Pêndulo Físico, Provas de Física

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Pr´atica 07: Pˆendulo F´ısico

Emanuel Pinheiro Fontelles

Data de realiza¸c˜ao da pr´atica: 11/06/

Sum´ario

• SUM ´ARIO
• 1 Introdu¸c˜ao Te´orica
• 2 Objetivos
• 3 Material
• 4 Procedimentos Realizados
  • 4.1 Gr´afico do per´ıodo versus distˆancia do ponto de sustenta¸c˜ao.
  • 4.2 Determina¸c˜ao do momento de in´ercia.
  • 4.3 Pˆendulo simples equivalente.
• 5 Question´ario
• 6 Conclus˜ao
• 7 Referˆencias Bibliogr´aficas

2 Objetivos 4

Centro de Oscila¸c˜ao

Se considerarmos um pˆendulo f´ısico suspenso por uma das extremidades, Figura 02, um pˆendulo simples de comprimento L 0 ser´a equivalente ao pˆendulo f´ısico se seus per´ıodos de oscila¸c˜oes forem iguais. O ponto P do pˆendulo f´ısico distˆante L 0 do ponto de suspens˜ao ´e chamado de centro de oscila¸c˜ao.

Figura 2: Pˆendulo f´ısico e pˆendulo simples equivalente.

O centro de oscila¸c˜ao tem uma propriedade interessante. Se, no plano de oscila¸c˜ao, uma for¸ca impulsiva atuar no centro de oscila¸c˜ao, nenhum efeito dessa for¸ca ´e sentido pela r´otula. Nesse sentido, o centro de oscila¸c˜ao ´e frequentemente chamado de centro de percus˜ao.

2 Objetivos

• Medir o per´ıodo de um pˆendulo f´ısico em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao do ponto de sustenta¸c˜ao.
• Determinar experimentalmente o momento de in´ercia de um pˆendulo f´ısico.
• Obter o pˆendulo simples equivalente.

3 Material

• Barra met´alica;
• Cronˆometro;
• Fita m´etrica;
• Balan¸ca digital;
• Base para suporte.

4 Procedimentos Realizados 5

4 Procedimentos Realizados

Os procedimentos realizados tiveram como objetivo estudar o momento de in´ercia medindo se o per´ıodo de oscila¸c˜ao T de um pˆendulo f´ısico, e conseguimos determinar

o momento de in´ercia do s´olido I = T^

(^2) mgh 4 π^2 , ap´os usamos o Centro de Oscila¸c˜ao para determinar um pˆendulo equivalente.

4.1 Gr´afico do per´ıodo versus distˆancia do ponto de sustenta¸c˜ao.

O pˆendulo que utilizamos consta de uma barra de ferro de 100 cm de comprimento, 1,5 cm de largura e 0,3 cm de espessura. Ao longo de uma linha m´edia longitudinal h´a uma s´erie de orif´ıcios dispostos simetricamente em rela¸c˜ao ao centro da barra. O ma- terial de que ´e feito o pˆendulo ´e praticamente homogˆeneo. Os orif´ıcios repetem-se com uniformidade e n˜ao comprometem a simetria da barra em rela¸c˜ao ao seu centro de massa.

1.1 Certificou-se que o orif´ıcio central coincidisse razoavelmente com o centro de massa, ap´os determinou-se a a massa da barra m = 336, 95 g.

1.2 Suspendeu-se a barra pelo orif´ıcio O 16 como indicado na Figura 03.

Figura 3: Pˆendulo f´ısico.

1.3 Mediu-se a distˆancia do ponto de sustenta¸c˜ao em rela¸c˜ao `a extremidade da barra. Anotou-se os dados na Tabela 1.

1.4 Deslocou-se o pˆendulo f´ısico de um ˆangulo de 5o^ e mediu-se o tempo equivalente a 10 per´ıodos. Anotou-se os dados na Tabela 1. Em muitos dos casos n˜ao foi poss´ıvel obter os 10 per´ıodos, no entanto, fizemos uma m´edia com os per´ıodos obtidos. 1.5 Repetiu-se os procedimentos descritos anteriormente para todos os orif´ıcos indica- dos na Tabela 1.

1.6 Construi-se o gr´afico dos Per´ıodos (T) em fun¸c˜ao das Distˆancias (d).

4.3 Pˆendulo simples equivalente. 7

2.1 Baseado nos resultados experimentais, e na Equa¸c˜ao 07, determinou-se o momento de in´ercia da haste quando suspensa pelos orif´ıcos de n´umeros: 16, 12 e 5. Anotou-se os dados obitidos na Tabela 2.

O momento de in´ercia de uma barra de massa m e comprimento L em rela¸c˜ao ao centro de massa ´e dado por:

I =

mL^2 (8)

para um ponto de suspens˜ao O, distando h do centro de massa, podemos determinar o momento de in´ercia da haste pelo Teorema dos Eixos Paralelos:

Ih = ICM + mh^2 (9)

onde o momento de in´ercia da haste ´e a soma do momento de in´ercia do centro de massa mais a massa vezes a distˆancia ao quadrado.

Orif´ıcio Momento de in´ercia (Equa¸c˜ao 7) Momento de in´ercia (Equa¸c˜ao 9) 16 0,010 kg.m^2 0,044 kgm^2 12 0,007 kg.m^2 0,044 kgm^2 5 0,003 kg.m^2 0,012 kgm^2

Tabela 2: Resultados experimentais para os orif´ıcios 16, 12 e 5.

4.3 Pˆendulo simples equivalente.

Observando a Figura 5, onde temos o gr´afico de T versus d; tra¸cando-se uma paralela ao eixo das abscissas a mesma interceptar´a o gr´afico em dois pontos com o mesmo per´ıodo de oscila¸c˜ao. A distˆancia entre esses dois pontos constitui o comprimento do pˆendulo simples equivalente.

Figura 5: Gr´afico distˆancia versus per´ıodo, com retas paralelas.

4.3 Pˆendulo simples equivalente. 8

3.1 Tra¸cou-se no gr´afico T versus d, uma paralela ao eixo das abscissas e anotou-se na Tabela 3, as abscissas e o per´ıodo dos pontos de interse¸c˜ao.

3.2 Determinou-se a distˆancia entre os pontos, usando a equa¸c˜ao para a distˆancia entre dois pontos.

d =

√ (x 2 − x 1 )^2 + (y 2 − y 1 )^2 (10)

3.3 Construi-se um pˆendulo simples com o comprimento obtido e mediu-se o per´ıdo.

3.4 Repetiu-se o procedimento acima para uma outra paralela.

Abscissa dos pontos de interse¸c˜ao Pˆendulo Pˆendulo di (cm) dj (cm) Distˆancia f´ısico simples di + dj (cm) T(s) T(s) Paralela 1 65,0 98,5 33,5 1,62 11, Paralela 2 83,3 98,5 6,0 1,47 4,

5 Question´ario 10

3. Determine do gr´afico T versus o per´ıodo m´ınimo, Tmin e compare com o valor previsto teoricamente. R.: Do gr´afico T versus o per´ıodo m´ınimo, temos que o per´ıodo m´ınimo ´e T = 1, 47 s, o valor te´orico ´e dado por:

T = 2π

√√ √√^ √ 12 6

L

g

= 2π

√√ √√^ √ 12 6

= 13, 64 s.

4. Por que no PROCEDIMENTO 2, Equa¸c˜ao 6, foi exclu´ıda a hip´otese de o eixo de rota¸c˜ao passar pelo centro de massa? R.: O per´ıodo descrito pela Equa¸c˜ao 06, onde I ´e o momento de in´ercia do pˆendulo em rela¸c˜ao a um eixo que passa atrav´es de seu ponto de suspens˜ao, perpendicular ao seu plano de oscila¸c˜ao, pode desconsiderar o eixo de rota¸c˜ao que passe pelo centro de massa, pois estamos tratando de qualquer corpo r´ıgido de forma que possa oscilar em um plano vertical em rela¸c˜ao a algum eixo que passa por ele. Assim, o momento de in´ercia do corpo deve ser dado pelo Teorema dos Eixos Paralelos.

T = 2π

√ I mgh

e I = ICM + mh^2

5. Com rela¸c˜ao a quest˜ao anterior, como proceder para determinar o mo- mento de in´ercia em rela¸c˜ao a um eixo pelo centro de massa. R:. Como discutimos anteriormente podemos determinar o momento de in´ercia de qualquer corpo usando o Teorema dos Eixos Paralelos:

I = ICM + mh^2 =⇒ ICM = I − mh^2

Assim o momento de in´ercia de qualquer corpo ´e dado pela Equa¸c˜ao 00:

I =

T 2 mgh 4 π^2

=⇒ ICM =

T 2 mgh 4 π^2

− mh^2

6. Um pˆendulo f´ısico est´a suspenso por um eixo horizontal fixo `a parede de um elevador. Quando a cabine do elevador est´a parada, o pˆendulo tem per´ıodo T. Como o per´ıodo ´e afetado quando o elevador move-se: (a) Para cima com velocidade constante. R.: Nada ocorre, pois o pˆendulo estar´a sujeito apenas a a¸c˜ao gravitacional. (b) Para baixo com velocidade constante. R.: Nada ocorre, pois o pˆendulo estar´a sujeito apenas a a¸c˜ao gravitacional. (c) Para baixo, com acelera¸c˜ao constante para cima. R.: As acelera¸c˜oes s˜ao somadas (a+g), logo o per´ıodo diminui.

T = 2π

√ I m(g + a)h

(d) Para cima, com acelera¸c˜ao constante para cima. R.: As acelera¸c˜oes s˜ao subtraidas (a-g), logo o per´ıodo aumenta.

T = 2π

√ I m(a − g)h

5 Question´ario 11

(e) Para cima, com acelera¸c˜ao constante para baixo a<g. R.: As acelera¸c˜oes s˜ao subtraidas (a-g), logo o per´ıodo ´e positivo, no entanto au- menta.

T = 2π

√ I m(g − a)h

(f) Para baixo, com acelera¸c˜ao constante para baixo a<g. R.: As acelera¸c˜oes s˜ao subtraidas (a+g), logo o per´ıodo ´e positivo, no entanto diminui o per´ıodo.

T = 2π

√ I m(g + a)h

7 Referˆencias Bibliogr´aficas 13

7 Referˆencias Bibliogr´aficas

1. SEARS, W. Francis, ZEMANSKY, W. Mark, YOUNG, D. Hugh e FREEDMAN, A. Roger, F´ısica 1. 12a^ edi¸c˜ao - 2008. Pearson Addison Wesley. S˜ao Paulo.
2. ALONSO, Marcelo e FINN, Edward, F´ısica, um curso universit´ario - Volume 1 Mecˆanica. 10a^ reeimpress˜ao - 2002. Editora Edgard Blucher¨ Ltda.
3. KITTEL, Charles, KNIGHT, Walter D. e RUDERMAN, Malvin A. Mec´anica - Berkeley Physics Course - Volum´en 1. 2 a^ edi¸c˜ao - 1989. Editora Revert´e, S.A. Loreto, Espa˜na.
4. NUSSENZVEIG, H. Moys´es, Curso de F´ısica B´asica, Volume 1 Mecˆanica. 4a^ edi¸c˜ao
   • 2002. Editora Edgard Bl¨ucher Ltda.
5. HALLIDAY, David, RESNICK, Robert e KENNETH, Krane S., F´ısica 1. 5a^ edi¸c˜ao
   • 2003. LTC - Livros T´ecnicos e Cient´ıficos Editora. S.A. Rio de Janeiro.
6. DIAS, N. LOIOLA, F´ısica II, Roteiros de Pr´aticas - Para o Bacharelado em F´ısica. Universidade Federal do Cear´a. 2013.