IFCE – Campus Canindé – Licenciatura em Matemática
Lista de Exercícios – 1ª Etapa – Prof.: Diego Ponciano
Nome:_____________________________________________________
Equações Diofantinas
1. Determinar todas as soluções inteiras das seguintes equações diofantinas lineares:
a) 56x + 72y = 40 c) 17x + 54y = 8
b) 221x + 91y = 117 d) 13x – 7y = 21
c) 11x + 30y = 31 e) 44x + 66y = 11
2. Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas
lineares:
a) 5x – 11y = 29 c) 158x – 57y = 7
b) 32x + 55y = 771 d) 54x + 21y = 906
3. Determinar o menor inteiro positivo que dividido por 8 e por 15 deixa os restos 6 e 13,
respectivamente.
4. Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível
por 7 e o segundo seja divisível por 11.
5. Determinar as duas menores frações positivas que tenham 13 e 17 para denominadores e
cuja soma seja igual a 305/221.
6. Demonstrar que, se a e b são primos entre si, então a equação diofantina ax + by = c tem um
número infinito de soluções inteiras e positivas.
7. Encontre a solução geral da equação 100x + 72y + 90z = 6.
8. Encontre uma generalização das soluções para a equação x y z
2 2 2
+ = .
9. Mostre que a equação 3 2
2 2 2
x y z+ = não possui soluções inteiras não nulas.
10. Mostre que a equação x y
2 2
2 1− = possui uma infinidade de soluções inteiras.
Recorrência e Números de Fibonacci
11. Mostre que o termo geral da sequência de Fibonacci é dado por
1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n
F
+ −
= −
.
12. Mostrar que se
m n
, então
m n
F F
, onde
n
F
é o n-ésimo número da sequência de
Fibonacci.
13. Mostrar que se
m nq r
= +
, então
(
)
(
)
, ,
m n n r
mdc F F mdc F F
=.
14. Mostrar que
(
)
( )
,
,
m n
m n
mdc F F
mdc F F F=.
15. Mostre que na sequência de Fibonacci vale a identidade
1 1
m n m n m n
F F F F F
+ − +
= ⋅ + ⋅
.
