Manual de Soluções Matemática, Exercícios de Matematica para Economistas

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Manual de SoluÁıes - MÈtodos Matem·ticos em

Economia

Gil Riella

21 de junho de 2015

ii

iv SUM¡RIO

Pref·cio

Estas s„o as minhas soluÁıes para os exercÌcios encontrados nas minhas notas de aula da disciplina de MÈtodos Matem·ticos em CiÍncias Sociais, ministrada no programa de pÛs graduaÁ„o em economia da Universidade de BrasÌlia (UnB).

v

Parte I

An·lise Real

4 CAPÕTULO 1. ESPA«OS M…TRICOS

Logo, para todo y 2 Bd 1 (x; "=n); nÛs temos d 1 (x; y)  n (^) n" = ". Ou seja, Bd 1 (x; "=n)  Bd 1 (x; "). Observe agora que

d 2 (x; y) =

v u u t

Xn

i=

(xi yi)^2

vu u t Xn

i=

jxi yij

X^ n

i=

jxi yij

= d 1 (x; y):

Logo, para todo y 2 Bd 1 (x; "), nÛs temos y 2 Bd 2 (x; "). Ou seja, Bd 1 (x; ")  Bd 2 (x; "). Finalmente, note que

d 1 (x; y) = maxfjxi yij : i = 1; : : : ; ng

=

q (maxfjxi yij : i = 1; : : : ; ng)^2

v u u t

Xn

i=

(xi yi)^2

= d 2 (x; y):

Logo, para todo y 2 Bd 2 (x; "), nÛs temos y 2 Bd 1 (x; "). Ou seja, Bd 2 (x; ")  Bd 1 (x; "). Suponha agora que A seja um conjunto aberto em (Rn; di), em que i 2 f 1 ; 2 ; 1g. Fixe x 2 A e j 2 f 1 ; 2 ; 1g. Por hipÛtese, existe " > 0 tal que Bdi (x; ")  A. Pela observaÁ„o acima, isto implica que Bdj (x; "=n)  A. Como x foi escolhido arbitrariamente, nÛs concluÌmos que A È aberto em (Rn; dj ). 

ExercÌcio 1.2. Seja (xm) uma sequÍncia qualquer em R. Mostre que (xm) tem uma subsequÍncia monÛtona.1.

SoluÁ„o. Pra m 2 N, nÛs dizemos que xm^ È um ponto de pico se xm^  xk^ pra todo k  m. Suponha primeiro que a sequÍncia (xm) tenha um n˙mero inÖnito de pontos de pico. Neste caso, È claro que a subsequÍncia de (xmk^ ) formada pelos pontos de pico È n„o crescente. Se o n˙mero de pontos de pico for Önito, ent„o escolha m 1 2 N tal que, pra nenhum m  m 1 , xm seja um ponto de pico. Agora escolha m 2 > m 1 tal que xm^2 > xm^1. Por construÁ„o, xm^2 n„o È um ponto de pico e, consequentemente, existe m 3 > m 2 tal que xm^3 > xm^2. Procedendo indutivamente desta forma, nÛs obtemos uma subsequÍncia (xmk^ ) de (xm) que È estritamente crescente. 

ExercÌcio 1.3. Seja (xm) uma sequÍncia limitada em R.1.2^ Mostre que (xm) tem uma subsequÍncia convergente.

1.1 (^) Isto È, existe uma subsequÍncia (xmk (^) ) de (xm) tal que xmk+1 (^)  xmk (^) pra todo k 2 N ou xmk+1 (^)  xmk

pra todo k 2 N. 1.2 (^) Isto È, existem a; b 2 R tais que a  xm (^)  b pra todo m 2 N.

SoluÁ„o. Usando o exercÌcio anterior, pegue uma subsequÍncia (xmk^ ) de (xm) que seja monÛtona. Digamos que (xmk^ ) seja n„o decrescente. Como (xm) È limitada, obviamente (xmk^ ) tambÈm È limitada. Isto implica que x^ := supfxmk^ g est· bem deÖnido. Vamos agora mostrar que xmk^! x. Pela deÖniÁ„o de supfxmk^ g, pra qualquer " > 0 , existe xmk^ 2 fxmk^ g tal que x^ " < xmk^. Como (xmk^ ) È n„o decrescente, isto implica que para todo k  k^ nÛs temos xmk^2 (x^ "; x]  (x^ "; x^ + "). Como " foi escolhido arbitrariamente, isto mostra que xmk^! x. Um raciocÌnio an·logo pode ser aplicado quando (xmk^ ) for uma sequÍncia n„o crescente. 

ExercÌcio 1.4. Seja (xm) uma sequÍncia em Rn. Ent„o xm^! x se, e somente se, xmi! xi, 8 i = 1; 2 ; :::; n.

SoluÁ„o. Suponha primeiro que xm^! x 2 Rn. Ent„o, pra todo " > 0 existe M 2 N tal que kxm^ xk < ", pra todo m  M. Isto È,

p (xm 1 x 1 )^2 +


+ (xmn xn)^2 < ",

pra todo m  M. Ent„o, pra todo m  M e i 2 f 1 ; : : : ; ng,

jxmi xij 

p (xm 1 x 1 )^2 +


+ (xmn xn)^2 < ".

Ou seja, xmi! xi. Suponha agora que pra todo " > 0 existam M 1 ; : : : Mn tais que jxmi xij < p^ " n pra todo^ m^ ^ Mi. DeÖna^ M^ := maxfM^1 ; : : : Mng. Note que, pra todo^ m^ ^ M^ ,

kxm^ xk =

p (xm 1 x 1 )^2 +


+ (xmn xn)^2

<

r "^2 n

"^2

n = ":

Ou seja, xm^! x. 

ExercÌcio 1.5. Seja (M; d) um espaÁo mÈtrico e Öxe x 2 M. NÛs dizemos que N (x)  M È uma vizinhanÁa de x se existe  > 0 tal que B(x; )  N (x). Mostre que O  M È aberto se e somente se pra todo x 2 O existe uma vizinhanÁa N (x) de x tal que N (x)  O.

SoluÁ„o. Primeiramente, note que, pra todo x 2 M e todo  > 0 , B(x; )  B(x; ). Isto È, toda bola aberta de centro x È uma vizinhanÁa de x. Logo, por deÖniÁ„o, se O È aberto, ent„o pra todo x 2 O existe uma vizinhanÁa N (x) de x tal que N (x)  O. Suponha agora que O seja um conjunto tal que pra todo x 2 O exista uma vizinhanÁa N (x) de x tal que N (x)  O. Fixe x 2 O e pegue qualquer vizinhanÁa N (x) de x tal que N (x)  O. Pela deÖniÁ„o de vizinhanÁa, existe  > 0 tal que B(x; )  N (x)  O. Como x foi escolhido de forma arbitr·ria, isto mostra que para todo x 2 O existe  > 0 tal que B(x; )  O. Isto È, O È um conjunto aberto. 

ExercÌcio 1.6. Seja (M; d) um espaÁo mÈtrico e suponha que O  M È um conjunto aberto e F  M È um conjunto fechado. Mostre que

(a) O n F := fx 2 O : x = 2 F g È um conjunto aberto;

CapÌtulo 2

Conjuntos Compactos

ExercÌcio 2.1. Seja (M; d) um espaÁo mÈtrico. Mostre que se (xm) È uma sequÍncia tal que xm^! x 2 M , ent„o xmk^! x pra toda subsequÍncia (xmk^ ) de (xm).

SoluÁ„o. Suponha que (xm) seja uma sequÍncia tal que xm^! x 2 M e Öxe uma subsequÍncia (xmk^ ) de (xm). Fixe " > 0. Como xm^! x, existe N 2 N tal que d(xm; x) < " pra todo m  N. Seja K 2 N tal que mK  N. Observe que, pra todo k  K, nÛs temos mk  N e, consequentemente, d(xmk^ ; x) < ". ConcluÌmos que xmk^! x. 

ExercÌcio 2.2. Seja (M; d) um espaÁo mÈtrico. NÛs dizemos que uma coleÁ„o A de conjuntos tem a propriedade das interseÁıes Önitas se \B 6 = ; pra qualquer subcoleÁ„o Önita de A. Mostre que A  M È um conjunto compacto se e somente se pra toda coleÁ„o A de conjuntos tal que B  A e B È fechado em (A; d) pra todo B 2 A, e alÈm disto A tem a propriedade das interseÁıes Önitas nÛs temos \A 6 = ;.

SoluÁ„o. Suponha primeiro que A seja um conjunto compacto e que A seja uma coleÁ„o de conjuntos tal que B  A e B seja fechado em (A; d) pra todo B 2 A, e alÈm disto A tenha a propriedade das interseÁıes Önitas. Por um resultado que mostramos em sala, nÛs sabemos que, para cada B 2 A, existe um conjunto FB fechado em (M; d) tal que B = A \ FB. Suponha que \A = ;. Isto implica que A \ (\fFB : B 2 Ag) = \A = ;. Mas ent„o, fM n FB : B 2 Ag È uma cobertura aberta de A. Como A È compacto, existe uma subcoleÁ„o Önita B de A tal que A  [fM n FB : B 2 Bg. Mas isto implica que \B =A \ (\fFB : B 2 Bg) = ;, o que contradiz o fato de que A tem a propriedade das interseÁıes Önitas. NÛs concluÌmos que \A 6 = ;. Suponha agora que pra toda coleÁ„o A de conjuntos tal que B  A e B È fechado em (A; d) pra todo B 2 A e que alÈm disto A tenha a propriedade das interseÁıes Önitas nÛs tenhamos \A 6 = ;. Considere agora uma cobertura aberta, O, de A. Suponha que pra toda subcoleÁ„o Önita V  O nÛs tenhamos A n ([V) 6 = ;. DeÖna A := fA \ (M n O) : O 2 Og. Note que, por construÁ„o, todo B 2 A È fechado em (A; d). AlÈm disto, pra toda subcoleÁ„o Önita B de A nÛs temos uma subcoleÁ„o Önita V de O tal que B = fA \ (M n O) : O 2 Vg. Por hipÛtese, pra toda coleÁ„o B como acima nÛs temos \B = \fA \ (M n O) : O 2 Vg = A n ([V) 6 = ;. Isto È, A tem a propriedade das interseÁıes Önitas, o que implica que A n ([O) = \fA \ (M n O) : O 2 Og = \A 6 = ;. Como isto contradiz o fato de que O era uma cobertura aberta de A, nÛs concluÌmos existe uma subcoleÁ„o Önita V de O tal que A  [V. Como O foi escolhida arbitrariamente, isto implica que A È compacto. 

8 CAPÕTULO 2. CONJUNTOS COMPACTOS

ExercÌcio 2.3. Seja (M; d) um espaÁo mÈtrico e considere uma coleÁ„o A de conjuntos compactos em (M; d). Mostre que \A È um conjunto compacto.

SoluÁ„o. Considere uma cobertura aberta qualquer O de \A e Öxe um conjunto qualquer A 2 A. Como qualquer interseÁ„o de conjuntos fechados È um conjunto fechado e conjuntos compactos necessariamente s„o fechados, nÛs sabemos que \A È um conjunto fechado e, consequentemente, M n (\A) È um conjunto aberto. Mas ent„o, O [ fM n (\A)g È uma cobertura aberta de A. Como A È um conjunto compacto, nÛs sabemos que existe uma subcoleÁ„o Önita V de O tal que A  (M n (\A)) [ ([V). Agora Öca claro que \A  [V. Ou seja, V È uma subcobertura Önita de O que cobre \A. Como O foi escolhida arbitrariamente, isto mostra que \A È um conjunto compacto. … possÌvel tambÈm resolver o exercÌcio usando compacticidade sequencial. Considere uma sequÍncia qualquer (xm) tal que fxmg  \A e Öxe qualquer A 2 A. Como fxmg  A e A È compacto, nÛs sabemos que (xm) tem uma subsequÍncia convergente (xmk^ ). Como \A È um conjunto fechado, nÛs sabemos que lim xm^ 2 \A. Como (xm) foi escolhida arbitrariamente, isto mostra que \A È sequencialmente compacto e, consequentemente, È compacto. 

ExercÌcio 2.4. Seja (M; d) um espaÁo mÈtrico e seja (Am) uma sequÍncia de conjuntos compactos e n„o vazios em (M; d) tal que, pra todo m 2 N, Am+1^  Am. Mostre que ^1 m=1Am^6 = ;.

SoluÁ„o. Pra cada m 2 N, pegue xm^2 Am. Por construÁ„o, fxmg  A^1. Como A^1 È compacto, existe uma subsequÍncia (xmk^ ) de (xm) tal que xmk^! x 2 A^1. Agora, pra cada m^2 N, Öxe k^2 N tal que mk^  m. Note que fxmk^ g^1 k=k  Am 

. Como Am  È um conjunto fechado, isto implica que x 2 Am  . Como isto vale para todo m^2 N, nÛs concluÌmos que x 2 ^1 m=1Am. 

10 CAPÕTULO 3. CONTINUIDADE

x 2 Bg. Suponha agora que X e Y sejam dois espaÁos mÈtricos e que f : X! Y seja uma funÁ„o uniformemente contÌnua tal que f (X) = Y. Mostre que se X È totalmente limitado, ent„o Y tambÈm È totalmente limitado. DÍ um exemplo mostrando que isto n„o È necessariamente verdade quando f È apenas contÌnua.

SoluÁ„o. Fixe " > 0. Como f È uniformemente contÌnua, existe  > 0 tal que, pra todo x 2 X, f (BX (x; ))  BY (f (x); "). Como X È totalmente limitado, existe A  X, A Önito, tal que X = [fBX (x; ) : x 2 Ag. Isto agora implica que f (X) = [ff (BX (x; )) : x 2 Ag. Como, pra todo x 2 A, f (BX (x; ))  BY (f (x); "), nÛs vemos que Y = f (X) = [fBY (f (x); ") : x 2 Ag. Isto mostra que Y È totalmente limitado. Como exemplo, use a funÁ„o f (x) := 1=x em (0; 1). O intervalo (0; 1) È um conjunto totalmente limitado (VocÍ consegue demonstrar isto?), mas f ((0; 1)) = [1; 1 ) que n„o È totalmente limitado (Novamente, vocÍ consegue demonstrar isto?). 

CapÌtulo 4

CorrespondÍncias

ExercÌcio 4.1. Mostre que B : Rn+++1  Rn + deÖnida por

B(p; l) := fx 2 Rn + : p
x  lg

È HCI usando diretamente a deÖniÁ„o original de hemicontinuidade inferior.

SoluÁ„o. Fixe (p; l) 2 Rn+++1 e seja I um subconjunto aberto de Rn^ tal que I \ B(p; l) 6 = ;. Pegue x 2 I \ B(p; l) e note que, como I È aberto, existe  2 (0; 1) tal que x 2 I. Note ainda que, como l > 0 , necessariamente nÛs temos p
(x) < l. Isto agora implica que existe  > 0 tal que p:^(x) < ^l pra todo (^p; ^l) 2 BRn+++1 ((p; l); ) (DemonstraÁ„o?). Ou seja, pra

todo (^p; ^l) 2 BRn+++1 ((p; l); ) nÛs temos x 2 I \ B(^p; ^l) e, consequentemente, B È HCI em

(p; l). 

ExercÌcio 4.2. Sejam X e Y espaÁos mÈtricos e : X  Y uma correspondÍncia. Mostre que se È hemicontÌnua superior em x 2 X e (x) È um conjunto fechado, ent„o È fechada em x. Dica: pegue sequÍncias convergentes (xm) e (ym) com xm^! x e ym^2 (xm) pra todo m 2 N. Repetindo o raciocÌnio usado na segunda parte da demonstraÁ„o da caracterizaÁ„o de hemicontinuidade superior usando sequÍncias È possÌvel construir uma subsequÍncia (ymk^ ) de (ym) e uma sequÍncia (^ymk^ ) tal que fy^mk^ g  (x) e, pra todo k 2 N, dY (ymk^ ; y^mk^ ) < 1 =k. Complete a demonstraÁ„o observando que lim ymk^ = lim ^ymk^ e usando o fato de que (x) È um conjunto fechado.

SoluÁ„o. Suponha que seja hemicontÌnua superior em x e que (x) seja um conjunto fechado. Considere sequÍncias convergentes (xm) e (ym) tais que ym^2 (xm) pra todo m 2 N. DeÖna x := lim xm^ e y := lim ym. Pra cada k 2 N, Ok := U fBY (^y; 1 =k) : ^y 2 (x)g È um conjunto aberto tal que (x)  Ok. Isto implica que, pra cada k 2 N, existe k > 0 tal que (BX (x; k))  Ok. Como ym^! y, nÛs podemos usar um argumento indutivo para construir uma subsequÍncia (ymk^ ) de (ym) tal que ymk^2 Ok pra todo k 2 N.4.1^ Isto implica que, pra todo k 2 N, existe y^k^2 (x) tal que ymk^2 BY (^yk; 1 =k). NÛs podemos

4.1 (^) Comece com k = 1. Como ym (^)! y, eventualmente nÛs teremos ym (^2) O 1. Escolha, ent„o, m 1 2 N tal que ym^1 2 O 1. Novamente, como ym^! x, eventualmente, nÛs teremos ym^2 O 2. Isto nos permite encontrar m 2 > m 1 tal que ym^2 2 O 2. Procedendo indutivamente desta forma, nÛs obtemos uma subsequÍncia de (ym) com as propriedades desejadas.

(a) : R  R deÖnida por (x) := fy 2 R : x^2  y  x^2 g;

(b) : R  R deÖnida por (x) := fy 2 Z : y < xg;4.

(c) : R  R deÖnida por (x) := fy 2 Z : y  xg;

(d) : R  R deÖnida por (x) := Q se x 2 R n Q e (x) := R n Q se x 2 Q.4.3^ Dica: vocÍ precisar· usar os fatos de que tanto o conjunto dos n˙meros racionais quanto o conjunto dos n˙meros irracionais s„o densos em R. Isto È, qualquer subconjunto aberto e n„o vazio de R inclui n˙meros racionais e n˙meros irracionais.

SoluÁ„o.

(a) A correspondÍncia È hemicontÌnua superior e inferior. Para ver que È hemicontÌnua superior, Öxe x 2 R e suponha que O È um conjunto aberto em R tal que [x^2 ; x^2 ]  O. Como O È um conjunto aberto, existe " > 0 tal que (x^2 "; x^2 + ")  O. Se x = 0, ent„o deÖna  :=

p ". … claro que sempre que jy xj <  nÛs temos (y^2 ; y^2 )  (x^2 "; x^2 + ")  O. Se x 6 = 0, ent„o deÖna  := minf (^) j 3 "xj ; jxjg. Fixe y tal que jy xj < . Note que a deÖniÁ„o de  implica que xy > 0 e jyj < 2 jxj. Se jyj < jxj, ent„o [y^2 ; y^2 ]  [x^2 ; x^2 ]  O. Suponha, ent„o, que jyj > jxj. Se y > x > 0 , ent„o

y^2 x^2 = (y x)(y + x) <

3 x

3 x = ";

o que implica que [y^2 ; y^2 ]  [x^2 "; x^2 + "]  O. Se y < x < 0 , ent„o

y^2 x^2 = (x y)(y x) <

3 x

( 3 x) = ";

o que novamente implica que [y^2 ; y^2 ]  [x^2 "; x^2 + "]  O. Isto mostra que È hemicontÌnua superior em x.

Agora Öxe x 2 R e suponha que O seja um conjunto aberto em R tal que [x^2 ; x^2 ]
O 6 = ;. Se x = 0, ent„o pra qualquer y 2 R nÛs temos [x^2 ; x^2 ]  [y^2 ; y^2 ] e, consequentemente, pra qualquer  > 0 nÛs temos (y) \ O 6 = ; pra todo y 2 BX (x; ). Suponha, ent„o, que x 6 = 0. Neste caso, sabemos que existe y 2 (x^2 ; x^2 ) \ O. DeÖna  := jxj

p jyj. Note que se z 2 Bx(x; ), ent„o necessariamente jzj >

p jyj, o que implica que y 2 (z^2 ; z^2 ) e, consequentemente, (z) \ O 6 = ;. NÛs concluÌmos que È hemicontÌnua inferior em x. 4.2 (^) NotaÁ„o. O sÌmbolo Z representa o conjunto dos n˙meros inteiros. 4.3 (^) NotaÁ„o. O sÌmbolo Q representa o conjunto dos n˙meros racionais. Consequentemente, RnQ representa

o conjunto dos n˙meros irracionais.

14 CAPÕTULO 4. CORRESPOND NCIAS

(b) A correspondÍncia n„o È hemicontÌnua superior, mas È hemicontÌnua inferior. Para ver que n„o È hemicontÌnua superior em zero, por exemplo, note que (0)  (1; 0), no entanto, qualquer que seja  > 0 , = 2 2 BR(0; ) e 0 2 (=2) n (1; 0).4. Para ver que È hemicontÌnua inferior, Öxe x 2 R e suponha que O seja um conjunto aberto tal que (x) \ O 6 = ;. Seja z o maior n˙mero inteiro tal que z < x e deÖna  := x z. Note que, pra todo y 2 B(x; ), (y) = (x) se x  y e (x)  (y) se y > x. Os dois casos imediatamente implicam que (y) \ O 6 = ;.

(c) Agora È hemicontÌnua superior, mas n„o È hemicontÌnua inferior. Para ver que È hemicontÌnua superior, Öxe x 2 R e suponha que O È um conjunto aberto tal que (x)  O. Seja z o menor n˙mero inteiro tal que z > x e deÖna  := z x. Note que, pra todo y 2 B(x; ), (y) = (x) se y  x e (y)  (x) se y < x. Os dois casos imediatamente implicam que (y)  O. Vamos agora mostrar que n„o È hemicontÌnua inferior em zero, por exemplo. Note que (0) \ ( 1 = 2 ; 1 ) = f 0 g 6 = ;. No entanto, para qualquer  > 0 , = 2 2 B(0; ) e (=2) \ ( 1 = 2 ; 1 ) = ;. Isto mostra que n„o È hemicontÌnua inferior em zero.4.

(d) A correspondÍncia n„o È hemicontÌnua superior em ponto algum e È hemicontÌnua inferior em todos os pontos. Para ver que n„o È hemicontÌnua superior, Öxe um ponto x 2 R. DeÖna O := R n fxg. Note que O È um conjunto aberto tal que (x)  O. No entanto, pra todo  > 0 , existe y 2 BR(x; ) tal que x 2 (y), o que mostra que n„o È hemicontÌnua superior em x. Para ver que È hemicontÌnua inferior em todos os pontos, Öxe x 2 R e suponha que O È um conjunto aberto tal que (x) \ O 6 = ;. Como Q e R n Q s„o densos em R, para qualquer y 2 R nÛs temos (y) \ O 6 = ;. Isto mostra que È hemicontÌnua inferior em x. 

4.4 (^) Na verdade, È f·cil ver que n„o È hemicontÌnua superior em x para todo x 2 Z. Para x = 2 Z, È

hemicontÌnua superior. 4.5 (^) Na verdade, È f·cil ver que n„o È hemicontÌnua inferior em x sempre que x 2 Z.