Universidade Estadual do Maranhão - UEMA
Zootecnia 1⁰ Período
Fundamentos da Matemática
Professor: Elinaldo
Alunos: Alyne Barbara, Antonio Jayro, Elison Silva,
Jainara, Suzana Karla
• Proporcionalidade na Geometria
São Luís – MA
2011
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trabalho: fundamentos de matemática
Tipologia: Trabalhos
2011
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Universidade Estadual do Maranhão - UEMA Zootecnia 1⁰ Período Fundamentos da Matemática Professor: Elinaldo Alunos: Alyne Barbara, Antonio Jayro, Elison Silva, Jainara, Suzana Karla
• Proporcionalidade na Geometria
São Luís – MA 2011
Sumário
Geometria Proporcional
-Introdução..................................................................................................................................
- (^) O que é semelhança em geometria.................................................................................
-Triângulos congruentes..............................................................................................................
-Semelhança de triângulos..........................................................................................................
-Teorema de Tales.......................................................................................................................
- Conclusão...............................................................................................................................
- Referências Bibliográficas......................................................................................................
Introdução
• O que é semelhança em geometria
Entre os SÓLIDOS GEOMÉTRICOS que são semelhantes, temos:
- Todas as esferas;
- Todos os cubos.
Entre os SÓLIDOS GEOMÉTRICOS que nem sempre são semelhantes, temos:
- Os cones;
- Os paralelepípedos.
Triângulos Congruentes
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos. Casos de congruência:
1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.
2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.
3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.
4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.
Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração. Dizemos que em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. 05 Dois triângulos (ou de forma geral, duas figuras planas) são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, ou seja, o mesmo tamanho. Já a semelhança entre triângulos, objeto do artigo, aborda o conceito mais amplo onde se tem triângulos com a mesma forma, mas não necessariamente com o mesmo tamanho. Em outras palavras, congruência é um caso particular de semelhança entre triângulos no sentido de que se dois triângulos são congruentes necessariamente eles são semelhantes.
Exercícios: (Congruência)
1- De acordo com a indicação feita na figura, responda:
- Qual e o caso de congruência que permite afirmar que x = y?
Resposta: Lado-Lado-Lado.
2 – Os triângulos ABR e MNP são congruentes. Pelas indicações, determine o caso de congruência das medidas x e y.
- Critério AAA => Ângulo-Ângulo-Ângulo: Se os ângulos de um triângulo forem respectivamente congruentes aos ângulos correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.
- Critério LAL => Lado-Ângulo-Lado: Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são proporcionais aos lados do outro triângulo e os ângulos determinados por estes lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
- Critério LLL => Lado-Lado-Lado: Se as medidas dos lados de um triângulo são respectivamente proporcionais às medidas dos lados correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.
07
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.
Traduzindo a definição em símbolos:
Observe que as três primeiras expressões entre os parêntesis indicam a congruência ordenada dos ângulos e a última a proporcionalidade dos lados homólogos.
Em bom português, podemos, ainda, definir a semelhança entre triângulos através da frase: dois triângulos são semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro.
Teorema de Tales
Conta à lenda que quando o matemático e filósofo grego Tales (século VI a.C.) chegou ao Egito, os sacerdotes pediram-lhe que averiguasse a altura da pirâmide de Quéops. Tales traçou uma linha no solo, marcando nela sua altura e esperou que sua sombra, projetada pelo sol, ficasse igual à sua altura; nesse momento, mediu a sombra projetada pela pirâmide. O
1 - Numa fazenda em que o galpão para a criação de galinhas, está dividido para separar as matrizes, filhotes, reprodutores etc, têm os tamanhos mostrados na figura abaixo, qual o comprimento aproximado da região vermelha destinada as matrizes?
Resolução:
X = 70
2 – Um zootecnista divide um canteiro triangular, destinado a cultura de flores tropicais, obtendo os valores a seguir. Qual a extensão do trecho marcado com x?
Ao verificar que um lado é maior e que há a proporção de 3 para 1, conclui-se que a resposta é 9.
10
3 - Um Zootecnista elaborou um projeto para acompanhar o crescimento de equinos, utilizando gramínea como base alimentar. Em uma das visitas para fazer a medição dos animais observou-se, em um deles, os seguintes resultados:
- No membro toráxico, do caso a região do joelho obteve-se 25 cm.
- No membro pélvico, do casco aos ossos do tarso obteve-se 20 cm.
- E dos ossos do tarso às ultimas vértebras sacrais obteve- se 80 cm
- No membro pélvico, do casco aos ossos do tarso obteve-se 20 cm.
(observe os pontos na figura)
Quando chegou em casa e alisou os resultados, lembrou que não havia feito a medição do joelho a cartilagem escapular desse animal. Lembrando que é feito todo esse mesmo processo a cada 2 meses e que consequentemente irá haver alteração no tamanho do animal caso deixe para medir na próxima visita. E agora, qual solução?
Obs.: Não há mínima possibilidade de ele voltar e fazer o que esqueceu, nem ao menos mandar alguém medir, pois caso aconteça algum erro os resultados não serão favoráveis na conclusão do projeto.
Traçando retas paralelas e transversais.
Resolução: 25 __X = 80 => 20x = 2000 => __ 20
X = 1 metro
- LOUREIRO, Cristina et al.Geometria. Lisboa: Ministério da Educação, 1998
- http://pt.scribd.com/doc/18059421/geometria-proporcional-nm
- http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/teorema-tales-proporcao- aplicada-geometria-594437.shtml
- http://www.brasilescola.com/matematica/teorema-tales.htm