Lista de Exercícios Sobre Sequências e Séries
1. Mostre que {xn= cos(πn)}nao tem limite.
2. Enuncie e demonstre o Teorema de Sanduiche para sequências.
3. Mostre que as seqüencias {n
√n}e{n
√a}com a > 0convergem para 1.
4. Mostre que lim
n→∞
n
√n! = ∞
5. Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite
caso exista:
a) an=n2
n+2 , b) xn= (−1)n+1en, c) b=n√n
n!o, d) yn=(−1)n
(2n)! , e) cn=en+n2
e2n−2n, f) tn=sen(2n+1)+n
2n+1
6. Seja a seqüência definida pela recorrência (x0= 1
xn+1 =x2
n+3
2xn
.Sabendo que ele converge para valor po-
sitivo, encontre o seu limite.
7. Verifique a convergência das seguintes séries
(a) P(−1)n(n+1)
n, (b) ∞
X
n=1
1
√n, (c) P2n+1
nn, (d) ∞
X
k=2
cos(nπ)
n2, (e) P2+cos n
n, (f)P1+(−1)n
42n, (g) Pcos n
√n3,
(h)P2n
n!, (i) ∞
X
n=5
(−1)nn+1
n2, (j) Pn!
nn
8. Podemos aplicar o teste da razão no ítem (f) da questão acima? Justifique.
9. Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral.
(a)P1
n2, (b)P(2n)n, (c) ∞
X
k=0
n+1
n!, (d) P(−1)nn
(2n)n
10. Obtenha o valor, usando séries geométricas:
(a) ∞
X
n=3
π1
22n−7, (b) 2.5 31 31 . . .
11. Mostre que, se 0< a0≤a1≤a2≤a3≤ ·· · então a séries alternada ∞
X
n=0
(−1)naidiverge.
12. Mostre que a séries harmônica alternada ∞
X
n=1
(−1)n+1
nconverge e estime o valor com erro máximo de 0.2.
13. Encontre o centro e o raio de convergência das séries de potências
a) P(−1)n√nxnb) Xen
n!xnc) Xen
22n(x−√3)3n−5
14. Determine o intervalo de convergência
a) Pn!xnb) X1
n!xnc) Xn3
n+ 1(x−2)nd) Xln n
2n(x−√2)n
15. Encontre a série de potência de
(a) arctan(x2), sabendo que arctan0(x) = 1
1+x2.
(b) arcsenx, usando arcsen0x=1
√1−x2e a série binomial (1+x)k= 1+kx+k(k−1)
2! x2+k(k−1(k−2)
3! x3+·· ·
16. Mostre que (1 + x)k= 1 + kx +k(k−1)
2! x2+k(k−1(k−2)
3! x3+·· ·
17. Encontre a série de Maclaurin de f(x) = Rx
0e−t2dt.
18. Mostre que a função f(x) = senxpode ser representado como série de Taylor em torno de π
2para todo
x.
