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Proporcionalidade na Geometria

Zootecnia/uema

1º período

Trabalho de Fundamentos da Matemática Prof. Elinaldo

Sumário:

Geometria Proporcional

• INTRODUÇÃO O que é semelhança em geometria
• Triângulos congruentes
• Semelhança de triângulos -Teorema de Tales

Note que os dois compassos tem exatamente a mesma forma e tamanhos diferentes. Note que nos dois triângulos os ângulos correspondentes são iguais e que a razão entre os lados (comprimentos) é 2. Temos: EF=8 e BC=4 logo; EF/BC = 8/4 = 2. DE=12 e AB=6 logo; DE/AB = 12/6 = 2. DF=5 e AC=2,5 logo; DF/AC = 5/2,5 = 2.

 Triângulos Congruentes Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos. Casos de congruência: 1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes. 2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente. 4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

Além disso, como o ângulo A é congruente ao ângulo D, por hipótese, o triângulo AGH é congruente ao triângulo DEF (critério ALA da congruência entre triângulos) e portanto semelhantes. Por outro lado, pelo Teorema Fundamental, temos que o triângulo AGH é semelhante ao triângulo ABC, já que o lado GH é paralelo ao lado BC. E, finalmente, como o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AGH, e AGH, por sua vez, é semelhante a DEF, concluímos, que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF.

Exercícios:

1- De acordo com as indicações feita na figura, responda:

• Qual e o caso de congruência que permite afirmar que x = y? A B C y x

 Semelhança de Triângulos  Critério AA => Ângulo-Ângulo: Se dois triângulos têm dois ângulos internos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes. Demonstração: No caso dos dois triângulos serem congruentes, nada há a demonstrar, pois por definição de congruência os triângulos são necessariamente semelhantes. Suponhamos, então, como indicado na figura, o triângulo ABC maior que o triângulo DEF e construamos o triângulo AGH tal que a medida do lado AG seja igual à medida do lado DE, o ângulo G congruente ao ângulo E e H sobre o lado AC.

2

Teorema de Tales

• Quem foi Tales?
• Estudioso grego que viveu no século 6 a.c
• Física, Astronomia, Geometria, filosofia e Política
• Toda verdade matemática deve ser demonstrada
• O que é um teorema?

Tales e a pirâmide de Queóps

Exercícios:

1 - Numa fazenda em que o galpão para a criação de galinhas, está dividido para separar as matrizes, filhotes, reprodutores etc, têm os tamanhos mostrados na figura abaixo, qual o comprimento aproximado da região vermelha destinado as matrizes? Resposta: 70