Números Complexos: Conceitos e Cálculos, Notas de estudo de Química Industrial

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Atividade No.

Aula 6

Tópico: Números complexos.

“Cálculo” Volumen 2 James Stewart

Apêndice H pág. A

Resumo

• (^) Números complexos.
• (^) Operações com números complexos: soma, diferença, produto,

divisão

• (^) Forma polar, potência, raiz enésima.
• (^) Exponenciais complexas. Objetivos
• (^) Definir os números complexos como extensão do conjunto dos números reais.
• (^) Representar números complexos como pontos do plano complexo e vice-versa.
• (^) Efetuar operações com números complexos.

• (^) Para construir o conjunto de números complexos, com o número i está

associado com o par ordenado (0,1) no plano bidimensional

• (^) Cada número complexo tem a forma a+ib , onde a e b são números reais.
• (^) Pode estabelecer uma correspondência de um para um entre o número

complexo e o sistema de coordenadas cartesiano real bidimensional.

• (^) Este conjunto é representado pelo símbolo
• (^) Para torná-lo mais fácil de trabalhar, nos referir a esse conjunto com

um C maiúsculo.

• (^) Podemos definir esse conjunto como segue

z = a + bi onde a é a parte real da z b é a parte imaginária de z

são denotadas a =Re(z) b =Im(z)

Números complexos forma binomica

Exemplo 1

Representam os números complexos z = a + bi em el Plano complexo

z 1 (^)  4  2 i z 2  2  3 i z 3  2  2 i z 4  3  2 i Im Re z (^) 2  2  3 i i

- i z (^) 4  3  2 i z (^) 3  2  2 i z 1 (^)  4  2 i Solução

Exemplo No.

O produto ou a multiplicação entre dois números complexos

z 1 = a + bi y z 2 = c + di é definido como se segue. z1. z 2 =(a + bi).(c + di) = a(c + di) + bi(c + di) = = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac – bd) + (ad + bc)i Multiplicação de números complexos Calcula-se o produto de números complexos z 1 e z 4 . Se z 1 = -4+2i z 4 =3-2i Solução z 1 z 4 = (-4+2i).( 3-2i) = -4.(3-2i)+2i.(3-2i)= =(-4).3+(-4).(-2i)+2i.3+2i.(-2i)= = -12 + 8i + 6i - 4 i 2 = -8+14i ( i 2 = -1 ) ( i 2 = -1 )

• (^) Para calcular a divisão de números complexos é preciso primeiro definir o

número complexo conjugado.

Número complexo conjugado z=a+bi é um número complexo, o seu conjugado é Interpretação geométrica Divisão de números complexos Im Re z  a  bi z  a  bi z  a  bi Exemplo No. Determine os números complexos conjugados de cada um dos seguintes números complexos: z 1 = -4+2i z 2 = 2 + 3i z 3 = -2-2i z 4 =3-2i Propriedades Solução

Forma polar de um número complexo

• (^) Seja z = a + bi , um número complexo é chamado de forma polar ou trigonométrica: z = r (cos  + i sen  ) onde r é o módulo do número complexo z y  é o argumento principal do número complexo z.

Forma polar de um número complexo Exemplo No. Mudar o número para a forma polar: z  1  i a = 1 y b = 1

2 2 2 2

r  z  a  b   

A forma polar de z 1 é 

1 2 cos

z isen

z = r (cos  + i sen  )

Im Re z  1  i 1 i  Solução

Calcular o Multiplicação e Divisão de z 1 e z 2 Exemplo No.

z 1  1  i z 2  3  i

Im Re z  3  i

- i          4 4 1 2 cos   z sen forma polar z 1 z  3  i a ^3 b ^1 2 forma polar z 2 produto de números complexos Divisão de números complexos

Potências de um número complexo Teorema de De Moivre : Seja e n for um inteiro positivo, então: Seja z = ¼ + ¼ i obter o z 12 Exemplo No. Solução a= ¼ b= ¼

Exemplo No. Calcular 4 de z=  8 e faça um gráfico dessas raízes no plano complexo z Im Re z  8

- i   

As raízes de z= -8 são:

Solução

A forma polar de z= 8(cos  + i sen  )

a= -8 b=0 (^8 )^8 2 r      arctan arctan 0   a b

Todas as raízes de z estão sobre o círculo de radio

no plano complexo

4 4 1 1 r  r  8 n Exemplo No. Solução Calcular 4 de z=  8 e faça um gráfico dessas raízes no plano complexo z 4