Geometria I, Notas de estudo de Física

Baixe Geometria I e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity!

FICHA TÉCNICA

Governador Eduardo Braga Vice–Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró–Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico–gramatical João Batista Gomes

Silva, Clício Freire da.

S586g Geometria I / Clício Freire da Silva, Cláudio Barros Vitor, Ieda Maria de Araújo Câmara Costa. – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período)

149 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia

1. Geometria. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara. III. Título.

CDU (1997): 514 CDD (19.ed.): 516

SUMÁRIO

• Palavra do Reitor
• UNIDADE I – Noções primitivas
• TEMA 01 – Noções e proposições primitivas.
• TEMA 02 – Segmento de reta - Conceitos primitivos - ponto, reta e plano
• TEMA 03 – Ângulos
• TEMA 04 – Ângulos - Exercícios propostos
• TEMA 05 – Paralelismo - Retas paralelas
• TEMA 06 – Perpendicularismo
• UNIDADE II – Polígonos
• TEMA 07 – Triângulos
• TEMA 08 – Triângulos - Exercícios propostos
• TEMA 09 – Congruência de triângulos
• TEMA 10 – Pontos notáveis no triângulo
• TEMA 11 – Quadriláteros
• TEMA 12 – Quadriláteros - Principais propriedades e aplicações
• TEMA 13 – Polígonos
• TEMA 14 – Polígonos - Exercícios propostos
• UNIDADE III – Elementos na circunferência
• TEMA 15 – Circunferência e Círculo
• TEMA 16 – Circunferência e Círculo - Exercícios propostos
• TEMA 17 – Ângulos na circunferência
• TEMA 18 – Ângulos na circunferência - Exercícios propostos
• TEMA 19 – Polígonos inscritos e circunscritos
• TEMA 20 – Polígonos inscritos e circunscritos - Exercícios propostos
• UNIDADE IV – Relações métricas no triângulo
• TEMA 21 – Teorema de Tales
• TEMA 22 – Semelhança de triângulos
• TEMA 23 – Relações métricas no triângulo retângulo
• TEMA 24 – Relações métricas no triângulo retângulo - Exercícios propostos
• TEMA 25 – Teorema de pitágoras
• TEMA 26 – Teorema de pitágoras - Exercícios propostos
• TEMA 27 – Relações métricas no triângulo qualquer
• TEMA 28 – Relações métricas no triângulo qualquer - Exercícios propostos
• UNIDADE V – Áreas de superfícies
• TEMA 29 – Relações métricas na circunferência
• TEMA 30 – Relações métricas na circunferência - Exercícios propostos
• TEMA 31 – Atividade de laboratório
• TEMA 32 – Áreas de figuras planas - Triângulos
• TEMA 33 – Atividade de laboratório
• TEMA 34 – Áreas de figuras planas - Quadriláteros
• TEMA 35 – Áreas de figuras planas - Polígonos
• TEMA 36 – Atividade de laboratório - Teorema de Pitágoras
• TEMA 37 – Áreas de superfícies planas - Círculo
• TEMA 38 – Atividade de laboratório
• TEMA 39 – Atividade de laboratório - Decomposição de polígonos
• TEMA 40 – Atividade de laboratório - Pontos notáveis no triângulo
• UNIDADE VI – Atividades de laboratório
• Respostas de Exercícios
• Referências

PALAVRA DO REITOR

A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon- der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico–científico.

Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere- cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis- tenciais, estimulando–lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando–lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.

Os livros–textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos- tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi- no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.

A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje.

Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

TEMA 01

NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS

Introdução

Euclides, o grande matemático grego, foi o principal responsável pelo avanço da geome- tria. Nascido por volta de 300a.C., Fundador da Escola de Alexandria, escreveu um tratado de matemática sob o título Os elementos (com- posto de treze volumes), que se constituiu, du- rante mais de 20 séculos.

No livro, Euclides expõe, em ordem lógica, os principais assuntos da geometria. Inicia apre- sentando os entes primitivos e algumas definições. A seguir, considera alguns postula- dos e, finalmente, demonstra uma série de teo- remas que serviriam de base para a demons- tração de outras propriedades.

O livro é considerado a primeira compilação formal do saber matemático ocidental. A rígida organização da obra forneceu o padrão de apresentação para tudo que se fez posterior- mente em matemática, daí o nome Geometria Euclidiana.

Conceitos Primitivos – São aqueles apresen- tados intuitivamente, ou seja, sem definição. Nascem em nossa mente pela observação e experiência.

Exemplos: o ponto, a reta e o plano.

Os demais conceitos são apresentados por uma definição que se utiliza de conceitos já conhecidos.

Postulados ou axiomas – São proposições (afirmações) aceitas como verdadeiras sem prova ou demonstração, apenas pela experiên- cia ou observação. Postulados Fundamentais – Servem de suporte para o estudo da geometria que ora estudamos. Alguns postulados Importantes:

• Uma reta tem infinitos pontos.
• Dois pontos distintos determinam uma úni- ca reta.
• Por um ponto passam infinitas retas.
• Dois pontos distintos determinam uma úni- ca reta.
• Três pontos não-colineares determinam um único plano.
• A reta que passa por dois pontos distintos, pertencentes a um plano, também está con- tida nesse plano.

A B

Geometria I – Noções primitivas

1. Classificar em verdadeiras ou falsas as afir- mações: a. ( ) Dados dois pontos distintos, existe um único plano passando por eles. b. ( ) Os vértices de um triângulo são coplanares e estão no mesmo plano. c. ( ) Uma reta qualquer separa um plano em dois semiplanos. d. ( ) Por três pontos distintos quaisquer pas- sa sempre um único plano. e. ( ) O número máximo de retas que quatro pontos podem determinar é de seis retas.
2. Assinale a alternativa falsa :

a) Por dois pontos distintos passa uma única reta. b) Por quatro pontos quaisquer passa sempre um único plano. c) O conceito de plano é primitivo. d) O plano tem infinitos pontos.

3. Classifique em verdadeiras ou falsas as afir- mações: a. ( ) Uma reta tem dez pontos distintos. b. ( ) Um plano tem cinco pontos distintos. c. ( ) Existem infinitos pontos fora de uma reta. d. ( ) Existem pontos fora de um plano que são colineares. e. ( ) Dois pontos quaisquer distintos estão sempre contidos em pelo menos um plano. f. ( ) Todo triângulo está contido em um úni- co plano. g. ( ) Quatro pontos quaisquer estão sempre contidos em um único plano.
4. Demonstre o teorema:

Se dois ângulos são adjacentes suplemen- tares, então suas bissetrizes formam um ângu- lo reto.

TEMA 02

SEGMENTO DE RETA

Conceitos Primitivos – Ponto, reta e plano No dia-a-dia, são encontrados diversos exem- plos desses conceitos primitivos. Exemplos: a) A marca deixada em uma folha de papel pela ponta de um lápis.

O ponto é indicado com letras maiúsculas do nosso alfabeto. b) Uma estrada dá-nos idéia de reta.

A reta não tem começo, nem fim, nem espessura. É representada por letras minúsculas do nosso alfabeto. c) A superfície do rio Amazonas dá-nos a idéia de plano.

O plano é indicado por letras minúsculas do alfabeto grego, tais

como α (alfa), β (beta) γ (gama), etc.

Semi-reta

Em relação ao ponto A, a reta fica dividida em duas partes:

Cada uma dessas partes é chamada semi-reta, e o ponto A é chamado origem das semi-retas.

Geometria I – Noções primitivas

Exemplo de semi-retas:

Indicação:

→ AB (lê-se semi-reta AB)

Retas coplanares Duas ou mais retas são coplanares quando es- tão contidas no mesmo plano. As retas coplanares podem ser: a) concorrentes – quando têm apenas um ponto comum; b) paralelas – quando não têm ponto comum; c) coincidentes – quando têm todos os pon- tos comuns.

Segmento de reta O conjunto formado pelos pontos A e B e por todos os pontos da reta entre A e B é chama- do segmento de reta.

Os pontos A e B são chamados extremos do segmento AB. Indicação:

AB (lê–se segmento AB)

Segmentos consecutivos Dois segmentos são consecutivos quando possuem um extremo comum.

Os segmentos

AB e

BC possuem um extremo comum: B. Logo:

AB e

BC são segmentos consecutivos.

Segmentos colineares Dois segmentos são colineares quando estão contidos na mesma reta.

Se os segmentos são colineares e consecu- tivos, nesse caso diz-se adjacentes. Exemplo:

Segmentos congruentes Dois segmentos são congruentes quando pos- suem a mesma medida, tomada numa mesma unidade.

Indicamos a congruência entre

AB e

CD

escrevendo:

AB ≅ CD (lê–se segmento AB é

congruente ao segmento CD)

Ponto médio de um segmento Chama-se ponto médio de um segmento o ponto que divide o segmento dado em dois segmentos congruentes.

1. Que ente geométrico lhe sugere: a) os buracos existentes no botão? b) o encontro entre duas paredes? c) o piso da sala de aula? Solução a) Ponto b) Reta c) Plano

2. Usando os símbolos ∈, ∉, ⊂, determine a

relação existente entre:

a) A ....... r b) A..... s c) A....... t

d) B..... r e) B...... s f) C...... α

g) C ...... r h) C........s i) D....... α

j) D....... r I) r .......α m)s..... α

UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 03

ÂNGULOS

No dia-a-dia, observa-se que existem diversos objetos que possuem uma certa abertura, dan- do-nos idéia de ângulo. Os ângulos são usa- dos, na engenharia, na fabricação de móveis, no lançamento de foguetes, na utilização de saté- lites, na rota de avião, estacionamentos, em de- senhos, etc.

Definição

As duas semi-retas

→ OA e

→ OB dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.

O ângulo convexo da figura acima pode ser indicado por: AÔB (lê–se “ângulo AOB”) Se as duas semi-retas

→ OA e

→ OB forem opostas, o ângulo é chamado raso ou de meia-volta.

Se as duas semi-retas → OA e → OB, que formam o ângulo, forem coincidentes, temos um ângulo nulo ou de uma volta.

Os Babilônios, povo da Antiguidade, habita- va a região onde hoje se situa o Iraque. Esse povo tinha um calendário de 12 meses lunares, com 30 dias cada mês, totalizando 360 dias (12 x 30). Eles acreditavam que esse era o tempo que o Sol levava para dar uma volta completa em torno da Terra, girando em órbita circular. Assim, a cada dia o Sol percor- ria um arco correspondente a dessa cir-

cunferência. Hoje, sabe-se que o Sol não “gira” em torno da Terra e que o ano tem mais de 360 dias. Mas devemos lembrar que os babilônios fizeram suas observações e seus cálculos há mais de 4 mil anos. As noções de ângulo foram desenvolvidas na Grécia antiga. Deve-se a Hiparco de Nicéia (II a.C.), considerado pelos gregos como o pai da Astronomia, a primeira divisão do círculo em 360 partes iguais, com o objetivo de medir ângulos. A cada um desses 360 arcos em que a cir- cunferência foi dividida, associamos um ângu- lo cuja medida chamamos de 1 grau.

Medida de um ângulo Para medir ângulos, utiliza-se o transferidor, um instrumento que tem como unidade o grau.

No transferidor da figura, tem-se um ângulo raso que foi dividido em 180 ângulos de um grau (indica-se por 1°): O grau tem dois submúltiplos:

• Minuto^ –^ corresponde^ a^ do^ grau. Indica–se um minuto por 1’.
• Segundo^ – corresponde a^ do minuto. Indica-se um segundo por 1”. Quando um ângulo é medido em graus, minu- tos e segundos, diz–se que ele está expresso no sistema sexagesimal.

A reunião de duas semi-retas de mesma origem chama-se ângulo.

UEA – Licenciatura em Matemática

Outras unidades de medida

Radiano – É a medida de um ângulo central cor- respondente a um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência a que pertence.

A circunferência possui 27πrd.

Grado – É a medida de um ângulo central, que

corresponde a da circunferência (sistema

decimal de medidas).

Correspondência entre as unidades de medida:

Ângulos Congruentes

Dois ângulos são congruentes quando pos- suem a mesma medida.

Os ângulos AÔB e CÔD têm a mesma medida (30°). Podemos afirmar que esses ângulos são congruentes. Assim:

AÔB ≅ CÔD (lê–se “AÔB é congruente a CÔD)

Propriedades da congruência

• Reflexiva:^ AÔB^ ≅^ AÔB.
• Simétrica:^ se^ AÔB^ ≅^ ‘CÔD,^ então

CÔD ≅ AÔB.

• Transitiva:^ se AÔB^ ≅^ CDF e CDF^ ≅^ FGH,

então AÔB ≅ FGH.

Ângulos consecutivos Dois ângulos são consecutivos quando pos- suem um vértice e um lado comuns.

São exemplos de ângulos consecutivos: AÔC e CÔB AÔC e AÔB CÔB e AÔB

Ângulos adjacentes Dois ângulos são adjacentes quando possuem um vértice comum, um lado comum e não pos- suem pontos internos comuns.

AÔC e CÔB são ângulos adjacentes. Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes.

São exemplos de ângulos adjacentes: AÔC e BÔC BÔC e CÔD CÔD e DÔA DÔA e AÔB

Grau Grado Radiano Uma volta 360 º 400 gr 2 πrd Meia volta 180 º 200 gr 2 πrd Um quarto de volta 90 º^ 100 gr

Geometria I – Noções primitivas

• A soma de ângulos adjacentes formados em torno de um ponto é igual a 360°.

^a + ^b + ^c + ^d = 360º

• As bissetrizes de dois ângulos adjacentes, de lados exteriores em linha reta, formam um ângulo reto, ou seja, são perpendiculares. 1. Qual o valor de x?

a)

Solução X + 60º = 90º X = 90º – 60º X = 30º b)

Solução X + 53º = 180º X = 180º – 53º X = 127º

2. Calcule o valor de x nas figuras: a)

Solução 10 º + X+ 25º = 90º X = 90º – 35º X = 55º b)

Solução 60 º + X + 40º = 180º X = 180º – 100º X = 80º

m(MÔM) = 90º ou OM ⊥ OM´

Geometria I – Noções primitivas

c)

Solução 70 º + 90º +5X = 360º 5X = 360º – 160º 5X = 200º X = 40º

3. Calcule o valor de x e de y na figura:

Solução Y + 58º = 180º Y = 180º – 58º Y = 122º X + Y = 180º X + 122º = 180º X = 180º – 122º X = 58º

4. Dois ângulos opostos pelo vértice têm medi- das expressas por 2x – 100° e x + 30°. Qual o valor de x? Solução 2x – 100° = x + 30° 2x – x = 30° + 100º x = 130º
5. Transforme 100 grados em graus.

Solução Aplicando uma regra de três simples: 400gr 360 º 100gr x

= ⇒ 400 x = 360. 100 ⇒

400 x = 36000 ⇒ x = ⇒ x = 90º

Portanto 100 grados correspondem a 90 graus.

TEMA 04

ÂNGULOS

1. Use o transferidor para encontrar a medida do ângulo destacado nas figuras: a) (^) b) c)
2. Classifique os pares de retas em concorrentes e paralelas : a) a e b b) b e s c) r e s d) a e r
3. Transforme: a) 60 graus em radianos; b) 50 grados em graus;

c) π/6 radianos em graus.

4. Dado um ângulo de medida X, indicar: a) seu complemento; b) seu suplemento; c) o dobro do seu complemento; d) a metade do seu suplemento; e) o triplo de seu suplemento.
5. A metade da medida de um ângulo mais a medida do seu complemento é igual a 58o^. Quanto mede o ângulo?

6. A medida de um ângulo somada a 1/3 da medi- da de seu complemento é igual a 66º. Quanto mede esse ângulo?

7. A medida de um ângulo somada à metade da medida de seu complemento dá 55º. Quanto mede o suplemento desse ângulo?
8. Somando-se a medida do complemento com a medida do suplemento de um ângulo obtém- se 130°. Quanto mede esse ângulo?

UEA – Licenciatura em Matemática