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Neste capítulo, exploramos as estruturas algébrica e geométrica do sistema dos números complexos, para o que supomos conhecidas várias propriedades corres- pondentes dos números reais.
1 SOMAS E PRODUTOS
Os números complexos podem ser definidos como pares ordenados ( x , y ) de núme- ros reais, que são interpretados como pontos do plano complexo, com coordenadas retangulares x e y , da mesma forma que pensamos em números reais x como pontos da reta real. Quando exibimos números reais x como pontos ( x , 0) do eixo real , escrevemos x = ( x , 0), e fica claro que o conjunto dos números complexos inclui o dos reais como subconjunto. Os números complexos da forma (0, y ) correspondem a pontos do eixo y e são denominados números imaginários puros se y = 0. Por isso, dizemos que o eixo y é o eixo imaginário. É costume denotar um número complexo ( x , y ) por z , de modo que (ver Figura 1)
(1) z = ( x , y ).
z = ( x , y )
i = (0, 1) O x = ( x , 0) x
y
Figura 1
Além disso, os números reais x e y são conhecidos como as partes real e imaginá- ria de z , respectivamente, e escrevemos
(2) x = Re z , y = Im z.
NÚMEROS COMPLEXOS
CAPÍTULO
2 CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS
Dois números complexos z 1 e z 2 são iguais sempre que tiverem as mesmas partes reais e imaginárias. Assim, a afirmação z 1 = z 2 significa que z 1 e z 2 correspondem ao mesmo ponto do plano complexo, ou plano z. A soma z 1 + z 2 e o produto z 1 z 2 de dois números complexos z 1 = ( x 1 , y 1 ) e z 2 = ( x 1 , y 1 )
são definidos como segue:
Observe que as operações definidas por meio das equações (3) e (4) resultam nas operações usuais da adição e da multiplicação quando restritas aos números reais:
Em vista disso, o sistema dos números complexos é uma extensão natural do siste- ma dos números reais. Qualquer número complexo z = ( x , y ) pode ser escrito como z = ( x , 0) + (0, y ), e é fácil verificar que (0, 1)( y , 0) = (0, y ). Então
z = ( x , 0) + (0, 1)( y , 0);
e se pensarmos em um número real como sendo x ou ( x , 0) e se denotarmos por i o número imaginário puro (0, 1), conforme Figura 1, segue que*
(5) z = x + iy.
Também, convencionando que z^2 = zz , z^3 = z^2 z , etc., obtemos
i^2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0),
ou
(6) i^2 = −1.
Sendo ( x , y ) = x + iy , as definições (3) e (4) são dadas por
Observe que os lados direitos dessas equações podem ser obtidos manipulando formalmente os termos do lado esquerdo como se envolvessem apenas números reais e, depois, substituindo i^2 por −1 sempre que aparecer esse quadrado. Além
- Na Engenharia Elétrica, é utilizada a letra j em vez de i.
4 CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS
que satisfaz a equação z + (− z ) = 0. Além disso, cada z dado possui um único inverso aditivo, pois a equação
( x , y ) + ( u , v) = (0, 0)
implica que
u = − x e v = − y. Dado qualquer número complexo não nulo z = ( x , y ), existe um número z −^1 tal que zz −^1 = 1. Esse elemento inverso multiplicativo é menos óbvio que o aditivo. Para encontrá-lo, procuremos números reais u e v, dados em termos de x e y , tais que
( x , y )( u , v) = (1, 0).
De acordo com a equação (4) da Seção 1, que define o produto de dois números complexos, u e v devem satisfazer o par
xu − y v = 1, yu + x v = 0
de equações lineares simultaneamente, e uma conta simples fornece a solução única
Assim, o único elemento inverso multiplicativo de z = ( x , y ) é dado por
(6)
O elemento inverso z −^1 não está definido quando z = 0. De fato, z = 0 significa que x^2 + y^2 = 0, e isso não é permitido na expressão (6).
EXERCÍCIOS
1. Verifique que ( a ) ( b ) (2,−3)(−2, 1) = (−1, 8); ( c ) 2. Mostre que ( a ) Re( i z ) = −Im z ; ( b ) Im( i z ) = Re z. 3. Mostre que (1 + z )^2 = 1 + 2 z + z^2. 4. Verifique que cada um dos dois números z = 1 ± i satisfaz a equação z^2 − 2 z + 2 = 0. 5. Prove que a multiplicação de números complexos é comutativa, como afirmamos no início da Seção 2.
SEÇÃO 3 MAIS PROPRIEDADES ALGÉBRICAS 5
6. Verifique a validade da ( a ) lei da associatividade da adição de números complexos, afirmada no início da Seção 2. ( b ) lei da distributividade (3) da Seção 2. 7. Use a associatividade da adição e a distributividade para mostrar que z ( z 1 + z 2 + z 3 ) = zz 1 + zz 2 + zz 3. 8. ( a ) Escreva ( x , y ) + ( u , v) = ( x , y ) e indique por que disso decorre que o número com- plexo 0 = (0, 0) é único como elemento neutro da adição. ( b ) Analogamente, escreva ( x , y )( u , v) = ( x , y ) e mostre que o número complexo 1 = (1, 0) é único como elemento neutro da multiplicação. 9. Use − 1 = (−1, 0) e z = ( x , y ) para mostrar que (−1) z = − z. 10. Use i = (0, 1) e y = ( y , 0) para verificar que −( iy ) = (− i ) y. Com isso, mostre que o inverso aditivo de um número complexo z = x + iy pode ser escrito como − z = − x − iy sem ambiguidade. 11. Resolva a equação z^2 + z + 1 = 0 em z = ( x , y ) escrevendo
( x , y )( x , y ) + ( x , y ) + (1, 0) = (0, 0) e então resolvendo um par de equações simultaneamente em x e y. Sugestão : mostre que a equação não possui solução real x e que, portanto, y = 0.
Resposta :
3 MAIS PROPRIEDADES ALGÉBRICAS
Nesta seção, apresentamos várias propriedades algébricas adicionais da adição e da multiplicação de números complexos que decorrem das já descritas na Seção
- Como essas propriedades também são perfeitamente antecipáveis, já que são válidas com números reais, o leitor pode ir diretamente para a Seção 4 sem maiores prejuízos. Começamos observando que a existência de inversos multiplicativos nos permite mostrar que se um produto z 1 z 2 for nulo, então pelo menos um dos fa- tores z 1 ou z 2 deve ser nulo. De fato, suponha que z 1 z 2 = 0 e z 1 = 0. O inverso z 1 −^1 existe, e o produto de qualquer número complexo por zero é zero (Seção 1). Segue que
Assim, se z 1 z 2 = 0, então z 1 = 0 ou z 2 = 0 ou, possivelmente, ambos os números, z 1 e z 2 , são iguais a zero. Outra maneira de enunciar esse resultado é a seguinte: se dois números complexos, z 1 e z 2 , forem não nulos, então seu produto z 1 z 2 também será não nulo. A subtração e a divisão são definidas em termos de inversos aditivos e multi- plicativos:
SEÇÃO 3 MAIS PROPRIEDADES ALGÉBRICAS 7
Também, observando que (ver Exercício 3)
e, portanto, que z 1 −^1 z 2 −^1 = ( z 1 z 2 )−^1 , podemos usar a relação (9) para mostrar que
Outra propriedade útil, que será deduzida nos exercícios, é
Finalmente, observamos que a fórmula do binômio de números reais perma- nece válida com números complexos. Assim, se z 1 e z 2 forem quaisquer números complexos não nulos, então
em que
e 0! = 1 por convenção. A prova dessa fórmula é deixada como exercício. Por ser comutativa a soma de números complexos, é claro que podemos reescrever essa fórmula como
EXERCÍCIOS
1. Reduza cada uma das expressões a seguir a um número real.
Respostas :
2. Mostre que
8 CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS
3. Use a associatividade e a comutatividade da multiplicação para mostrar que ( z 1 z 2 )( z 3 z 4 ) = ( z 1 z 3 )( z 2 z 4 ). 4. Prove que se z 1 z 2 z 3 = 0, então pelo menos um dos três fatores é nulo. Sugestão : escreva ( z 1 z 2 ) z 3 = 0 e use o resultado análogo (Seção 3) com dois fatores. 5. Deduza a expressão (6) da Seção 3 para o quociente z 1 / z 2 pelo método descrito logo depois da expressão. 6. Com o auxílio das relações (10) e (11) da Seção 3, deduza a identidade 7. Use a identidade obtida no Exercício 6 para deduzir a lei do cancelamento 8. Use indução matemática para verificar a validade da fórmula do binômio (13) da Seção 3. Mais precisamente, observe que a fórmula é verdadeira se n = 1. Em seguida, supon- do que a fórmula seja válida com algum n = m , em que m denota algum número inteiro positivo, mostre que a fórmula é válida com n = m + 1. Sugestão : com n = m + 1, escreva
e substitua k por k – 1 na última soma para obter
Finalmente, mostre que o lado direito dessa expressão é igual a
4 VETORES E MÓDULO
É natural associar um número complexo z = x + iy qualquer ao segmento de reta orientado ou com o vetor radial da origem ao ponto ( x , y ) que representa z no plano complexo. De fato, muitas vezes nos referimos ao número z como o ponto z ou o vetor z. Na Figura 2, os números z = x + iy e − 2 + i estão representados grafica- mente como pontos e, também, como vetores radiais.
10 CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS
números reais , mas a afirmação | z 1 | < | z 2 | significa que o ponto z 1 está mais perto da origem do que o ponto z 2.
EXEMPLO 1. Como e , vemos que o ponto − 3 + 2 i está mais perto da origem do que o ponto 1 + 4 i. A distância entre dois pontos ( x 1 , y 1 ) e ( x 2 , y 2 ) é | z 1 − z 2 |. Isso deve ficar claro na Figura 4, pois | z 1 − z 2 | é o comprimento do vetor que representa o número
z 1 − z 2 = z 1 + (− z 2 );
e, transladando o vetor radial z 1 − z 2 , podemos interpretar z 1 − z 2 como o segmento de reta orientado do ponto ( x 2 , y 2 ) até o ponto ( x 1 , y 1 ). Alternativamente, segue da expressão
z 1 − z 2 = ( x 1 − x 2 ) + i ( y 1 − y 2 )
e da definição (1) que
O^ x
y
z 1
| z 1 – (^) z 2 |
z 1 – z 2
z 2
( x 2 , y 2 )
( x 1 , y 1 )
Figura 4
Os números complexos z correspondentes aos pontos que estão no círculo de raio R centrado em z 0 satisfazem a equação | z − z 0 | = R , e reciprocamente. Dize- mos que esse conjunto de pontos é o círculo de equação | z − z 0 | = R.
EXEMPLO 2. A equação | z − 1 + 3 i | = 2 representa o círculo centrado no ponto z 0 = (1, −3) de raio R = 2.
Nosso exemplo final ilustra o poder do raciocínio geométrico na Análise Com- plexa quando as contas diretas forem cansativas.
EXEMPLO 3. Considere o conjunto de todos os pontos z = ( x , y ) que satisfaçam a equação
| z − 4 i | + | z + 4 i | = 10.
Reescrevendo essa equação como
| z − 4 i | + | z − (−4 i )| = 10,
vemos que ela representa o conjunto de todos os pontos P ( x , y ) do plano z = ( x, y ) tais que a soma das distâncias aos dois pontos fixados F (0, 4) e F ′(0, −4) é constan- te e igual a 10. Como se sabe, isso é uma elipse de focos F (0, 4) e F ′(0, −4).
SEÇÃO 5 DESIGUALDADE TRIANGULAR 11
5 DESIGUALDADE TRIANGULAR
Passamos agora à desigualdade triangular , que fornece uma cota superior para o módulo da soma de dois números complexos z 1 e z 2 , como segue.
(1)
Essa desigualdade importante é geometricamente evidente a partir da Figura 3 na Seção 4, pois é, simplesmente, a afirmação de que o comprimento de um dos lados de um triângulo é menor do que ou igual à soma dos comprimentos dos dois outros lados. Também podemos ver na Figura 3 que a desigualdade (1) é uma igualdade quando os pontos 0, z 1 e z 2 forem colineares. Uma dedução estritamente algébrica dessa desigualdade é dada no Exercício 15 da Seção 6. Uma consequência imediata da desigualdade triangular é que
(2)
Para obter (2), escrevemos
o que significa que
(3)
Isso é a desigualdade (2) se. No caso , basta trocar z 1 com z 2 na desigualdade (3) para obter
que é o resultado procurado. Claramente, a desigualdade (2) nos diz que o com- primento de um dos lados de um triângulo é maior do que ou igual à diferença dos comprimentos dos dois outros lados. Como , podemos trocar z 2 por − z 2 nas desigualdades (1) e (2) para obter
Ocorre que, na prática, basta usar somente as desigualdades (1) e (2), o que está ilustrado no exemplo a seguir.
EXEMPLO 1. Se um ponto z estiver no círculo unitário | z | = 1, as desigualdades (1) e (2) fornecem
e
SEÇÃO EXERCÍCIOS 13
se z = 0. Em seguida, multiplicamos os dois lados de (7) por z n , obtendo
Isso nos diz que
ou
Agora observe que é possível encontrar um número positivo R tão grande tal que cada um dos quocientes do lado direito de (9) seja menor do que o número | a (^) n |/(2 n ) se | z | > R , de modo que
Consequentemente,
e, tendo em vista a equação (8),
(10)
A afirmação (6) decorre imediatamente.
EXERCÍCIOS
1. Encontre os números z 1 + z 2 e z 1 − z 2 como vetores, sendo ( a )
( b ) ( c ) ( d )
2. Verifique a validade das desigualdades envolvendo Re z , Im z e z dadas em (3) da Seção 4. 3. Use as propriedades demonstradas do módulo para mostrar que se | z 3 | = | z 4 |, então, 4. Verifique que. Sugestão : reduza essa desigualdade a (| x | − | y |)^2 ≥ 0. 5. Em cada caso, esboce o conjunto de pontos determinados pela condição dada.
14 CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS
6. Lembre que | z 1 − z 2 | é a distância entre os pontos z 1 e z 2 e dê um argumento geométrico para mostrar que | z − 1 | = | z + i | representa a reta pela origem de inclinação −1. 7. Mostre que se R for suficientemente grande, o polinômio P ( z ) do Exemplo 3 da Seção 5 satisfaz a desigualdade
Sugestão : observe que existe algum número positivo R tal que o módulo de cada quociente do lado direito da desigualdade (9) da Seção 5 é menor do que | an |/ n se | z | > R.
8. Sejam z 1 e z 2 dois números complexos quaisquer z 1 = x 1 + iy 1 e z 2 = x 2 + iy 2. Use argumentos algébricos simples para mostrar que
são iguais e deduza disso a validade da identidade | z 1 z 2 | = | z 1 || z 2 |.
9. Use o resultado final do Exercício 8 e indução matemática para mostrar que | z n | = | z | n^ ( n = 1, 2, …), com qualquer número complexo z. Ou seja, depois de verificar que essa identidade é óbvia se n = 1, suponha sua validade se n = m for algum inteiro positivo e então de- monstre sua validade se n = m + 1.
6 COMPLEXOS CONJUGADOS
O complexo conjugado , ou simplesmente o conjugado , de um número complexo z = x + iy é definido como o número complexo x − iy e denotado por , ou seja,
(1)
O número é representado pelo ponto ( x , − y ), que é a reflexão pelo eixo real do ponto ( x , y ) que representa z (Figura 5). Observe que
qualquer que seja z. Se z 1 = x 1 + iy 1 e z 2 = x 2 + iy 2 , então
O^ x
y
z
- z
( x , y )
( x , – y ) (^) Figura 5
16 CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS
e lembrando que um módulo nunca é negativo. A propriedade (9) pode ser mostra- da de maneira análoga.
EXEMPLO 2. A propriedade (8) nos diz que | z^2 | = | z |^2 e | z^3 | = | z |^3. Assim, se z for um ponto dentro do círculo centrado na origem e de raio 2, ou seja, | z | < 2, segue da desigualdade triangular generalizada (4) da Seção 5 que
| z^3 + 3 z^2 − 2 z + 1 | ≤ | z |^3 + 3 | z |^2 + 2 | z | + 1 < 25.
EXERCÍCIOS
1. Use as propriedades dos conjugados e módulos estabelecidas na Seção 6 para mostrar que 2. Esboce o conjunto de pontos determinados pela condição dada. 3. Verifique a validade das propriedades dos conjugados dadas em (3) e (4) da Seção 6. 4. Use a propriedade dos conjugados (4) da Seção 6 para mostrar que 5. Verifique a validade da propriedade do módulo dadas em (9) da Seção 6. 6. Use os resultados da Seção 6 para mostrar que, sendo z 2 e z 3 não nulos, valem 7. Mostre que 8. Foi mostrado na Seção 3 que se z 1 z 2 = 0, então pelo menos um dos números z 1 e z 2 deve ser zero. Forneça uma prova alternativa usando o resultado correspondente para núme- ros reais e a identidade (8) da Seção 6. 9. Fatorando z^4 − 4 z^2 + 3 em dois fatores quadráticos e usando a desigualdade (2) da Se- ção 5, mostre que se z estiver no círculo | z | = 2, então 10. Prove que
( a ) z é real se, e só se, ; ( b ) z é real ou imaginário puro se, e só se,.
11. Use indução matemática para mostrar que, se n = 2, 3,..., então
SEÇÃO 7 FORMA EXPONENCIAL 17
12. Sejam a 0 , a 1 , a 2 ,…, a (^) n ( n ≥ 1) números reais e z algum número complexo. Usando os resultados do Exercício 11, mostre que 13. Mostre que a equação | z − z 0 | = R de um círculo centrado em z 0 e de raio R pode se escrita como 14. Usando as expressões para Re z e Im z dadas em (6) da Seção 6, mostre que a hipérbole x^2 − y^2 = 1 pode ser escrita como 15. Seguindo os passos indicados, obtenha uma dedução algébrica da desigualdade triangu- lar (Seção 5) | z 1 + z 2 | ≤ | z 1 | + | z 2 |. ( a ) Mostre que
( b ) Prove que
( c ) Use os resultados das partes ( a ) e ( b ) para obter a desigualdade | z 1 + z 2 |^2 ≤ (| z 1 | + | z 2 |) 2 , e verifique que dela decorre a desigualdade triangular.
7 FORMA EXPONENCIAL
Sejam r e θ as coordenadas polares do ponto ( x , y ) que corresponde a um número complexo z = x + iy não nulo. Como x = r cos θ e y = r sen θ, podemos escrever o número z em forma polar como
(1) z = r (cos θ + i sen θ).
A coordenada θ não está definida se z = 0, de modo que fica entendido que z = 0 sempre que estivermos usando coordenadas polares. O número real r não pode ser negativo na Análise Complexa e é o compri- mento do vetor radial que representa z , ou seja, r = | z |. O número real θ representa o ângulo medido em radianos que z faz com o eixo real positivo, interpretando z como um vetor radial (Figura 6). Como em Cálculo, θ tem um número infinito de possíveis valores, inclusive negativos, que diferem por algum múltiplo inteiro de 2π. Esses valores podem ser determinados pela equação tg θ = y / x , em que devemos especificar o quadrante que contém o ponto correspondente a z. Cada valor de θ é um argumento de z , e o conjunto de todos esses valores é denotado
SEÇÃO 7 FORMA EXPONENCIAL 19
Se concordarmos com a identidade e − i θ^ = ei (−θ), isso também pode ser escrito como A expressão (5) é, claramente, apenas uma das infinitas pos- sibilidades para a forma exponencial de − 1 − i , a saber
(6)
Observe que a expressão (4) com r = 1 nos diz que os números e i θ^ estão no círculo centrado na origem e de raio unitário, como mostra a Figura 7. Segue que os valores de ei θ^ podem ser obtidos diretamente dessa figura, sem referência à fórmula de Euler. Por exemplo, é geometricamente evidente que
e i π^ = −1, e − i π/^2 = − i e e − i^4 π^ = 1.
O^ x
1
y
Figura 7
Observe, também, que a equação
(7) z = Re i θ^ (0 ≤ θ ≤ 2 π)
é uma representação paramétrica do círculo | z | = R , centrado na origem e de raio R. À medida que o parâmetro θ aumenta de θ = 0 até θ = 2 π, o ponto z começa do eixo real positivo e percorre o círculo uma vez no sentido anti-horário. Geralmente, o círculo | z − z 0 | = R, centrado em z 0 e de raio R, tem a representação paramétrica
(8) z = z 0 + Re i θ^ (0 ≤ θ ≤ 2 π).
Isso pode ser conferido através de vetores (Figura 8), observando que um ponto z percorrendo o círculo | z − z 0 | = R uma vez no sentido anti-horário corresponde à soma do vetor fixo z 0 e um vetor de comprimento R cujo ângulo de inclinação θ varia de θ = 0 até θ = 2 π.
O^ x
y
z
z 0 Figura 8
20 CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS
8 PRODUTOS E POTÊNCIAS EM FORMA EXPONENCIAL
A trigonometria nos diz que e i θ^ tem a propriedade aditiva conhecida da função exponencial do Cálculo:
Assim, se z 1 = r 1 ei θ^1 e z 2 = r 2 ei θ^2 , então o produto z 1 z 2 tem a forma exponencial
(1)
Além disso,
Dessa expressão (2) segue que o elemento inverso de qualquer número complexo não nulo z = re i θ^ é
(3)
As expressões (1), (2) e (3) são facilmente lembradas usando as regras algébricas conhecidas de números reais e da potência ex. Outro resultado importante que pode ser formalmente deduzido aplicando as regras de números reais a z = re i θ^ é
(4)
Isso pode ser facilmente verificado para valores positivos de n por indução matemáti- ca. Mais precisamente, observe que essa relação é simplesmente z = rei θ^ se n = 1. Em seguida, suponha que a identidade seja válida se n = m , em que m denota algum núme- ro inteiro positivo. Em vista da expressão (1) do produto de dois números complexos não nulos em forma exponencial, segue que a identidade é válida com n = m + 1:
Dessa forma, demonstramos a validade da expressão (4) com n inteiro positivo. A fórmula também se n = 0, convencionando que z 0 = 1. Por outro lado, se n = −1, −2,..., definimos zn^ em termos do inverso multiplicativo de z , escrevendo
z n^ = ( z −^1 ) m^ se m = – n = 1, 2,...
Como a equação (4) é válida com inteiros positivos, segue da forma exponencial (3) de z −^1 que
