Determinantes de Matrizes: Conceitos, Cálculo e Propriedades, Resumos de Engenharia Física

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• Prof.: Joni Fusinato
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Determinante de uma Matriz

Determinantes

• No Ocidente, a teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas de equações lineares.
• O determinante é um número associado a uma matriz quadrada, obtido por meio de operações entre os elementos da matriz. det(A) = 2 det A = 1. 5. 3 + 3. 1. 2 + 0. 2. 1 – 0. 5. 2 – 1. 1. 1 – 3. 2.

Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.

Atividades

B

7 2 3 5 A       

C

3 4 5 9 D          Gabarito: det(A) = 29; det (B) = 2; det(C) = 10; det(D) = -

Cálculo do Determinante

Determinante da matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 SDP = ( a 11 a 22 a 33 +^ a 21 a 32 a 13 +^ a 31 a 12 a 23 ) SDS = ( a 13 a 22 a 31 +^ a 23 a 32 a 11 +^ a 33 a 12 a 21 ) det A = SDP – SDS a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 ou SPD: Soma da Diagonal Principal SDS: Soma da Diagonal Secundária

Cálculo do Determinante usando a Regra de Sarrus

• 1 5 8 =
• 2 6 2 =
• 3 2 5 =
• 2 5 3 =
• 5 6 1 =
• 2 2 8 =
  • 40 + 24 + 30 =
  • 30 + 30 + 32 =
    • Det A = 94 - Det A = DP - DS
    • Det A =

Atividades

det 2 7 8

A 

det 7 8 2

B 

det 1 6 7

C 

Calcular o determinante das matrizes dadas: Gabarito detA = - detB = 136 detC = 6

2ª) Se uma matriz possui duas linhas ou colunas iguais ou múltiplas uma da outra, o determinante é nulo.

• A matriz A apresenta duas linhas iguais. Vamos calcular seu determinante: Det A = A 11 ·A 12 – A 11 ·A 12 Det A = 0
• A segunda coluna da matriz B é múltipla da primeira coluna. Calcularemos seu determinante: Det B = B 11 ·nB 21 – B 21 ·nB 11 Det B = n(B 11 ·B 21 – B 21 ·B 11 ) Det B = n· Det B = 0 0 8 0 8 5 4 5 2 3 2   0 4 0 5 6 2 4 3 1 2    

3ª) O determinante de uma matriz será sempre igual ao determinante de sua transposta. Vamos calcular o determinante das duas matrizes: Det A = A 11 ·A 22 – A 21 ·A 12 Det A t = A 11 ·A 22

• A 12 ·A 21 Det A = Det A t

5ª) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. 2 7 8 9 1 0 5 0 0  = 5 .1 .8 = 40 6 28 22 7 2 3 4     28 6 22 3 4 7 2   

M =

M’ =

7ª ) Se todos os elementos de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados por um mesmo número real k, o determinante da matriz assim obtida fica multiplicado por k. Multiplicando a 2ª coluna de A por (-3), temos: Consequência: Seja uma matriz A, de ordem n, e k um número real, temos: det (k. A) = k n

. det A 1 1 5 0 3 4 1 9 2   1 1 0 3 1 9   = 15 – 36 + 0 + 6 + 4 - 0 = - 1 3 5 0 9 4 1 27 2    1 3 0 9 1 27    = -45 + 108 + 0 – 18 – 12 + 0 = 33

9ª) Teorema de Jacobi: Multiplicando-se uma fila de uma matriz A por um número real não-nulo e adicionando-se o resultado à outra fila, o seu determinante fica inalterado. 4 1 6 4 2 7 1 3 5 

4 11 6 4 10 7 1 0 5     Multiplicamos a 1ª coluna por -3 e somamos com a 2ª coluna. O determinante permanece o mesmo.

detM’ = detM

Cofator de uma matriz

• Cofator é pré-requisito para o estudo do teorema de Laplace, utilizado para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem n  2.
• Chama-se cofator de um elemento a ij de A ao número real: A ij = (- )i + j . D ij em que A ij é o cofator do elemento a ij da matriz A, enquanto que D ij será o determinante obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o elemento a ij .

• Determine os cofatores dos elementos a 11 , a 22 , a 33 da matriz A.

Exemplo

O cofator do elemento a 22 será determinado por: A 22 = (-1) 2+ .D 22

• Determine os cofatores dos elementos a 11 , a 22 , a 33 da matriz A.

Exemplo

O cofator do elemento a 33 será determinado por: A 33 = (-1) 3+ .D 33