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Função Exponencial
O QUÊ?
Crescimento e decaimento exponenciais, fun- ção exponencial, juros compostos, progres- são geométrica, expoentes racionais e irraci- onais.
POR QUÊ?
Dizemos que estamos diante de um cresci- mento exponencial sempre que o aumento percentual de determinada quantidade por unidade de tempo é constante. Este é o caso das medições econômicas, financeiras e polí- ticas de crescimento - de vendas, lucros, pre- ços de ações, produto interno bruto, inflação, taxas de juros. Assim, compreender bem o crescimento exponencial é crucial para com- preender o mundo.
CAPÍTULO
FUNÇÃO EXPONENCIAL
EXPLORANDO CRESCIMENTO E DECAIMENTO EXPONENCIAIS
A pandemia de COVID-19, uma doença respiratória aguda provocada pelo coronavírus SARS- CoV-2, chamou atenção do mundo todo em 2020 para o que chamamos de crescimento expo- nencial. Vimos diversos especialistas em diferentes meios de comunicação comentando sobre o crescimento exponencial da epidemia. Mas afinal, o que caracteriza este tipo de crescimento?
Sabemos que funções matemáticas podem ser usadas para fazermos previsões de um deter- minado fenômeno. A função exponencial fornece um modelo matemático simples para cal- cular a propagação de uma doença altamente contagiosa. Para além disso, o gráfico de uma função exponencial permite o estudo de situações que se caracterizam por uma curva de cres- cimento ou decrescimento acentuado. Neste capítulo você irá aprender a identificar, elaborar e resolver problemas que envolvem funções exponenciais. Além da modelagem de epidemias, serão apresentadas situações que envolvem decaimento radioativo, meia-vida de medicamen- tos, pressão atmosférica, divisão celular, dentre outras aplicações interessantes.
A epidemia Atividade 1
Vamos simular três situações de epidemia. O professor irá distribuir envelopes contendo um
número para cada estudante que deverá mantê-lo em segredo. Os primeiros infectados serão escolhidos ao acaso pelo professor. Cada vez que alguém for infectado pela doença, coloca-
se de pé e permanece até o fim da dinâmica, que seguirá da seguinte maneira:
CAPÍTULO
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Contando quadrados Atividade 2
Em uma caixa há 240 quadradinhos de papel cartão dupla face, verde de um lado e marrom
do outro. Eles são lançados sobre a mesa e os quadrados com lado marrom para cima são retirados, restando apenas 126 quadradinhos (verdes).
Figura 1.1: Imagem retirada do experimento Eliminando Quadrados , da coleção Recursos edu- cacionais multimídia para a matemática do ensino médio. https://m3.ime.unicamp.br/recu rsos/
Um novo lançamento é feito e depois de retirados os marrons, sobram 68 verdes. Os lança-
mentos seguintes apresentam as seguintes quantidades de quadradinhos verdes:
Lançamento # verdes 0 240 1 126 2 68 3 34 4 13 5 5 6 2 7 0
a) Represente em um sistema de coordenadas os dados da tabela acima.
b) Observando os dados da tabela é possível conjecturar que eles obedecem a algum pa- drão?
c) Acrescente uma terceira coluna à tabela contendo os quocientes entre as quantidades de um lançamento pela quantidade do lançamento anterior.
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Lançamento # verdes quocientes 0 240 --- 1 126 126240 = 0 , 525 2 68 3 34 4 13 5 5 6 2 7 0
d) Considerando outros resultados possíveis para o mesmo experimento, o que podemos esperar dos valores na terceira coluna da tabela? Que tipo de propriedades matemáticas esses números sempre terão? Que tipo de propriedade eles provavelmente terão?
e) Um experimento como este descrito no item (a) pode ser simulado computacionalmente. Ao executar esta simulação 4 vezes, os seguintes resultados foram obtidos. 240 , 113 , 55 , 28 , 13 , 7 , 3 , 0 240 , 124 , 66 , 27 , 16 , 7 , 3 , 2 , 2 , 2 , 0 240 , 106 , 57 , 19 , 9 , 5 , 1 , 0 240 , 124 , 62 , 29 , 11 , 5 , 2 , 1 , 1 , 0
f) Verifique se suas conjecturas se aplicam aos dados acima.
g) Deduza uma expressão matemática que forneça, aproximadamente, a quantidade de quadradinhos verdes em função da ordem de lançamento.
Populações Atividade 3
Um grupo de biólogos está estudando uma espécie animal cuja população vem diminuindo ao longo dos anos. Depois de reunirem os dados percebem que a cada ano a quantidade de indivíduos reduz para aproximadamente
da quantidade do ano anterior.
a) Escreva uma expressão matemática que relaciona o número de indivíduos dessa popu- lação ao longo dos anos, sabendo que no início das medições os cientistas tenham en- contrado 300 mil indivíduos.
b) Admitindo que esse padrão se repita ao longo dos anos, em quanto tempo a população entrará em extinção?
c) Como consequência, a população da espécie que é a principal presa da espécie estudada apresentou um crescimento que duplicava a cada 6 meses. Escreva uma expressão ma- temática que represente a variação anual do número de indivíduos dessa população de presas, que no início das medições contava com 5 × 105 indivíduos.
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Figura 1.4: Crescimento/decrescimento exponenciais.
VOCÊ SABIA
O crescimento exponencial é tão rápido que com poucas multiplicações podemos al- cançar valores cujas ordens de grandeza são maiores que a quantidade de átomos estimada para o universo observável (que é algo em torno de 1080 ).
Figura 1.5: Por Pablo Carlos Budassi - Obra do próprio, CC BY-SA 4.0, https://commons.wi kimedia.org/w/index.php?curid=
Você duvida? Vejamos então um exemplo! Pegue uma folha de papel sulfite (ou do seu caderno), cuja espessura é algo em torno de 0 , 075 milímetros. Se dobramos essa folha ao meio, temos o dobro da espessura inicial, 0 , 15 milímetros. Dobrando novamente, 0 , 30 milímetros e assim sucessivamente. Nenhum ser humano, usando somente as mãos, consegue dobrar uma folha dessas mais que 6 vezes, pode tentar! Uma folha dobrada 7 vezes tem a espessura de um ca- derno de 128 páginas… E mais, se fosse possível dobrar a folha 23 vezes, a espessura seria maior que a distância da terra até a Lua. E aí? Com quantas dobras a espessura alcançaria a ordem de grandeza o número de átomos do universo conhecido? ( 267 dobras)
Nesse vídeo, um chef de cozinha chinês faz 128 noodles em apenas 10 segundos! ht tps://youtu.be/S2AnYEheaFM?t=
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Figura 1.6: Imagem extraída do vídeo: https://youtu.be/S2AnYEheaFM?t=
A área de Computação parece desafiar o fato de que não é possível manter um cres- cimento exponencial por um longo período de tempo devido a escassez de recursos. Talvez o processo exponencial mais longo de que se tem notícia na natureza se re- fere ao crescimento do poder computacional disponível por 1 dólar. Este parâmetro seguiu uma exponencial crescente, de constante de tempo de aproximadamente 18 meses, desde o lançamento dos primeiros computadores comerciais em meados da década de 1950 até o início dos anos 2000. Até aquela época, houve uma duplicação do poder computacional disponível por 1 dólar 27 vezes seguidas, ou seja, uma varia- ção de 134 milhões de vezes em 40 anos. Estes números são aproximados pois não conhecemos um estudo preciso nesta direção, nos termos descritos.
Figura 1.7: Foto de Slejven Djurakovic, Unsplash
Uma outra lei similar é conhecida como lei de Moore. Gordon Moore foi um dos fun- dadores da Intel, uma das maiores fabricantes mundiais de circuitos integrados. Ele enunciou a sua lei em 1965, numa época em que um microchip podia integrar algo como 4 transistores: “o desempenho de microchips produzidos em massa vai do- brar a cada 18 meses”. Aqui o limitante de preço é substituído pela condição de pro- dução em massa o que dá um efeito similar, já que só é possível produzir em massa componentes suficientemente baratos para poderem ser absorvidos pelo mercado. Adaptado de https://www.ime.usp.br/~is/infousp/imre/imre.htm.
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Dobradura^ Atividade 6
Uma folha de papel de área 1 é dobrada em três partes iguais, depois em mais três partes
iguais, em terços novamente, e assim sucessivamente.
a) Na tabela abaixo registre a área da menor região em cada etapa, e o número total de regiões.
Etapas Área de cada região Número de regiões 0 1 1 1 2 3 4 5
b) Descreva os padrões observados na tabela e encontre uma expressão matemática que sirva para gerá-las em função das etapas.
Duas exponenciais Atividade 7
Construa tabelas e gráficos para comparar os valores da variável y nas duas expressões ex- ponenciais para valores inteiros da variável x de 1 até 10.
y = 2 · 3 x^ e y = 64 · (1 , 5) x.
a) Em qual das duas y cresce a uma taxa maior? Como você sabe?
b) Para que valor de x , os valores de y coincidem? Como isso se reflete na representação gráfica?
PARA REFLETIR
O crescimento exponencial pressupõe recursos ilimitados e isso faz com que em muitos ca- sos esse tipo de comportamento seja observado apenas em certos períodos de tempo. Isso pode ser visto, por exemplo, na forma como crescem as populações. Com pouco ou sem ne- nhuma limitação de recursos as populações podem apresentar um crescimento exponen- cial. No entanto, na prática sabemos que há uma série de limitações - espaço, existência
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de predadores, escassez de alimentos, etc. - é o que os pesquisadores costumam chamar de Resistência Ambiental. Portanto, após experimentar um período de crescimento expo- nencial, o que observamos é que a população tende a se estabilizar. Esse comportamento é chamado de crescimento logístico.
Figura 1.8: Exemplos reais de um aumento populacional como descrito acima. (a) a Bactéria Lactobacillus sakei crescendo em um meio de cultura. (b) A população de gnu, na região do Seringueti na Tanzânia. (C) População de juncácea anual , Juncus gerardi. Fonte: CEPA
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f) Com a ajuda de uma calculadora compare os valores gerados pela expressão matemá- tica com as que você calculou no item a).
g) Denotando por P ( t ) a população no tempo t , P 0 seu valor inicial e r a taxa percentual observada, generalize as expressões obtidas no item anterior.
Juros^ Atividade 10
Você acabou de adquirir um produto de R$ 200 e o pagamento proposto pela loja é da seguinte maneira: uma entrada de R$ 100 paga no ato da compra e mais uma parcela de R$ 110 , 25 após 2 meses.
a) Considerando que a taxa percentual mensal de acréscimo será a mesma nos dois meses, qual é o valor dessa taxa na transação proposta?
b) Com base na taxa percentual que você encontrou no item anterior, que valor deveria ser pago se a segunda parcela fosse apenas 1 mês depois da compra?
c) E se a segunda parcela fosse paga com 3 meses de intervalo, qual seria o valor a pagar?
ORGANIZANDO VARIAÇÃO PERCENTUAL
Em diversas situações as variações das quantidades no tempo são expressas em termos per- centuais: o preço da gasolina subiu 10%, o número de desempregados aumentou 50%, o PIB do Brasil encolheu 2 , 5 %, o número de pessoas infectadas pelo vírus aumentou 300%, etc. Isso geralmente ocorre quando se quer evidenciar que fração do último registro aquela variação representa. Dizer que o número de infectados por um vírus aumentou 300% significa que se a quantidade de infectados era I 0 e passou a ser I 1 , então
I 1 − I 0 I 0
= 300% ⇐⇒ I 1 − I 0 = 3 I 0 ⇐⇒ I 1 = 4 I 0.
De maneira mais geral, se a taxa percentual é r(sendo positiva para crescimento e negativa para redução), então temos
I 1 − I 0 I 0
= r ⇐⇒ I 1 − I 0 = rI 0 ⇐⇒ I 1 = I 0 + rI 0 ⇐⇒ I 1 = (1 + r ) I 0_._
Quando é o caso de que taxa percentual observada permanece constante ao longo de um in- tervalo de tempo, então estamos diante de uma situação de crescimento (taxa positiva) ou decaimento (taxa negativa) exponencial. Mais ainda, como pudemos observar acima, uma variação com taxa percentual r corresponde a um fator de crescimento/decaimento 1 + r , isto é, para saber o valor atual de uma determinada grandeza que aumentou segundo uma taxa percentual r , basta multiplicar o seu último registro por 1 + r.
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Taxa percentual: r t = 0 C (valor inicial) t = 1 C (1 + r ) t = 2 C (1 + r )(1 + r ) = C (1 + r )^2 t = 3 C (1 + r )^2 (1 + r ) = C (1 + r )^3 · · · · · · t = n C (1 + r ) n −^1 (1 + r ) = C (1 + r ) n
No contexto das transações financeiras o acréscimo no valor do dinheiro (dívida, investimento, crédito, débito, etc) é chamado de juro e a taxa percentual de variação segundo a qual calcu- lamos o juro chama-se taxa de juros. Esse sistema em que o juro é calculado sobre o valor imediatamente anterior é conhecido como capitalização composta (também chamado de juro sobre juro) e é adotado na maior parte das transações financeiras do mundo.
O valor de um investimento de R$ 1.000 a uma taxa de juros de 10% ao mês evolui exponenci- almente da seguinte maneira:
Tempo Valor Juro t = 0 R$ 1_._ 000 (capital inicial) R$ 0 t = 1 R$ 1_._ 000(1 + 0 , 1) = R$ 1_._ 100 R$ 100 t = 2 R$ 1_._ 100(1 + 0 , 1) = R$ 1_._ 210 R$ 110 t = 3 R$ 1_._ 210(1 + 0 , 1) = R$ 1_._ 331 R$ 121
t = n R $1000 · (1 , 1) n^ R $1000 · (1 , 1) n −^1 · 0 , 1
Figura 1.9: Evolução do valor de um investimento de R$ 1000,00 capitalizado a uma taxa de juros de 10% ao mês.
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Juros sobre juros Atividade 13
Resolva os seguintes problemas:
a) Se uma pessoa deseja obter R$ 27_._ 500 , 00 em um ano, quanto deverá depositar hoje em uma alternativa de poupança que rende 1 , 7% de juros compostos ao mês?
b) Qual a taxa percentual mensal de juros de uma aplicação de R$ 40_._ 000 , 00 que produz um total de R$ 43_._ 894 , 63 ao final de um quadrimestre.
c) Determinar o juro total a ser pago em um empréstimo de R$ 88_._ 000 , 00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4 , 5% ao mês.
d) Qual das opções gera um valor maior ao final de 1 ano: aplicar um capital de R $60_._ 000 , 00 à taxa de juros de 9 , 9% ao semestre ou à taxa de 20 , 78% ao ano.
