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APÊNDICE Números complexos Os números complexos foram inventados para permitir a extração das raízes quadradas de números negativos. Eles simplificam a solução de problemas que, caso contrário, se- riam bem difíceis. A equação xº + 8x + 41 = 0, por exemplo, não tem nenhuma solução em um sistema numérico que exclua números complexos. Esses números, e a capacidade de manipulá-los algebricamente, são muito úteis na análise de circuitos. B.1 Notação Há dois modos de representar um número complexo: a forma cartesiana, ou retangular, e a forma polar, ou trigono- métrica. Na forma retangular, um número complexo é escri- to em termos de seus componentes reais e imaginários; daí, n=a+jb, (8.1) onde a é o componente real, b é o componente imaginário ejé por definição, V=1.' Na forma polar, um número complexo é escrito em termos de seu módulo e ângulo de fase; daí, n=ceº (8.2) onde c é o módulo, 8 é o ângulo de fase, e é a base dos loga- ritmos naturais e, como antes, j = 4-1. Na literatura, o simbolo Z8º é frequentemente usado no lugar de 2º isto é, a forma polar é escrita n=c/8º. Embora a Equação B.3 seja mais conveniente em tex- tos impressos, « Equação B.2 é de importância primordial em operações matemáticas porque as regras para manipu- lar uma quantidade exponencial são bem conhecidas. Por exemplo, como (9")º= yº", então (e'?y! = e; como y* = 1/38, então ef = 1Je e assim por diante. Como há duas maneiras de expressar o mesmo núme- ro complexo, precisamos relacionar uma com a outra, À transformação da forma polar para a retangular se faz por meio da identidade de Euler: (8.3) ef =cos B+jsen B (84) Um número complexo expresso na forma polar pode ser transformado para à forma retangular escrevendo-se ce? =e(cos O + jsen 8) =ccosB+ jesen O (8.5) = +jb. A transformação da forma retangular pára a polar faz uso das propriedades do triângulo retângulo, ou seja, a+jb= (v + PJ =o8, (8.6) onde tg 0= bia. (89) Pela Equação B.7 não fica óbvio em qual quadrante o ângulo se encontra. A ambiguidade pode ser eliminada por uma representação gráfica do número complexo. B.2 Representação gráfica dos números complexos Um número complexo é representado graficamente no plano complexo, um plano-definido por um eixo horizontal que representa o componente real e um eixo vertical que re- presenta o componente imaginário do número complexo. O ângulo de fase do número complexo é medido em sentido anti-horário em relação ao eixo real positivo. A representação gráfica do número complexo n = a + jp = /0º, se ad- mitirmos que ae b sejam ambos positivos, é mostrada na Figura B.1, Essa representação deixa bem clara a relação entre as formas retangular e polar. Qualquer ponto no plano dos números complexos é exclusivamente definido deter! nando-se ou sua distância em relação a cada eixo (isto é a e b) ou sua distância radial em relação à origem (c) co ân- gulo dentre o eixo real e a reta que liga o ponto à origem. Da Figura B.l vemos que O está no primeiro quadrante quando a e b são ambos positivos, no segundo quadrante, quando a é negativo e b é positivo, no terceiro quadrante, quando à e & são ambos negativos, e no quarto quadrante, quando a é positivo e b é negativo, Essas obser- vações são ilustradas na Figura B.2, que mostra as represen- tações gráficas de 4+ 3, -4+]3,-4- ed; “Talvez você esteja mais familiarizado com a notação | = =. Como em engenharia elétrica, à é usado como simbolo para corrente, j Eusado pelos engenheiros eletricistas para representar 1. 
