1 N ´
UMEROS COMPLEXOS
Faculdade de Ciˆencias
Departamento de Matem´atica e Inform´atica
An´alise Matem´atica III
Tema II: N´umeros Complexos
1 N´umeros Complexos
Defini¸c˜ao 1.1: conjunto de n´umeros complexos
designa-se por C, representa a totalidade de todos
os pares ordenados (x, y) e n´umeros reais (x, y)
para os quais sao operacoes de adicao e multipli-
cacao.
Dado: z1= (x1, y1) e Z2= (x2, y2)
z1+z2= (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)
z1.z2= (x1, y1).(x2, y2) = (x1x2−y1y2, x1y2+
x2y2)
Dado n´umero complexo z= (x, y), diz-se x´e a
parte real de z,x=Re(z) e y´e a parte ima-
gin´aria de z,y=Im(z). Toda parte complexa
zcuja parte real ´e zero, z= (0, y) denomina-se
n´umero imagin´ario puro. E todo n´umero ima-
gin´ario z, cuja a parte imagin´aria ´e zero, z=
(x, 0) denomina-se n´umero real puro.
Um n´umero complexo z= (x, y) sendo definido
como par ordenado x, pode ser representado gra-
ficamente entre o plano de um ponto P= (x, y),
ou na forma de um ponto raio vector −→
OP .
Chama-se unidade imaginaria e designa-se por i,
ao n´umero imagin´ario inteiro i= (0,1), que da
propriedade i2=−1.
Defini¸c˜ao 1.2: Chama-se conjugado de um
n´umero complexo z= (x, y) e designa-se zao
n´umero z= (x, −y).
z=x+iy z =x−iy
1.1 Formas de Representa¸c˜ao
1.1.1 Forma Alg´ebrica
z=x+iy z =x−iy
Opera¸c˜oes
z1=x1+iy1z2=x2+iy2
1. z1+z2= (x1+iy1)+(x2+iy2)=(x1+
x2) + i(y1+y2)
2. z1.z2= (x1+iy1).(x2+iy2) = (x1x2−y1y2)+
i(x1y2+x2y1)
Exemplo: z1
z2
=x1+iy1
x2+iy2
(x1+iy1).(x2−iy2)
(x2+iy2)(x2−iy2)=(x1x2+y1y2) + i(x2y1−x1y2)
x2
2+y2
2
=x1x2+y1y2
x2
2+y2
2
+ix2y1−x1y2
x2
2+y2
2
1.1.2 Forma Trigonom´etrica
seja: ρ=|z|=px2+y2
x=|z|cos θ y =|z|sin θ
θ= arctan y
xx= 0
forma geral
θ= arctan y
x+ 2kπ
Exemplo:
z=x+iy
z=|z|cos θ+i|z|sin θ
z=|z|[cos θ+isin θ
| {z }
eiθ
]
z=|z|eiθ
============================
z1=ρ1(cos θ1+isin θ1) e z2=ρ2(cos θ2+isin θ2)
1. z1+z2=ρ1(cos θ1+isin θ1) + ρ2(cos θ2+
isin θ2) = ρ1cos θ1+ρ2cos θ2+i(ρ1sin θ1+
ρ2sin θ2)
2. z1.z2=ρ1(cos θ1+isin θ1).ρ2(cos θ2+
isin θ2)=(ρ1.ρ2)[cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)]
3. zn=ρn(cos nθ +isin nθ)
quando ρ=|z|= 1, ent˜ao
zn= cos nθ +isin nθ
´e denominada formula de Moivre
1.1.3 Formula Exponencial
z=ρ(cos θ+isin θ)
z=ρeiθ
Munguambe, 2016 1
