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GRÁFICO, EQUAÇÃO, RAÍZES E VÉRTICE
- Esboce os gráficos das funções, determinando domínio, coordenadas dos vértices e imagem.
a) y = x² - 6x + 5 b) y = - x² + 4x – 4 c) y = -2x² + x - 1 d) y = (x-3)²
- Em relação ao gráfico da função f(x) = - x² + 4x – 3. Classifiquem em V (verdadeiro) ou F (falso) as sentenças a seguir:
a) é uma parábola de concavidade voltada para cima. b) seu vértice é o ponto V (-2, 1). c) a parábola tem ponto de máximo igual a (2, 1). d) o valor máximo é 2.
Determine o intervalo de valores de m para que a função quadrática f(x) = mx² + (2m - 1)x + (m - 2) tenha zeros reais e distintos.
O gráfico da função quadrática definida por y = x² - mx + (m - 1), onde m R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é:
a) - 2. b) - 1. c) 0. d) 1. e) 2.
- A função f, de IR em IR, dada por f(x) = ax² - 4x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a
a) 4 b) 2 c) 0 d) - ½ e) – 2
- Sabe-se que o gráfico da função quadrática f(x) = x² + ax + 3 passa por (1, 2). Então "a" é igual a:
a) 2 b) 1 c) 0 d) -2 e) -
Obtenha os pontos em comum aos gráficos de y = x² + 2x e y = x + 2. Esboce as funções no mesmo sistema de coordenadas, indicando a interseção.
Determine a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos (1, 8), (0, 3) e (2, -1).
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
LISTA DE EXERCÍCIOS – FUNÇÃO QUADRÁTICA
- O gráfico da função y = ax² + bx + c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são, respectivamente:
a) 1, - 6 e 0 b) - 5, 30 e 0 c) - 1, 3 e 0 d) - 1, 6 e 0 e) - 2, 9 e 0
- Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Chorão", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura a seguir:
A equação da parábola era do tipo: y=(-x²/36)+c O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi:
a) na baliza b) atrás do gol c) dentro do gol d) antes da linha do gol
- Considere a região delimitada pela parábola da equação y=-x²+5x-4 e pela reta de equação x+4y-4=0. Assinale a alternativa cujo gráfico representa corretamente essa região.
(Cesgranrio - ADAPTADA) Os pontos V e P são comuns às funções f(x)= x - 4 e g(x)=ax²+bx+c, representadas no gráfico a seguir. Sendo V o vértice da parábola. Determine a expressão que define essa parábola.
(Enem 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é
a) V = 10.000 + 50x – x².
b) V = 10.000 + 50x + x².
c) V = 15.000 – 50x – x².
d) V = 15.000 + 50x – x².
e) V = 15.000 – 50x + x².
MÁXIMOS E MÍNIMOS
- (Unesp) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t - 3t², onde h é a altura atingida em metros.
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?
- Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente t, em graus Celsius, segundo a função N(t) = 0,1t² - 4t + 90. Com base nessas informações, calcule:
a) a temperatura em que o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo. b) O número mínimo de batimentos cardíacos por minuto. c) O número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia que está dormindo, quando a temperatura ambiente for de 30ºC.
Com 80 m de corda, um fazendeiro deseja cercar uma área retangular, para confinar alguns animais. Quais devem ser as medidas do retângulo, para que a área cercada seja a maior possível.
É dada uma folha de cartolina como na figura abaixo. Cortando a folha na linha pontilhada resultará um retângulo. Determinar esse retângulo sabendo que a área é máxima.
(ENEM 2015) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = - h² + 22h - 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como
A muito baixa. B baixa. C média. D alta. E muito alta.
- A figura abaixo mostra um retângulo de lados 7 cm e 8 cm no qual estão contidos os quadrados A, B e C. A medida x pode variar entre 3,5 cm e 7 cm, fazendo com que os lados dos três quadrados se alterem.
Dentro desse intervalo, qual o maior valor que a área do polígono P pode ter?
- (Fgv 2013) Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da passagem x, por meio de uma função polinomial do primeiro grau. Quando o preço da passagem é R$ 200,00, comparecem 120 passageiros e, para cada aumento de R$ 10, no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada voo?
a) R$ 220,00 b) R$ 230,00 c) R$ 240,00 d) R$ 250,00 e) R$ 260,
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
- Estude o sinal de cada função
a) f(x) = 2x² - 7x + 3
b) f(x) = -5x² + 7x – 2
c) f(x) = 4x² + 4x + 1
d) f(x) = -9x² + 24x – 16
e) f(x) = 10x² + 2x + 1
f) f(x) = -5x² + 6x – 2
g) f(x) = -5x² + 7x
h) f(x) = x² - 3
- Uma loja de departamentos compra cartuchos para uma determinada impressora jato de tinta
a R$ 28,00 a unidade e prevê que, se cada cartucho for vendido a x reais, serão vendidos 200
a) Encontre a fórmula que fornece o lucro mensal em função do preço de venda x de cada cartucho
b) Estabeleça matematicamente o intervalo dos valores de x para os quais existe efetivamente lucro
c) Para que o lucro seja máximo, qual deve ser o preço de venda x de cada cartucho?
d) Qual será o lucro máximo e quantos cartuchos serão vendidos mensalmente ao preço que maximiza esse lucro?
INEQUAÇÕES
- Resolva as inequações em R:
a) x²-3x+2> 0
b) -3x²-8x+3≤ 0
c) -x²+ 3 2 x+10≥
d) (1-4x²) (2x² +3x) > 0
e) 2 𝑥^3 − 6𝑥^2 + 𝑥 − 3 ≤ 0
f) 4𝑥^2 +𝑥− 2𝑥^2 −3𝑥−2 > 0
g) −9𝑥^2 +9𝑥− 3𝑥^2 +7𝑥+2 ≤ 0
h) 4 < 𝑥^2 − 12 ≤ 4𝑥
i) 4𝑥^2 − 5𝑥 + 4 < 3𝑥^2 − 6𝑥 + 6 < 𝑥^2 + 3𝑥 − 4
j) {
𝑥^2 + 𝑥 − 2 > 0
3𝑥 − 𝑥^2 < 0
k) 𝑥^4 − 10𝑥^2 + 9 ≤ 0
F, F, V, F
m > −1/
d
e
d
(1,3), (-2,0)
y = -7x² + 12x + 3
d
c
a
E
𝑦 = −1 25 𝑥² + 75 𝑥
40 metros
f(x) = 1 4 𝑥² − 4
d
a) 1 seg b) 1,125 m
a) 20º b) 50 c) 60
Quadrado de lado 20 cm
x = 4 e y = 3
D
d
d
18 cm²
d
a) 𝑓(𝑥) > 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 1 2 𝑜𝑢 𝑥 > 3 𝑓(𝑥) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 12 𝑜𝑢 𝑥 = 3
𝑓(𝑥) < 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎
1 2
< 𝑥 < 3
b) 𝑓(𝑥) > 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 25 < 𝑥 < 1 𝑓(𝑥) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 5 𝑜𝑢 𝑥 = 1 𝑓(𝑥) < 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 <
2 5 𝑜𝑢 𝑥 > 1
c) 𝑓(𝑥) > 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ (^12) 𝑓(𝑥) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1 2
d) 𝑓(𝑥) < 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ (^43)
𝑓(𝑥) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 4 3
e) 𝑓(𝑥) > 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ∈ 𝑅
f) 𝑓(𝑥) < 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ∈ 𝑅
g) 𝑓(𝑥) > 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑥 < 7 5 𝑓(𝑥) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = (^75)
𝑓(𝑥) < 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 >
7 5
h) 𝑓(𝑥) > 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −√3 𝑜𝑢 𝑥 > √ 𝑓(𝑥) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = − √3 𝑜𝑢 𝑥 = √ 𝑓(𝑥) < 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 − √3 < 𝑥 < √
x
y
- a) L(x) = -2x² + 256x -
b) 28 < 𝑥 < 100 c) R$ 64, d) R$ 2592,00; 72 cartuchos
- a) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 2}
b) {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 ≤ −3 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1 3 }
c) {𝑥 ∈ 𝑅| − 52 ≤ 𝑥 ≤ 4}
d) {𝑥 ∈ 𝑅| − 32 ≤ 𝑥 ≤ − 12 𝑜𝑢 0 < 𝑥 < 12 }
e) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≤ 3}
f) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < − 54 𝑜𝑢 − 12 < 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 2}
g) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < −2 𝑜𝑢 − 13 ≤ 𝑥 ≤ 13 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 2 3 }
h) {𝑥 ∈ 𝑅| 4 < 𝑥 ≤ 6}
i) ∅
j) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > 3 }
k) {𝑥 ∈ 𝑅| − 3 ≤ 𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 1 ≤ 𝑥 ≤ 3}
