IFCE – Campus Canindé – Licenciatura em Matemática
Lista de Exercícios – 1ª Etapa – Prof.: Diego Ponciano
Nome:_____________________________________________________
Funções Aritméticas
1. Calcular
τ
(42),
τ
(240),
τ
(420) e
τ
(10115).
2. Encontre o menor inteiro positivo com seis divisores positivos.
3. Encontre o menor inteiro positivo n tal que
τ
(n) = 8.
4. Sendo p e q primos, calcule
σ
(
p
q),
σ
(
3
p
) e
σ
(
2
p
q).
5. Calcular
σ
(240),
σ
(420) e
σ
(1008).
6. Verifique que
σ
(n) =
σ
(n + 1) para n = 957.
7. Verifique que
σ
(8)
σ
(3) =
σ
(24).
8. Encontre os inteiros positivos menores que 10000 e com 60 divisores positivos.
9. Demonstre que n ≤
σ
(n) ≤ n
2
.
10. Mostre que, se f(n) e g(n) são funções aritméticas multiplicativas, então a função aritmética
h(n) = f(n)g(n) também é multiplicativa.
11. Sendo
µ
a função de Möbius, demonstre que
( )
3
0
0
i
n i
µ
=
+ =
∏, para todo n ≥ 1.
12. Resolva as equações abaixo:
a)
3 3
x x
+ = +
b)
3 3
x x
+ = +
c)
2
x x x
+ =
13. Mostre que
(
)
m
φ
é par se
2
m
>
.
14. Mostre que se f é multiplicativa, então f(1) = 1.
15. Mostrar que um inteiro
p
é primo se, e somente se,
( ) 1
p p
σ
= +
.
16. Encontrar o menor inteiro positivo
m
para o qual
(
)
6
m
σ
=
.
17. Encontrar o menor inteiro positivo
m
para o qual
(
)
6
m
φ
=
.
18. Mostre que
(
)
2
|
n
d n
d n
τ
=
∏
.
19. Mostrar que existem infinitos inteiros
m
para os quais
(
)
10 |
m
φ
. (Sugestão:
(
)
11 10
φ
=
).
20. Mostre que o inteiro
(
)
10 11
2 2 1
n
= −
não é um número perfeito.
