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Números Complexos
1. Definições
Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação
x 2 + 9 = 0
não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos
x 2 = -
x = ±
mas é inaceitável tal resultado para x ; os números negativos não têm raiz quadrada.
Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.
Primeiro, eles definiram um novo número
i =
Isso conduz a i 2 = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.
Para a equação acima fazemos
x = ±
x = ±
x = ±.
x = ± 3 i
As raízes da equação x^2 + 9 = 0 são 3i e - 3i.
Definição Um número complexo é uma expressão da forma a + bi
onde a e b são números reais e i 2 = -1. No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.
Exemplos
2 + 5i parte real 2 parte imaginária 5
i parte real parte imaginária 12i parte real 0 parte imaginária 12 -9 parte real -9 parte imaginária 0
Um número como 12i, com parte real 0 , chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.
Igualdade de números complexos
Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:
a + bi = c + di se
Exemplos
2 + 5i =
Se x e y são números reais e x + yi = 7 - 4i, então x = 7 e y = - 4.
2. Aritmética dos números complexos
Adição e Subtração
Adição
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Para adicionarmos dois números complexos, adicionamos as partes reais e as partes imaginárias
Subtração
(a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i Para subtrairmos dois números complexos, subtraímos as partes reais e as partes imaginárias
Exemplos (3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i
= - 4 + 12i
Na prática, fazemos
(3 + 4i) + (-7 + 8i) =
(- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i
= - 9 + 8i
Na prática fazemos
(-5 + 6i)
O conjugado de z = 10 é = 10
Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo:
z. = (a + bi). (a – bi) = a^2 – abi + abi – b^2 i 2 = a^2 – b^2. (-1) A soma dos quadrados de dois números reais = a nunca é negativa (^2) + b 2
Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.
Dividindo dois números complexos
Para escrevermos o quociente na forma A + Bi, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Exemplo
Vamos escrever o quociente na forma a + bi.
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um número real no denominador.
= i
= 1 – i
4. Potências de i
Temos:
i 0 = 1 i^4 = i^2. i^2 = (-1). (-1) = 1 i 1 = i i^5 = i^4. i = 1. i = i
i 2 = -1 i^6 = i^4. i^2 = 1. (-1) = - i 3 = i 2. i = -1. i = -i i^7 = i^4. i^3 = 1 (-i) = -i
Observe que as quatro potências de i na coluna da esquerda, repetem-se nos quatro casos seguintes na coluna da direita. Este ciclo
1, i, -1, -i
repete-se indefinidamente.
Então, para simplificar i x^ para x > 4, buscamos o maior múltiplo de 4 contido em x ; por exemplo
i 26 = i 24. i^2 = (i^4 ) 6. i^2
= 1 6. (-1)
= -
i 43 = i 40. i^3 = (i^4 ) 10. i 3
= i 10. (-i)
= -i
5. O caso da raiz quadrada
Sabemos que um número real positivo r tem duas raízes quadradas
e - ,
Os números reais negativos também tem duas raízes quadradas. Por exemplo, 2i e
- 2i são as raízes quadradas de - 4 porque
(2i) 2 = 2^2. i 2 = 4. (-1) = - 4
(- 2i) 2 = (- 2)^2. i^2 = (- 2)^2. i^2 = 4. (- 1) = - 4
De um modo mais geral, se r > 0 é um número real, o número real negativo - r, tem duas raízes quadradas, porque
(i ) 2 = i^2. ( ) 2 = -1. r = -r
(-i 2 ) = (-1) 2. i 2. ( ) 2 = 1. (-1). r = -r
Chamamos i de raiz quadrada principal de - r , e usamos o desenho para
representá-la; a outra raiz quadrada - i é representada com -. Note que as duas raízes quadradas são números complexos imaginários puros, e que são conjugados.
Raízes quadradas de números negativos Se - r < 0, então as raízes quadradas de - r são
i e - i
A raiz quadrada principal de - r é i :
= i
Exemplos
= i =i
= i = 5i
7. Módulo de número complexo
O módulo (ou valor absoluto ) do número complexo a + bi é distância de a + bi à origem do plano complexo. Usando o Teorema de Pitágoras , concluímos que a
distância de (a; b) a (0; 0) é.
Definição O módulo (ou valor absoluto ) do complexo z = a + bi é
| z | =
Exemplos O módulo do número complexo - 3 + 4i é
|-3 + 4i| = = = 5
O módulo do número complexo 7 + 4i é
|7 + 4i| = =
