Geometria II, Notas de estudo de Física

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FICHA TÉCNICA

Governador Eduardo Braga Vice–Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró–Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes

Oliveira, Disney Douglas de Lima.

O48g Geometria II / Disney Douglas de Lima Oliveira, Domingos Anselmo Moura da Silva, Helisângela Ramos da Costa. – Manaus/AM: UEA, 2007. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período)

141 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia

1. Geometria. I. Silva, Domingos Anselmo Moura da. II. Costa, Helisângela Ramos da. III. Título.

CDU (1997): 514 CDD (19.ed.): 516

SUMÁRIO

• Palavra do Reitor
• UNIDADE I – Noções primitivas e posições relativas
• TEMA 01 – Conceitos primitivos, postulados e posições relativas.
• UNIDADE II – Distâncias, diedros e triedros
• TEMA 02 – Distâncias e diedros
• UNIDADE III – Poliedros, prismas e pirâmides
• TEMA 03 – Poliedros
• TEMA 04 – Prismas
• TEMA 05 – Planificação e área do prisma
• TEMA 06 – Volume do prisma
• TEMA 07 – Pirâmides
• UNIDADE IV – Cilindro e cone
• TEMA 08 – Cilindro
• TEMA 09 – Cone
• UNIDADE V – Superfícies de revolução e sólidos de revolução
• TEMA 10 – Superfícies e sólidos de revolução
• UNIDADE VI – Esfera
• TEMA 11 – Esfera
• UNIDADE VII – Noções de geometria não-euclidiana
• TEMA 12 – Geometria não-euclidiana
• Anexos
• Respostas dos Exercícios
• Referências

PALAVRA DO REITOR

A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon- der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico–científico.

Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere- cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis- tenciais, estimulando–lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando–lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.

Os livros–textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos- tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi- no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.

A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje.

Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

TEMA 01

CONCEITOS PRIMITIVOS, POSTULADOS E

POSIÇÕES RELATIVAS

1. Conceitos primitivos

São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os con- ceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação: Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto.

• A Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto

Planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observações:

1. Espaço é o conjunto de todos os pontos. Nesse conjunto, desenvolveremos a Geo- metria Espacial.
2. Axiomas ou postulados ( P ), são propo- sições aceitas como verdadeiras sem de- monstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Assim, iniciaremos a Geometria Espacial com alguns postulados, relacionando o ponto, a reta e o plano.
3. Postulados

2.1 Postulados da existência

P 1 ) Dada uma reta r , existem nela, bem como fora dela, infinitos pontos.

P 2 ) Dado um plano α, existem nele, bem como

fora dele, infinitos pontos.

2.2 Postulados da determinação P 3 ) Por dois pontos distintos passa uma única reta.

Notação: P 4 ) Por três pontos não-colineares passa um único plano.

Notação: α = ( A,B,C )

2.3 Postulados da inclusão P 5 ) Se uma reta r tem dois pontos distintos num

plano α, então a reta r está contida nesse

plano:

Simbolicamente, temos:

3. Retas concorrentes e paralelas 3.1 Definição de retas concorrentes Diremos que duas retas r e s são concorrentes se, e somente se, elas têm um único ponto em comum.

r ∩ s = { P }

3.2 Definição de retas paralelas Diremos que duas retas r e s são paralelas, se e somente se, elas são coincidentes ou elas são coplanares e não têm pontos em comum.

Geometria II – Noções primitivas e posições relativas

1. Quantas retas podemos traçar por um ponto no espaço? Justifique sua resposta.
2. Quantos são os planos determinados por qua- tro pontos distintos dois a dois? Justifique sua resposta
3. É comum encontrarmos mesas com 4 “pernas” que, mesmo apoiada em um piso plano, ba- lançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das “pernas”, se a quisermos firme. Explique, usando argumento de geometria, por que isso não acontece com uma mesa de 3 “pernas”.
4. Determinação de um plano

Existem mais três modos de determinar um plano, além do postulado P 2 , os quais vamos enunciar em forma de proposição; Proposição 1 – Um plano fica determinado de modo único, por uma reta ( r ) e um ponto ( P ) que não pertença a essa reta.

Notação: α = ( P , r )

Demonstração: Tome na reta r dois pontos distintos A e B (pos- tulado P 1 ). Dessa forma, temos que os pontos A , B e P não são colineares, pois o ponto

P ∉ r.

Sendo assim, temos que existe um plano α

determinado pelos pontos A , B e P (postulado

P 2 ), o qual vamos denotar por α =( A , B , P ).

Observe que o ponto P ∈ α, e a reta r = AB ⊂ α

(postulado P 5 ), ficando assim provada a

existência do plano α.

Vamos agora mostrar a unicidade do plano α :

Se existisse um outro plano, digamos β, pas-

sando por P e r teríamos que:

α = ( P , r ); com A , B ∈ r ⇒ α = ( A , B , P ) e

β = ( P , r ); com A , B ∈ r ⇒ β = ( A , B , P ).

Portanto (postulado P 2 ) concluímos que α = β.

Exemplo Quantos são os planos que passam por uma reta dada? Justifique sua resposta. Solução: Infinitos. Seja r a reta e A um ponto fora de r (postulado P 1 ). A reta r e o ponto A determinam um plano

α (Proposição 1). Fora do plano α, tomamos

um ponto B (postulado P 2 ). Desse modo, te- mos que a reta r e o ponto B determinam um

plano β (Proposição 1). Fora de α e β, toma-

mos um ponto C (postulado P 2 ). A reta r e o

ponto C determinam um plano γ (Proposição 1).

Desse modo, podemos construir, por r , tantos planos quantos quisermos, isto é, construire- mos infinitos planos. Exemplo 2 Quantos planos passam por dois pontos distin- tos? Justifique sua resposta. Solução: Infinitos. Seja A e B tais pontos distintos. Pelo postulado P 3 , temos que existe uma única reta r passan- do por eles.

Geometria II – Noções primitivas e posições relativas

Sendo assim, fazendo uso do exercício ante- rior, concluímos que existem infinitos planos passando pelos pontos A e B.

1. (Proposição 2) Mostre que um plano fica deter- minado de modo único, por duas retas concor- rentes.
2. (Proposição 3) Mostre que um plano fica deter- minado de modo único, por duas retas parale- las entre si e distintas.
3. Prove que duas retas paralelas distintas e uma concorrente com as duas são coplanares.
4. Mostre que, se duas retas são paralelas distin- tas, todo plano que contém uma delas e um ponto da outra, contém a outra.
5. Classifique em verdadeiro ou falso , justifican- do sua resposta. a) Três pontos distintos determinam um plano. b) Um ponto e um reta determinam um único plano. c) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos. d) Três retas distintas, duas a duas concor- rentes, determinam um ou três planos. e) Três retas distintas, duas a duas concor- rentes, determinam um único plano. f) Quatro pontos distintos e não-colineares determinam um único plano. 4. Retas reversas

Definição – Diremos que duas retas r e s são ditas reversas se, e somente se, não existe plano que as contenha.

Notação: r e s são reversas ⇔ α; r , s ⊂ α e

r ∩ s = ∅

Retas reversas no cotidiano

5. Quadrilátero reverso Definição – Um quadrilátero é chamado rever- so se, e somente se, não existe plano con- tendo seus quatros vértices.

Se α = ( A , B , D ) e C ∉ α, então ABCD é um

quadrilátero reverso. Exemplo 1 Mostre que todo quadrilátero reverso não pode ser um paralelogramo. Solução: (Demonstração pelo método indireto) Suponha que um quadrilátero reverso ABCD,

seja um paralelogramo ⇒ ⇒ ∃α

“plano” tal que ⊂ α, ⊂ α, portanto os

pontos A , B , C e D estão contidos em α. Isso

gera um absurdo em relação à hipótese. Logo, o quadrilátero reverso ABCD , não pode ser um paralelogramo. Exemplo 2 As diagonais de um quadrilátero reverso são reversas.

UEA – Licenciatura em Matemática

7.2 Teorema das Paralelas

Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si, ou seja, r , s e

t retas, em que r // t e s // t ⇒ r // s.

Temos dois casos a considerar: 1.o^ ) As três retas são coplanares.

2.o^ ) As retas são não-coplanares. Vamos considerar o segundo caso, que é o mais geral.

Demonstração: Fazendo uso do postulado P 7 , as retas r e s não têm ponto comum, pois caso essa afirmação não fosse verdadeira, teríamos duas retas pas- sado por um mesmo ponto e paralelas à reta t , contrariando o postulado das paralelas.

Considere os planos β = ( r , t ) e α = ( s , t ), ou

seja, o plano β é determinado pelas retas r e t ,

pois r // t , e o plano α é determinado pelas retas

s e t , pois s // t. Tomemos um ponto P em s ; dessa forma,

podemos obter um plano γ = ( P , r ).

Os planos distintos α e γ têm um ponto P

comum; sendo assim, pela conseqüêcia natu- ral do postulado P 6 , eles têm uma reta em co- mum, que chamaremos de x (não podemos di- zer que as retas s e x são as mesmas, pois estaríamos admitinto a tese que queremos pro- var).

( r = β ∩ γ , x = α ∩ γ , t = α ∩ β e r // t ) ⇒

r // x e t // x O ponto P pertence, então, às retas s e x , e ambas são paralelas à reta t. Logo, fazendo uso do postulado das paralelas, temos que x = s. Donde concluímos que r = s.

1. Mostre que duas retas sendo paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si (para o caso das três retas serem coplanares).
2. Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso são os vértices de um paralelogramo. 8. Paralelismo entre retas e planos 8.1 Definição

Sejam α e r um plano e uma reta respectiva-

mente. Diremos que a reta r é paralela ao plano α

se, e somente se, eles não têm ponto em comum.

Notação: α // r ⇔ α ∩ r = ∅

Vamos enunciar, como exercício resolvido, uma condição necessária e suficiente para que uma reta dada seja paralela a um plano dado. Exemplo 1 (Condição Suficiente) Diremos que uma reta, que não está contida num plano e é paralela a pelo menos uma reta desse plano, é paralela ao plano. Em outras palavras:

Sejam r e α uma reta e um plano respectiva-

mente, tal que r ⊄ α. Se a reta r é paralela a

uma reta s do plano α, então a reta r é paralela

ao plano α.

Hipótese: r ⊄ α, r // s , s ⊂ α ⇒ Tese r //α

UEA – Licenciatura em Matemática

Demonstração:

Temos por hipótese que r // s com r ∩ s = ∅.

Então, existe um plano β determinado por r e

s , onde s ⊂ α, s ⊂ β e α ≠ β implicando que

s = α ∩ β.

Se r e α têm um ponto em comum, digamos A ,

teremos A ∈ r e r ⊂ β ⇒ A ∈ β. Como A ∈ β

e A ∈ α, decorre daí que A ∈ s.

Sendo assim, concluímos que A ∈ r e A ∈ s.

Logo, existe um ponto A ∈( r ∩ s ) = ∅, o que

gera um absurdo. Logo, concluímos que a reta r não pode ter ponto em comum com o plano

α, isto é, r //α.

Exemplo 2

(Condição necessária) Se uma reta é paralela a um determinado plano, então ela é paralela a uma reta desse plano.

Em outras palavras:

Sejam r e α uma reta e um plano respectiva-

mente. Se r //α, então existe uma reta s ⊂ α tal

que r // s. (^) r

Hipótese: r //α ⇒ Tese: ∃ s ⊂ α | r // s

Demonstração:

Conduzimos por r um plano β que intercepta α.

Seja s a reta dada pela interseção dos planos

α e β.

As retas r e s são coplanares, pois estão em β

e não têm pontos em comum, pois r ∩ α = ∅,

s ⊂ α ⇒ r ∩ s = ∅. Logo, r // s.

Observação – Uma condição nescessária e suficiente para que uma reta ( r ), não contida

num plano (α), seja paralela a esse plano, é ser

paralela a uma reta ( s ) contida no plano (α).

9. Posições relativas entre uma reta e um plano São três as posições relativas entre uma reta e um plano: 1.a) A reta está contida no plano. Ou seja, dois pontos distintos da reta, di- gamos A e B também são pontos do plano.

r ⊂ α ⇔ r ∩ α = r

2.a) A reta e o plano são concorrentes ou a reta e o plano são secantes.

r ∩ α = { P }

3°) A reta e um plano são paralelos.

Geometria II – Noções primitivas e posições relativas

que eles são paralelos, fazendo uso do método indireto de demonstração, ou seja, supondo

que os planos α e β não sejam paralelos.

Logo, existiria uma reta, a qual vamos denotar

de i , tal que i = α ∩ β. Dessa forma, teríamos:

a // α, a ⊂ β, i = a ∩ β ⇒ a // i e b // α, b ⊂ β,

i = a ∩ β ⇒ b // i.

Logo, pelo teorema das paralelas, temos que as retas a e b são paralelas, o que é um absur-

do, pois por hipótese as retas a e b são con-

correntes.

Assim, concluímos que os planos α e β são

paralelos.

Exemplo 2

(Condição necessária) Se dois planos distintos

α e β são paralelos, então um deles, digamos

β, contém duas retas concorrenres, ambas

paralelas ao outro (α).

Hipótese: {α // β ⇒ Tese {∃ a ⊂ β, ∃ b ⊂ β,

a ∩ b = {O}, a // α, b // α

Demonstração:

Sabemos que num plano dado (β) existem

infinitas retas; tome duas ( a e b ) que sejam concorrentes, digamos, no ponto O , ou seja,

α ∩ β = { O }. Basta mostrar que as retas a e b

são ambas paralelas ao plano α.

Fazendo uso do método indireto de demons- tração, ou seja , supondo que as retas a e b

não sejam paralelas ao plano α. Logo, existiria

pelo menos um ponto de uma das retas, di-

gamos P em reta a , que seria também ponto

do plano α.

Dessa forma, teríamos:

a ⊂ β, a ∩ α ≠ ∅ ⇒ α ∩ β ≠ ∅, o que é um

absurdo, pois os planos α // β tais que

α ∩ β = ∅. Portanto a tese é verdadeira.

11. Posições relativas entre dois planos As posições relativas de dois planos, digamos

α e β, podem ser de três formas.

1. Planos coincidentes

2. Planos paralelos distintos

3. Planos secantes

α ∩ β = i

Exemplo 1

Sejam α, β dois planos distintos e paralelos.

Mostre que toda reta r de α é paralela ao pla-

no β.

Hipótese: {α // β, r ⊂ α ⇒ Tese { r // β

Demonstração:

Sendo α e β planos paralelos distintos e r ⊂ α,

vamos mostrar que r // β. Para isso, vamos

fazer uso do método indireto de demons- tração, ou seja, vamos supor que a reta r não

seja paralela ao plano β.

Logo, existiria pelo menos um ponto Q ∈ r , tal

que o ponto Q ∈ β. Como Q ∈ α, pois r ⊂ α e

Q ∈ β, teríamos que Q ∈ α ∩ β, o que seria um

absurdo, pois por hipótese α ∩ β = ∅. Logo,

vale a tese, ou seja, r // β.

Geometria II – Noções primitivas e posições relativas

Exemplo 2

Sejam α, β e γ três planos distintos. Se α, β

são paralelos, e γ encontra α segundo a reta r ,

então γ encontra β segundo a reta s.

Hipótese: {α, β, γ planos, α // β e γ ∩ α= r ⇒

Tese: {γ ∩ β = s

Demonstração:

Basta considerar, em γ, uma reta t concorrente

com a reta r.

Como γ ≠ α, concluímos que t é concorrente

com α. Sendo α // β, teremos que t é concor-

rente com o plano β num ponto, digamos Q.

Logo, fazendo uso da conseqüêcia natural do postulado P 6 , temos que existe uma reta, di-

gamos s , tal que Q ∈ s e s = γ ∩ β.

1. Classifique em verdadeiro ou falso , justifican- do sua resposta. a. ( ) Se dois planos são secantes, então qualquer reta de um deles é concor- rente com o outro. b. ( ) Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser concor- rente com uma reta do outro. c. ( ) Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser reversa com uma reta do outro, d. ( ) Dois planos distintos paralelos têm um ponto em comum. e. ( ) Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um deles é paralela ao outro. f. ( ) Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um e uma reta de outro podem ser concorrentes. g. ( ) Se um plano contém duas retas distin- tas e paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos.

h. ( ) Uma condição suficiente para que dois planos sejam paralelos é que duas retas distintas de um sejam paralelas ao outro. i. ( ) Se dois planos são paralelos, então toda reta que tem um ponto comum com um deles, tem um ponto comum com o outro.

2. Se dois planos paralelos interceptam um ter- ceiro, então as interseções são paralelas.
3. Se dois plano são paralelos, toda reta paralela a um deles é paralela ou está contida no outro.
4. Mostre a transitividade entre planos, isto é, se dois planos são paralelos a um terceiro , então eles são paralelos entre si. 12. Retas e planos perpendiculares Definição

Uma reta r é perpendicular a um plano α se, e

somente se, r é perpendicular a todas as retas

de α que passam pelo ponto de intersecção de

r e α.

Observações:

1. Se uma reta r e um plano são concorrentes e não são perpendiculares, eles são oblí- quos.

2. se uma reta r é perpendicular a um plano α,

então ela é perpendicular ou ortogonal a

toda reta de α:

Como conseqüência, temos o seguinte Teo- rema, que vamos admitir sem demonstração.

UEA – Licenciatura em Matemática