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ESCOLA SECUNDÁRIA JOSINA MACHEL
FICHA SOBRE LÓGICA BIVALENTE 11ª CLASSE NEE
1. INFORMAÇÃO TEÓRICA
1.1.DESIGNAÇÃO
DEFINIÇÃO : Chama-se designação (ou nome) a toda expressão, com significado, que designa (ou nomeia) um ente.
Exemplos: Número, Marta, Biologia, caderno, carteira, etc.
1.2.PROPOSIÇÃO
DEFINIÇÃO: Chama-se proposição (ou frase) a toda expressão, com significado, que traduz um juízo a respeito de
qualquer ente.
Exemplos: Luís é aluno do 2º ciclo. O sol é uma estrela. A rosa é vermelha.
1.3.VALORES LÓGICOS
Na Lógica Bivalente, qualquer proposição é caracterizada por um e um só dos seguintes valores lógicos:
Verdadeiro (V ou 1)
Falso (F ou 0)
Assim, o conjunto Universo dos valores lógicos é L = {v, F} ou L = {1, 0}
1.4.DESIGNAÇÕES EQUIVALENTES
Duas designações dizem-se equivalentes, se e só se (SSE) designam o mesmo ente.
Exemplos : 1) 3x4 + 2 e 14 2) 3/4 e 6/8 3) 5 + 2 e 7
1.5.PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES
Duas proposições dizem-se equivalentes, se e só se (sse) têm o mesmo valor lógico.
Exemplos: 1) “A lua é um planeta” e “O sol é uma estrela” 2) 3 – 1 = 2 e 6 > 4
Nota: As proposições são equivalentes porque são verdadeiras em cada exemplo.
1.6.PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA BIVALENTE
Toda proposição satisfaz a dois princípios fundamentais:
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa, simultaneamente.
Princípio do terceiro excluído: uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.
1.7.OPERAÇÕES LÓGICAS
a) NEGAÇÃO (de uma proposição): é a operação que a cada proposição p faz corresponder a proposição não p (~p)
que é falsa, se p for verdadeira ou é verdadeira, se p for falsa.
Exemplo:1) P: ” Zavala é a capital provincial de Gaza.”
~ p : “ Zavala não é a capital provincial de Gaza.” Também podemos escrever
~ p : “ Não é verdade que Zavala é a capital provincial de Gaza.”
Obs.: Em bom Português escreve-se :
~ p : “ Não é verdade que Zavala seja a capital provincial de Gaza.”
- p: 3 4 7 ~ p : 3 4 7 3) p: 12 > – 4 ~ p : 12 4
TABELA DE VERDADE
P V F ou p 1 0
~ p F V ~ p 0 1
b) CONJUNÇÃO OU PRODUTO LÓGICO (de proposições): é a operação que a cada par de proposições p e q faz
corresponder a proposição p q que só é verdadeira se as proposições iniciais forem ambas verdadeiras.
Exemplo: p: “ A Berta é professora .” q: “O Marcelo é mecânico.”
p q : “ A Berta é professora e o Marcelo é mecânico.” Nota: símbolo “ ” lê-se: “e “
TABELA DE VERDADE
p q^ p^ q ou p q^ p^ q
V V V 1 1 1
V F F 1 0 0
F V F 0 1 0
F F F 0 0 0
c) DISJUNÇÃO OU SOMA LÓGICA (de proposições): é a operação que a cada par de proposições p e q faz corresponder
a proposição p q que só é falsa se as proposições iniciais forem ambas falsas.
Exemplo: p: “ A rosa é vermelha.” q: “A rosa tem cheiro agradável.”
p q : “ A rosa é vermelha ou a rosa tem um cheiro agradável.” Nota: símbolo “ ” lê-se: “ou “
OBS.: Neste caso, se uma das proposições for verdadeira, então a proposição p q é verdadeira. Assim, o conectivo
“ou” tem aqui um sentido inclusivo, por isso também é chamada de “disjunção inclusiva.”
TABELA DE VERDADE
p q^ p^ q ou p q^ p^ q
V V V 1 1 1
V F V 1 0 1
F V V 0 1 1
F F F 0 0 0
d) DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (de proposições): é a operação que a cada par de proposições p e q faz corresponder a
proposição p q
que só é verdadeira se uma das proposições iniciais for verdadeira e outra falsa.
Exemplo: p: “ Vou à biblioteca.” q: “Fico em casa.”
p q
: “ Vou à biblioteca ou fico em casa.” Nota: símbolo “
” tem sentido exclusivo.
OBS.: O conectivo “ou” tem aqui um sentido exclusivo, pois p e q não se realizam simultaneamente, por isso também
é chamada de “disjunção exclusiva.”
TABELA DE VERDADE
p q p q
ou p q p q
V V F 1 1 0
V F V 1 0 1
F V V 0 1 1
F F F 0 0 0
e) IMPLICAÇÃO MATERIAL (de proposições): é a operação que a cada par de proposições p e q faz corresponder a
proposição p q que só é falsa quando a proposição p for verdadeira e q falsa.
Exemplo: p: “ A televisão funciona.” q: “Há electricidade.”
Lei de conversão p q (~ q ~ p )
EQUIVALÊNCIA p q p q q p
p q p q ~ p ~ q
OBS: p ~ p F é o princípio da não contradição e p ~ p V é o principio do terceiro excluído.
EXERCÍCIOS
1.De entre as expressões seguintes, indique as que são designações e as que são proposições e, neste último caso, diga
qual o valor lógico.
a) O sol é uma estrela b) 3 – 2 c) 3 – 2 = - 1 d) { 3, 2, 1} {2, 1} e) pasta f) 5 – 1 + 3
g)
2 3 2 6 6 2 8 4 4 2 2 4 h) Paris é capital da França i) 4 + 5 > 7 j) 0,
- Dadas as proposições:
P: Vou ao campo e q: Dou um passeio de automóvel
Traduza em linguagem corrente as proposições seguintes:
a) p ~ q b) ~ q p c) p q d) ~ p q e) ~ p q h) ~ p q i) p ~ q
Ex: h) ~ p q Significa que “ Não é verdade que vou ao campo e dou um passeio de automóvel.”
3.Considere as proposições seguintes:
P: António ouve música q: Maria estuda Matemática r: João pratica natação
Traduza em linguagem simbólica as seguintes proposições:
a)António ouve música e João pratica natação. Ex: p^ r
b) Maria não estuda Matemática ou António não ouve música.
c) Se João pratica natação então António ouve música.
d) Maria estuda Matemática se e só se João praticar natação
e) Maria estuda Matemática se e só se João não praticar natação.
f) Não é verdade que António ouve música se e só se João praticar natação.
g) Maria não estuda Matemática se e só se João não pratica natação.
4.Sabendo que o valor lógico de ~ a b V , determine o valor lógico de:
a) ~ a ^ ~ b a b) ~ b^ a ~ b c) b^ a d) a ^ ~ b `~ a e) a^ b b
f) a ~ b g) ~ a ~ b h) (~ a b ) b i) a ( ~ b ~ a ) j) a b ~ b
OBS: Para resolver o exercício 4, determine primeiro os valores lógicos das proposições elementares na condição
dada.
5.Indique o(s) valor(es) lógico(s) das proposições p e q para que:
a) p q F b) p q V e p q F c) ~ p q V e ~ p ~ q p V
OBS: A definição das operações é determinante para indicar os valores lógicos das proposições.
6.Dadas as proposições elementares,
P: 2
3 = 8 q: 15 > 3
2
Indique o valor lógico das proposições seguintes:
a) p ~ r b) p ~ q r c) ~ p ~ q r d) p q e) ~ p q f)~ p q r
g) ~(~ p ) ~ q r h) ~ p q q i) p ~ q ~ r j) ~ p r q l) p ~ q r
m) ~ p r q n) p ~ q r
OBS: Para resolver o exercício 6, determine primeiro os valores lógicos das proposições elementares p, q e r.
7.Usando tabelas de verdade, mostre que:
a) ( a^ ^ b )~ a b b) ^ a b b a ^ a^ b c) a ^ ~ b a a
d) ~ a b a é uma contradição, isto é para quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições elementares
e sempre falsa.
Nota: Uma proposição é uma tautologia, se para quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições elementares
e sempre verdadeira.
8.Construa a tabela de verdade para as proposições a seguir:
a) a b ~ a b) ~ ~ q p ~ p c) a b ~ a d) x ~ x ~ y e)~ p ~ p q
9.Negue as seguintes proposições e simplifique, quando possível:
a) p q b) p q c) ( p q ) r d) ~ p q e) ~ p ~ q f) ~ p p q
Ex: b) p q fica ~ p q ~ p ~ q 1ª lei de De Morgan
f) ~ p p q fica ~ ~ p p q ~ p ~ p q ~ p ~ p ~ q ~ p ~ q
- Negue cada uma das seguintes proposições:
a) 5 é número ímpar e divisor de 10.
OBS: P e Q Note que temos que negar uma conjunção. Teremos uma disjunção de negações. Assim, temos que
seguir a propriedade: ~ p q ~ p ~ q
Resposta: 5 não é número ímpar ou 5 não é divisor de 10.
b) 12 é um número par ou um múltiplo de 5.
c) 10 não é ímpar mas é múltiplo de 2.
11.Sem usar o símbolo de negação, negue cada uma das seguintes proposições:
a) 2 + 3 > 4 b) 2
2
2 = 13 c) 1 < 3 < 4 d) (2 3 = 6) (1 = 2) e) 2 + 5 (^3) 7
g) 10 > 8 5 > 4 h) 4 > 1 3 5 i) 3 + 4 9 j) 7 – 2 3
EXPRESSÕES PROPOSICIONAIS ( CONDIÇÕES)
2.INFORMAÇÃO TEÓRICA
2.1.Expressão Designatória
Definição: Chama-se expressão designatória a toda expressão com variáveis e que se transforma numa designação
quando se substituem as variáveis por valores do seu domínio.
Exemplo
- 3 x 1 , em N.
Se x = 1 temos 2 ; se x = 2 temos 5 ; se x = 3 temos 8. Assim, 2, 5 e 8 são designações resultantes.
2 x , em R tem por domínio o próprio conjunto dos números reais.
NOTA
Ao conjunto de valores que a variável pode assumir e para os quais a expressão tem significado, chama-se
domínio da variável.
Ex.: 1) a expressão designatória x 1 tem por domínio números reais maiores ou iguais a 1 ( x 1 ).
p(x): x é número natural e divisor de 4.
q(x): x é número natural e divisor de 12.
p ( x ) q ( x ) : x é número natural e divisor de 4 ou divisor de 12.
Designemos P = { 1, 2, 4} o conjunto verdade da condição p(x) e Q = { 1, 2, 3, 4, 6, 12} o conjunto verdade da condição
q(x).
Assim, o conjunto verdade da condição p ( x ) q ( x )é dado por P Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Assim pode-se dizer que:
A disjunção de uma condição p(x) com uma condição impossível é equivalente a p(x).
A disjunção de uma condição p(x) com uma condição universal é uma condição universal.
2.7.Conjução de Duas Condições
Definição: Chama-se conjunção de duas condições a operação que faz corresponder a cada par de condições p(x) e
q(x) a condição p ( x ) q ( x )que apenas é verificada pelos valores de x que satisfazem simultaneamente as duas
condições.
A conjunção de condições corresponde a intersecção dos respectivos conjuntos verdade.
Exemplo
p(x): x é número natural e divisor de 4.
q(x): x é número natural e divisor de 12.
p ( x ) q ( x ) : x é número natural, divisor de 4 e de 12.
Designemos P = { 1, 2, 4} o conjunto verdade da condição p(x) e Q = { 1, 2, 3, 4, 6, 12} o conjunto verdade da condição
q(x).
Assim, o conjunto verdade da condição p ( x ) q ( x )é dado por P Q = {1, 2, 4}
Nota:
1)Duas condições dizem-se incompatíveis quando a sua conjunção é uma condição impossível.
Ex.: p (^ x ): x ^3 e q (^ x ): x ^6 Resulta p (^ x )^ q ( x ): x ^3 x ^6 condição impossível
porque a intersecção entre os conjuntos verdade resulta num conjunto vazio.
Assim pode-se dizer que:
Conjuntos definidos por duas condições incompatíveis dizem-se disjuntos.
A conjunção de uma condição p(x) com uma condição impossível é uma condição impossível.
A conjunção de uma condição p(x) com uma condição universal é equivalente à condição p(x).
2.8.Negação de uma Condição
Definição: Chama-se negação de uma condição a operação que a cada condição p(x) faz corresponder a condição
~ p ( x ) que só e verificada pelos valores que não satisfazem p(x).
Exemplo
p(x): x 3 ( em R) ~ p ( x ) : x 3 ( em R)
Nota:
~ p ( x ) também é chamada condição contrária a p(x)
Duas condições contrárias são sempre incompatíveis, mas duas condições incompatíveis nem sempre são contrárias.
Ex: 1) As condições x 3 e x 5 são incompatíveis, mas não são contrárias.
- As condições x ^7 e x ^7 são condições contrárias.
Assim, pode-se dizer que:
A conjunção de duas condições contrárias é uma condição impossível.
A disjunção de duas condições contrárias é uma condição universal.
A contrária da condição universal é uma condição impossível.
A contrária da condição impossível é uma condição universal.
Obs.: Ao conjunto de valores de x que, num dado universo U, não verificam a condição p(x), chama-se conjunto
complementar P , associado a condição p(x).
EXERCÍCIOS
1.Considere, em R, as seguintes expressões:
2
d x e x f x g x
x c
x a x b x c
Indique as que são expressões designatórias e as que são condições.
2.Das condições seguintes:
(^2 )
x x x x x x
x x
a)Indique, em R, o conjunto verdade de cada uma delas.
b)Classifique-as em R, em N, e no universo A = { 2, 3, 4}.
c)Indique um par de condições contrárias e um par de condições incompatíveis, mas não contrária
3.Escreve a negação das condições seguintes, sem usar o símbolo de negação:
a) 2 1 0 2
2 x x b) 2 1 0 2
2 x x c)^3
2 x ^ x d)^3
2 x x
e) 2 0 0
2 2 x x f) 2 1 0 2 0
2 x x x g) 1 5
2 x x h) 2 1 0 3
2 x x
- Determine, recorrendo à complementação, o conjunto verdade de cada condição a seguir:
a) x 16 , em R
2 b) x 1 x 2 0 , em Z c) x 7 x 12 0 , emN
2
5.Determine o conjunto verdade, em R, em N, em Z para cada condição a seguir:
a)^90
2 x b) 0 x 5 0 , 5 c)^210
2 x ^ x d) 2 x 5 1
e) x ^5 ^3 x ^3
QUANTIFICADORES
Quantificadores são operadores que indicam a quantidade de elementos de um conjunto para os quais uma
propriedade é verdadeira. Eles definem, se a propriedade se aplica para todos os elementos do conjunto ou apenas
para alguns , sendo estes essenciais para determinar a abrangência de uma afirmação.
Existem dois tipos de quantificadores:
1. O quantificador universal ( ): utilizado para indicar que uma propriedade é verdadeira para todos os
elementos de um conjunto.
- O quantificador existencial ( ): utilizado para indicar que uma propriedade é verdadeira para pelo menos um
elemento de um conjunto.
Nota: Existe o quantificador existencial de unicidade ( ! ): indicando que existe um único elemento que satisfaz a
condição.
Simbolicamente escrevemos: x R :x é par (lê-se: existe pelo menos um x U , tal que x é par).
O quantificador existencial transforma condições possíveis, numa variável, em proposições verdadeiras.
Ex: 1) : 2 0
2 x Z x x Lê-se: existe pelo menos um número inteiro x tal que 2 0
2 x x .
2 x R x x Lê-se: existe pelo menos um número real x tal que 2 0
2 x x .
Os dois exemplos mostram a veracidade das proposições.
Observação: O quantificador existencial nunca pode ser escrito após a condição quantificada.
NOTA: A aplicação de um quantificador existencial a uma condição, numa variável representa uma operação lógica,
denominada quantificação existencial, que transforma essa condição numa proposição verdadeira ou falsa,
dependendo da condição ser possível ou impossível.
3. Quantificação Parcial e quantificação Total ou Múltipla
Os quantificadores também são aplicados a condições com duas ou mais variáveis, podendo assim obter-se uma
quantificação parcial ou quantificação total.
Consideremos os seguintes exemplos:
Ex: 1) x R: x y 0 ( Lê-se: Para todo número real x, x + y é nulo)
A expressão obtida não é uma proposição, porque o valor lógico depende de x. Sendo assim, a expressão obtida é uma
condição na variável y por esta não estar quantificada.
Y é variável livre por não estar quantificada e a variável x , que está quantificada é a variável muda ou variável
aparente.
Assim, no exemplo 1 temos quantificação parcial porque a condição x + y = 0 tem duas variáveis e só uma está
quantificada, havendo uma variável livre.
Ex: 2) x N , yN: x y 2 é o mesmo que escrever x, y N: x y 2
Lê-se: para quaisquer números naturais x e y a sua soma é sempre maior ou igual a 2. Proposição verdadeira.
Neste caso, as variáveis x e y da condição estão quantificadas, por isso, temos uma quantificação total ou quantificação
múltipla.
Nota: Pode-se usar quantificadores de forma combinada, por exemplo, x y (para todo x, existe um y) ou y x
( existe um y, que serve para todo x).
Note que a ordem dos quantificadores afecta o significado da frase.
4. OPERAÇÃO NEGAÇÃO APLICADA A EXPRESSÕES QUANTIFICADAS
A operação negação quando aplicada a expressões quantificadas, transforma o quantificador universal no quantificador
existencial e, vice-versa acompanhado da negação da condição. Veja o esquema a seguir:
~ x , p ( x ) x ,~ p ( x ) e ~ x , p ( x ) x , ~ p ( x )
Estas duas expressões são as segundas leis de De Morgan.
EXERCÍCIOS
- Traduza em linguagem quantificada:
a) Todos os números naturais são positivos. b) Algum número real y é negativo.
c) Existe um número natural superior a 5 e inferior a 7. d) Todo número inteiro admite 1 como divisor.
e) Todo número real é múltiplo de si próprio. f) existe um número real x tal que x + 3 =,- 1.
- Indique se a quantificação é total ou parcial e, neste caso, quais são as variáveis livres:
a) : 2 1
n (^) n N x é divisível por x + 1 b) x R , y R : x y 0
c) (^) n N : n x y d) , : 0
2 2 x y R x y e) , : 2
2 2 x y R x y
- Aplique as segundas leis de De Morgan em cada um dos casos:
a) ~ x 1 3 x 0 b) ~ x R , x 1 x 2 0 x 2 c)~ : 5
2 x R x
d)
~ x R : x 3 2 x 4
e)~ , : 0
2 2
x y R x y f)~ x R y R : x y 1
- Transforma a condição em R, x + y = 0, em proposição verdadeira, utilizando:
a) dois quantificadores iguais. b) dois quantificadores diferentes.
- Dadas as condições em R, 2 3 ; 0 ; 2 1 ; 2 5 0
2 2 2 2 x x y x x x .
a) Classifique – as. b) Indique o valor lógico de cada proposição a seguir:
- x R : x 2 3 2) , : 0
2 2 x y R x y 3) , 2 1
2 x R x x 4) , 2 5 0
2 x R x
- Quantifique convenientemente cada uma das condições de modo a obter proposições verdadeiras:
a) x y 3 b) 3 1 0
2 x x c) 2 5 0
2 x x d) x 0 e) x y f) 2 x 5 0
- Sem usar o símbolo de negação, negue as seguintes proposições:
a) x R , x 5 x 7 b) x R , x 3 x 7 c) x R : x 1 2 d) : 1 3 1
2 x R x x
e) x N x R f) 2 x 3 0 x Q g) 1 0 2
2 x x h) x R , y R : x y 0
