação em que os três coeficientes sejam diferen- tes de zero é chamada de equação completa e são resol- vidas através de uma expressão que ficou conhecida como Fórmula de Bhaskara , em que as raízes (x’ e x’’) são calculadas em função dos coeficientes da equação. Inicialmente devemos calcular o discriminante da equação, mais conhecido como delta (Δ)
= b^2 −4ac
Em seguida, o valor de Δ será usado para calcular as raízes através da expressão
b
x
2a
Por fim, as raízes obtidas serão
b
x '
2a
= e
b
x ''
2a
EXERCÍCIO DE AULA
01) Resolva as equações: a) 2
x − 9x + 14 = 0
b) 4 4 0
2
x − x + =
c) 2
x − 6 x + 13 = 0
OBSERVAÇÃO
O valor do discriminante (delta) determina características das raízes da equação, caso existam:
0 : Duas raízes (zeros) reais distintas.
= 0 : Duas raízes (zeros) reais iguais (raiz dupla).
0 : Não possui raízes (zeros) reais.
➢ As equações a seguir são incompletas e podem ser re- solvidas maneiras mais rápidas. EXERCÍCIOS DE AULA 02) Resolva as equações: a) 2
x − 25 = 0 b)
2
4 x − 81 = 0
c) 2
2 x − 49 = 0 d) ( )
2
x − 8 = 36
e) 2
x + 16 = 0 f)
3
x − 64 = 0
03) Resolva as equações: a) 2
x − 8x = 0 b)
3
x − 9x = 0
c) 2
2x − 3x = 0 d) ( 2x − 1. x) ( + 3. 4) ( − x )= 0
04) Um foguete foi lançado de uma plataforma de lançamen- to e sua altura h , em metros, t segundos após o seu lan-
çamento é dada pela função h t( ) = −t 2 + 20t + 300.
Esse foguete deve atingir um alvo que se encontra ao
nível do solo ( h = 0 ).
a) De que altura o foguete foi lançado? b) Qual a altura do foguete 10 segundos após o lançamen- to? c) Após quantos segundos o foguete atingirá o alvo? OBSERVAÇÃO A soma S e o produto P das raízes de uma equação de 2º grau são dadas por:
b
S x ' x ''
a
c
P x '.x ''
a
2. Definição ➢ Toda função de 2º grau tem a forma
f x = ax 2 + bx +c ou y = ax^2 + bx +c, com
a 0. A seguir temos alguns exemplos.
f x = 2x^2 − 3x + 5 a = 2 , b = − 3 , c = 5
y = 2 − x +x^2 a = 1 , b = − 1 , c = 2
P = 3t^2 −2t a = 3 , b = − 2 , c = 0
N = p 2 − 4 a = 1 , b = 0 , c = − 4
T s =5s^2 a = 5 , b = 0 , c = 0
OBSERVAÇÃO
➢ As funções que possuem os três coeficientes diferentes de zero são chamadas de funções completas. Caso
b = 0 ou c = 0 , as funções são chamadas de funções
incompletas. 3. Gráfico ➢ O gráfico de toda função de 2° grau é uma parábola. Sua concavidade depende do coeficiente de x^2 ( a ).
➢ Essa parábola poderá ficar disposta basicamente de seis maneiras diferentes (divididas em três situações) a de- pender da concavidade e da quantidade de vezes que a mesma corta o eixo x.
➢ Quando 0 , o gráfico toca o eixo x em dois pontos.
➢ Quando = 0 , o gráfico toca o eixo x em apenas um
ponto.
➢ Quando 0 , o gráfico não toca o eixo x.
OBSERVAÇÃO
O(s) ponto(s) em que o gráfico toca o eixo x, caso existam, são as raízes da função. Ou seja, são os valores que tornam a função igual a zero e, consequentemente são a solução da equação 2
ax + bx + c = 0
EXERCÍCIO DE AULA
05) (ENEM 2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei^2
f(x) x 6x C,
= − + onde C é a
medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6. OBSERVAÇÕES
- O ponto de intersecção com o eixo y será o termo inde- pendente da função ( c ) e o(s) ponto(s) de interseção com o eixo x, caso existam, serão as raízes da função (x’ e x’’)
- Quando c = 0, o gráfico da função passa pela origem e quando b = 0, o gráfico tem uma simetria em relação ao eixo y. 2
y = − x +6x
2
y = − x + 9
EXERCÍCIOS DE AULA
06) Admita que determinado lago possa suportar uma popu- lação máxima de 10.000 peixes e que, para uma peque- na população inicial p , a rapidez de seu crescimento C
seja dada pela função C p( )^ =^ k. p. 10000( −p),
sendo k uma constante positiva e 0 p 10000.
O gráfico cartesiano que melhor representa a função C(p), para p real, é a) b)
A utilização de computadores como ferramentas auxiliares na produção de conhecimento escolar tem sido uma realida- de em muitas escolas brasileiras. O GeoGebra é um software educacional utilizado no ensino de Matemática (geometria dinâmica). Na ilustração acima se tem a representação dos gráficos de duas funções reais a valores reais, definidas por
g(x) = x^2 − x + 2 ef(x) = x +5.
Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula- 53900 Quais os pontos em que os gráficos das funções se intersec- tam? 5. Estudo do vértice da parábola ➢ Toda parábola 2
y = ax + bx +cpossui um ponto, cha-
mado de vértice que é o ponto em que a função assume seu valor máximo (caso a parábola possua a concavida- de voltada para baixo) ou seu valor mínimo (caso a con- cavidade seja voltada para cima).As coordenadas do vértice V da parábola são: v
b
x
2a
= e yv
4a
➢ Distinguimos dois casos. Ponto de máximo V
b
X
2a
Valor máximo
YV
4a
Imagem da função
Im ( f )= − , YV
Ponto de mínimo V
b
X
2a
Valor mínimo
YV
4a
Imagem da função
Im ( f )= Y V ,+
EXERCÍCIOS DE AULA
10) Uma pessoa começa a receber um medicamento através de um soro e a quantidade Q , em mg, do mesmo em sua corrente sanguínea varia de acordo com a função
Q t = − t 2 + 6t + 20 , sendo t o tempo em horas des-
de o início da aplicação do soro. a) Após quanto tempo do início da aplicação do soro, a quantidade do medicamento na corrente sanguínea é máxima? b) Qual é essa quantidade máxima de medicamento? 11) (EPCAr 2016) Uma fábrica produz casacos de determi- nado modelo. O preço de venda de um desses casacos é de R$ 200,00, quando são vendidos 200 casacos. O gerente da fábrica, a partir de uma pesquisa, verificou que, para cada desconto de R$ 2,00 no preço de cada casaco, o número de casacos vendidos aumenta de 5. A maior arrecadação possível com a venda dos casacos acontecerá se a fábrica vender cada casaco por um valor, em reais, pertencente ao intervalo
a) [105 , 125[ b) [125 , 145[ c)[145 , 165[
d) [165 , 185[ e)[185 , 205[
12) (FGV 2017) Um fazendeiro dispõe de material para construir 60 metros de cerca em uma região retangular, com um lado adjacente a um rio. Sabendo que ele não pretende colocar cerca no lado do re- tângulo adjacente ao rio, a área máxima da superfície que conseguirá cercar é a) 430 m^2. b) 440 m^2. c) 460 m^2. d) 470 m^2. e) 450 m^2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Um spam é uma mensagem eletrônica, geralmente com fins publicitários, que são enviadas automaticamente por um programa. Suponha que o número N de spams envi- ados por um programa é dado em função do tempo t , em
minutos, pela função ( )
200t^2
N t
5 3t
Em 5 minutos de atividade, esse programa envia a) 230 spams. b) 240 spams. c) 250 spams. d) 260 spams. e) 270 spams.
02) Uma fissura em um reservatório de gasolina provocou um grande vazamento. A partir do instante em que o da- no ocorreu, o volume V de gasolina restante no reserva- tório, em milhares de litros, em função do tempo t , em
horas, pode ser calculado por V t( ) = −2t 2 − 8t + 120.
Se esse vazamento não for consertado, em quantas ho- ras toda a gasolina contida no reservatório irá ser perdi- da? a) 3 horas. b) 4 horas. c) 4,5 horas. d) 5 horas. e) 6 horas. 03) (UFSM 2015) A água é essencial para a vida e está presente na constituição de todos os alimentos. Em re- giões com escassez de água, é comum a utilização de cisternas para a captação e armazenamento da água da chuva. Ao esvaziar um tanque contendo água da chuva, a expressão
V(t) 1 t^2
representa o volume (em m )^3 de água presente no tanque
no instante t(em minutos).
Qual é o tempo, em horas, necessário para que o tanque seja esvaziado?
a) 360. b) 180. c) 120. d) 6. e)3.
04) (UFRGS 2016) Considere as funções f e g,definidas
respectivamente por f(x) = 10x − x 2 − 9 e g(x) =7,re-
presentadas no mesmo sistema de coordenadas carte-
sianas. O gráfico da função g intercepta o gráfico da
função f em dois pontos. O gráfico da função f inter-
cepta o eixo das abscissas em dois pontos. A área do quadrilátero convexo com vértices nesses pontos é a)14. b)28. c)49.
d)63.
e)98.
05) (IFSUL 2015) Um móvel de R$ 360, 00 deveria ser
comprado por um grupo de rapazes que contribuíram em
partes iguais. Como 4 deles desistiram, os outros preci-
saram aumentar a sua participação em R$ 15, 00 cada
um. Qual era a quantidade inicial de rapazes?
a) 8
b) 12
c) 15
d) 20
e) 23
06) (CFTMG 2016) O saldo Sde uma empresa Aé calcu-
lado em função do tempo t, em meses, pela equação
S(t) = 3t^2 − 39t +66.
Considerando essa função, o saldo da empresa é negativo entre o a) 2º e o 11º mês. b) 4º e o 16º mês. c) 1º e 4º e entre o 5º do 16º mês. d) 2º e 5º e entre o 7º do 14º mês. e) 1º e 4º e entre o 7º do 14º mês. 07) As alturas dos foguetes A e B são dadas, respectiva-
mente, pelas funções hA ( )t = −t 2 + 6t + 41 e
2
h B t = −2t + 18t + 9 , onde t é medido em segun-
dos após o lançamento. Se os dois foguetes foram lançados simultaneamente, o foguete B está a uma altura maior que o foguete A para
a) 2 t 6 b) 4 t 8
c) 3 t 10 d) 0 t 4 out 8
e) 0 t 2 out 6
08) (IFAL 2017) No Laboratório de Química do IFAL, após várias medidas, um estudante concluiu que a concentra- ção de certa substância em uma amostra variava em função do tempo, medido em horas, segundo a função
quadrática f(t) = 5t −t.^2 Determine em que momento,
após iniciadas as medidas, a concentração dessa subs- tância foi máxima nessa amostra.
a) 1 hora.
b) 1 ,5hora.
c) 2 horas.
d) 2,5horas.
e) 3 horas.
09) (EFOMM 2018) Uma aluna do 3º ano da EFOMM, res- ponsável pelas vendas dos produtos da SAMM (Socie- dade Acadêmica da Marinha Mercante), percebeu que,
com a venda de uma caneca a R$ 9,00,em média 300
pessoas compravam, quando colocadas as canecas à venda em um grande evento. Para cada redução de
R$ 1,00 no preço da caneca, a venda aumentava em
100 unidades. Assim, o preço da caneca, para que a
receita seja máxima, será de
a)R$ 8,00.
b)R$ 7,00.
c)R$ 6,00.
d)R$ 5,00.
e)R$ 4,00.
16) (ESPM 2017) O lucro de uma pequena empresa é dado por uma função quadrática cujo gráfico está representa- do na figura abaixo: Podemos concluir que o lucro máximo é de:
a) R$ 1.280,00 b)R$ 1.400,
c) R$ 1.350,00 d)R$ 1.320,
e)R$ 1.410,
17) (FUVEST 2015) A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizon- tal, é parte de uma parábola com eixo de simetria verti-
cal, como ilustrado na figura abaixo. O ponto Psobre o
terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto
ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante
do lançamento até o instante em que o projétil atinge o
solo. A altura máxima do projétil, de 200 macima do
terreno, é atingida no instante em que a distância percor-
rida por P, a partir do instante do lançamento, é de
10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil
quando foi lançado? a) 60 b) 90 c) 120 d) 150 e) 180
EXERCÍCIOS ENEM
01) (ENEM PPL 2019) No desenvolvimento de um novo remédio, pesquisadores monitoram a quantidade Q de uma substância circulando na corrente sanguínea de um paciente, ao longo do tempo t. Esses pesquisadores controlam o processo, observando que Q é uma função quadrática de t. Os dados coletados nas duas primeiras horas foram: t (hora) 0 1 2 Q (miligrama) 1 4 6 Para decidir se devem interromper o processo, evitando ris- cos ao paciente, os pesquisadores querem saber, antecipa- damente, a quantidade da substância que estará circulando na corrente sanguínea desse paciente após uma hora do último dado coletado. Nas condições expostas, essa quantidade (em miligrama) será igual a a) 4. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.
02) (ENEM PPL 2018) Um projétil é lançado por um ca-
nhão e atinge o solo a uma distância de 150 metros
do ponto de partida. Ele percorre uma trajetória para-
bólica, e a altura máxima que atinge em relação ao
solo é de 25 metros.
Admita um sistema de coordenadas xyem que no eixo
vertical yestá representada a altura e no eixo horizontal
x está representada a distância, ambas em metro. Consi-
dere que o canhão está no ponto (150; 0)e que o projétil atinge o solo no ponto (0; 0) do planoxy.
A equação da parábola que representa a trajetória descrita
pelo projétil é
a) y = 150x −x^2
b) y = 3.750x −25x^2
c) 75y = 300x −2x^2
d) 125y = 450x −3x^2
e) 225y = 150x −x^2
03) (ENEM (Libras) 2017) Suponha que para um trem trafe- gar de uma cidade à outra seja necessária a construção
de um túnel com altura e largura iguais a 10 m. Por
questões relacionadas ao tipo de solo a ser escavado, o túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de uma determinada parábola, como apresentado na Figura 1. Deseja-se saber qual a equação da parábo- la que contém esse arco. Considere um plano cartesiano com centro no ponto médio da base da abertura do tú- nel, conforme Figura 2. A equação que descreve a parábola é a)^2
y x 10
= − + b)^2
y x 10
c) y = −x 2 + 10 d) y = x^2 − 25
e) y = −x 2 + 25
04) (ENEM (Libras) 2017) A única fonte de renda de um cabeleireiro é proveniente de seu salão. Ele cobra
R$ 10,00 por cada serviço realizado e atende 200 cli-
entes por mês, mas está pensando em aumentar o valor cobrado pelo serviço. Ele sabe que cada real cobrado a
mais acarreta uma diminuição de 10 clientes por mês.
Para que a renda do cabeleireiro seja máxima, ele deve co- brar por serviço o valor de
a) R$ 10,00. b) R$ 10,50. c)R$ 11,00.
d) R$ 15,00. e)R$ 20,00.
05) (ENEM 2017) Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de pris- mas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexí- veis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperati-
va utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela,
que é usada apenas nas laterais.
Quais devem ser os valores de Xe de Y,em metro, para
que a área da base do viveiro seja máxima?
a) 1 e 49 b) 1 e 99 c) 10 e 10
d) 25 e 25 e) 50 e 50
06) (ENEM 2017) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abó- badas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 for- nece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hi- potéticas para simplificar os cálculos.
Qual a medida da altura H,em metro, indicada na Figura 2?
a)
b)
c)
d) 25 3 e)
07) (ENEM 2016 2ª aplicação) Dispondo de um grande terreno, uma empresa de entretenimento pretende cons- truir um espaço retangular para shows e eventos, con- forme a figura.
13) (ENEM PPL 2013) O proprietário de uma casa de espe- táculos observou que, colocando o valor da entrada a R$10,00, sempre contava com 1.000 pessoas a cada apresentação, faturando R$10.000,00 com a venda dos ingressos. Entretanto, percebeu também que, a partir de R$10,00, a cada R$2,00 que ele aumentava no valor da entrada, recebia para os espetáculos 40 pessoas a me- nos. Nessas condições, considerando P o número de pessoas presentes em um determinado dia e F o faturamento com a venda dos ingressos, a expressão que relaciona o faturamen- to em função do número de pessoas é dada por: a)
P^2
F 60P
= + b)
P^2
F 60P
c) F = −P 2 +1200P d)
P^2
F 60
e) F = −P 2 −1220P
14) (ENEM 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do ins- tante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão
t^2
T(t) 400,
= − + com t em minutos. Por
motivos de segurança, a trava do forno só é liberada pa- ra abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desli- gar o forno, para que a porta possa ser aberta? a) 19, b) 19, c) 20, d) 38, e) 39, 15) (ENEM PPL 2013) Uma fábrica utiliza sua frota particular de caminhões para distribuir as 90 toneladas de sua produção semanal. Todos os caminhões são do mesmo modelo e, para aumentar a vida útil da frota, adota-se a política de reduzir a capacidade máxima de carga de ca- da caminhão em meia tonelada. Com essa medida de redução, o número de caminhões necessários para transportar a produção semanal aumenta em 6 unidades em relação ao número de caminhões necessários para transportar a produção, usando a capacidade máxima de carga de cada caminhão. Qual é o número atual de caminhões que essa fábrica usa para transportar a produção semanal, respeitando-se a políti- ca de redução de carga? a) 36 b) 30 c) 19 d) 16 e) 10
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