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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
MA71B – Geometria Analítica e Álgebra Linear
Prof a Ana Cristina Munaretto
Sexta Lista de Exercícios – Transformações Lineares
- Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
a) f : R 2 → R 2 tal que f(x, y) = (x + y, x − y)
b) f : R
2 → R tal que f(x, y) = xy
c) f : M 2 → R tal que f
([
a 11 a 12
a 21 a 22
])
= det
[
a 11 a 12
a 21 a 22
]
d) f : P 2 → P 3 tal que f(ax 2
e) f : R → R tal que f(x) = |x|
- Seja T : R
2 → R
2 uma transformação linear para a qual sabemos que T (1, 1) = (2, − 3 ) e T (0, 1) = (1, 2).
a) Determine T (3, − 2 ) b) Determine T (a, b)
- Seja T : V → W uma transformação linear. Prove que
a) N(T ) é um subespaço vetorial de V b) Im(T ) é subespaço vetorial de W
- Seja T : R
3 → R
3 uma transformação linear dada por T (x, y, z) = (z, x − y, −z).
a) Encontre uma base para o núcleo de T
b) Encontre uma base para a imagem de T
c) Descreva geometricamente o núcleo e a imagem de T
- Seja T : R 3 → R 2 a transformação linear tal que
T (e 1 ) = (1, 2), T (e 2 ) = (0, 1) e T (e 3 ) = (−1, 3)
sendo {e 1 , e 2 , e 3 } a base canônica de R 3 .
(a) Determine o N(T ) e uma de suas bases. T é injetora?
(b) Determine a Im(T ) e uma de suas bases. T é sobrejetora?
- Seja T : R n → R 5 uma transformação linear.
a) Se T é sobrejetiva e dim(N(T )) = 2, qual o valor de n?
b) Se T é sobrejetiva e injetiva, qual o valor de n?
- Para cada transformação linear abaixo, encontre a Matriz da Transformação Linear (em relação as bases canônicas):
a) T : R
2 → R tal que T (x, y) = x + y
b) T : R
2 → R
3 tal que T (x, y) = (y, x, x + y)
- Para cada transformações linear abaixo, verifique se T é invertível e calcule a inversa, T − 1 , se ela existe.
a) T : R → R definida por T (x, y, z) = (x + 2 y + z, y + 2 z, z)
b) T : R 3 → R 3 definida por T (a, b, c) = (a, − 2 a + b, − 2 a − 4 b + c)
c) T : R
3 → R
3 definida por T (a, b, c) = (a + b + c, a + 2 b, a + 2 c)
- Considere o operador linear T : R 3 → R 3 definido por
T (x, y, z) = (x + 2 y + 2 z, x + 2 y − z, −x + y + 4 z).
(a) Determinar o vetor u ∈ R
3 tal que T (u) = (−1, 8, − 11 ).
(b) Determinar o vetor v ∈ R
3 tal que T (v) = v.
- Sabendo que T : R
2 → R
3 é uma transformação linear e que
T (1, − 1 ) = (3, 2, − 2 ) e T (−1, 2) = (1, −1, 3),
determine T (x, y).
- Determinar a transformação linear T : P 2 → P 2 tal que T ( 1 ) = x, T (x) = 1 − x
2 e T (x
2 ) = x + 2 x
2 .
- Seja a transformação linear T : R
2 → R
3 tal que
T (−2, 3) = (−1, 0, 1) e T (1, − 2 ) = (0, −1, 0).
(a) Determine T (x, y).
(b) Determnine N(T ) e Im(T ).
(c) T é injetora? T é sobrejetora?
- Sabendo que a matriz de uma transformação linear T : R 2 → R 3 nas bases A = {(−1, 1), (1, 0)} do R 2 e B =
{(1, 1, − 1 ), (2, 1, 0), (3, 0, 1)} do R
3 é
[T ]
A B =
encontre a expressão de T (x, y) e a matriz [T ].
- Seja T : R
3 → R
2 tal que
[T ]
B 1 B 2
[
]
sendo B 1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} e B 2 = {(−1, 0), (0, − 1 )} bases do R
3 e do R
2 respectivamente.
(a) Encontre a expressão de T (x, y, z).
(b) Determine Im(T ) e uma base para esse subespaço do R
2 .
(c) Determine N(T ) e uma base para esse subespaço do R
3 .
(d) T é injetora? T é sobrejetora? Justifique.
- Considere o operador linear
T : R
2 → R
2
(x, y) 7 → (x + 2 y, x − y)
e as bases A = {(−1, 1), (1, 0)}, B = {(2, − 1 ), (−1, 1)} e C canônica. Determine [T ]A, [T ]B e [T ]C.
(a) T (x, y, z) = (− 2 y + z, −x + y)
(b) Im(T ) = R
2
(c) N(T ) = {(x, x, 2x)|x ∈ R}
(d) T é sobrejetora. T não é injetora.
0
[T ]A =
[
]
[T ]B =
[
]
[T ]C =
[
]
0
(a) [T ]
A B
[
]
(b) [T (v)]B =
[
]
0
(a) [S ◦ T ] =
(b) [T ◦ S] =
