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Pêndulo Físico
J. C. Filho, M. S. M. JuniorInstituto de Física - Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, 2121 - Santa Mônica – 38400-902 – Uberlândia – MG - Brasil e-mail: [email protected]
Resumo. Neste relatório da experiência do pêndulo físico, apresentam-se as medidas e análises sobre o movimento de um pêndulo físico, que no caso é uma barra metálica com furos, de formato retangular de massa m. Na execução experimental alterou-se a distância do ponto fixo de oscilação, com relação ao centro de massa, oscilando o cujo pêndulo com pequenos ângulos. Com os dados foi medido o período de oscilação, para cada furo possível, ficando em função da distância do centro de massa ao ponto fixo. Após a análise dos resultados, obteve-se que a aceleração da gravidade para oscilações pequenas é 9,778 ± 3,912·10 -2^ m/s 2 e o momento de inércia no centro de massa da barra metálica com furos é 0,00426 ± 0,00046 kgm 2.
Palavras chave: pêndulo físico, oscilações, aceleração da gravidade, momento de inércia, centro de massa.
1. Introdução O corrente relatório, referido a disciplina de laboratório de Física Geral 2 do curso de Física de materiais, sobre o tema Pêndulo Físico, apresenta os resultados obtidos de acordo com os experimentos realizados.
O Objetivo desse experimento é a determinação da gravidade local e do momento de inércia, do objeto metálico, no centro de massa, a partir de medidas do período de oscilação do pêndulo Físico. Durante a execução dos procedimentos é possível perceber a relação entre o período e a distância do centro de massa ao ponto fixo de oscilação, sendo que a massa do objeto se mantém, o que varia é o centro de massa.
Visto que a relação entre essas grandezas não é linear, tem-se que por meio de uma linearização dos dados medidos experimentalmente, obtém-se uma relação linear entre elas. As tabelas e os gráficos obtidos pelos dados colhidos serão apresentados no decorrer deste relatório, na seção dos procedimentos experimentais.
2. Teoria
Um pêndulo se define como um objeto qualquer com uma massa m, que oscila em torno de um eixo fixo ao redor de uma posição de equilíbrio, a uma distância do centro de massa, de comprimento L. Ao deslocar o objeto de massa m em uma posição ϴ, e deixá-lo entrar em movimento, o pêndulo começa a oscilar. O pêndulo em trabalho é conhecido com pêndulo físico.
A força que age para que ocorra o movimento, desprezando o atrito do ar e do furo com o pino fixo que dá apoio a oscilação, é a força peso. Ao oscilar o pêndulo ele executa um movimento harmônico, possuindo um período de oscilação T, que é o tempo necessário que a massa levar para sair de um ponto e voltar ao mesmo ponto percorrendo a mesma distância. A figura 1 representa um pêndulo físico.
Analisando a figura 1, é possível compreender que L é a distância entre o centro de massa ao ponto fixo de oscilação, e que as componentes da força peso são dadas de acordo com os eixos delimitados, por:
(1)
(2)
O torque necessário para fazer o objeto girar é:
(3)
Pela segunda lei de Newton, tem-se para um movimento circular que o torque resultante é:
(4)
Ao igualar as expressões (3) e (4), tem que para um movimento onde é suficientemente pequeno, a aproximação. Com isso obtém-se:
(5)
Com a solução do movimento harmônico simples, conclui que a frequência de oscilação é:
(6)
Como , tem-se:
(7)
Onde I é o momento de inércia do pêndulo. No ponto O, ponto de apoio para ocorrer a oscilação, o momento de inércia é uma função da distância L. Pelo teorema dos eixos paralelos pode-se afirmar que:
(8)
Substituindo a equação (8) na expressão (7), obtém-se o período com função da distância L:
(9)
3. Procedimento Experimental A figura 2 demonstra o aparato experimental. O pêndulo físico do experimento é uma barra de metal, com onze furos, sendo o do centro, o ponto equivalente a seu centro de massa. Foi usado uma trena para medir a distância L, um cronômetro para calcular os períodos de oscilações e uma balança digital.
Figura SEQ Figura * ARABIC 1: Pêndulo físico. Fonte: Halliday- Resnick-Walker, 2009. Pg.97.
assoc iados . Esses dados serão usados para desenhar o gráfico T vs L e averiguar a relação entre essas grandezas. De acordo com a tabela 3, é possível averiguar que conforme aumenta a distância do centro de massa ao furo em que deseja medir a oscilação, o período diminui até certo valor, o qual tende a voltar crescer após ele. Pode-se concluir que, de acordo com os dados da tabela (3), T é proporcional a L, de maneira que essa função tem um mínimo de oscilação.
Tabela SEQ Tabela * ARABIC 3: Valores da média dos períodos de oscilações, associados às distâncias , e seus respectivos erros associados. L (m) (m) (s) (s) 0,274 0,0005 1,208 0, 0,200 0,0005 1,148 0, 0,174 0,0005 1,115 0, 0,123 0,0005 1,151 0, 0,074 0,0005 1,257 0,
De acordo com a equação (10), percebe-se que o período ao quadrado vezes a distância do centro de massa ao furo e a distância do centro de massa ao furo, possuem uma relação linear. Os valores referentes a esta relação linear, estão descritos na tabela 4 a seguir.
Tabela SEQ Tabela * ARABIC 4: Valores da média dos períodos ao quadrado vezes a distância L, associados à distância , e seus respectivos erros associados. (m 2 ) (m^2 ) (s 2 m) (s^2 m) 7,51E-02 2,74E-04 4,00E-01 6,66E- 4,00E-02 2,00E-04 2,64E-01 4,64E- 3,03E-02 1,74E-04 2,16E-01 3,93E- 1,51E-02 1,23E-04 1,63E-01 2,91E- 5,48E-03 7,40E-05 1,17E-01 2,02E-
Com os valores referentes à tabela 4, é possível construir o gráfico T 2 L vs. L, e confirmar a relação linear que existem entre essas grandezas.
As tabelas construídas serão de extrema ajuda para obter os gráficos na seção a seguir, e ser possível concluir claramente a relação entre o período de oscilação T, e a distância do centro de massa ao furo L.
- Gráficos
Com os valores referentes à tabela 3, tabela 4, são possíveis construir os gráficos apropriados, T vs L, T 2 L vs L^2 , respectivamente, e analisá-los.
Utilizando os dados das tabelas 4, pode-se calcular o valor da aceleração da gravidade no local de realização do experimento fazendo uso da expressão (11), e do momento de inércia no centro de massa da barra usada, conforme equação (12).
A figura 3 representa o gráfico T vs L, referente aos dados da tabela 3.
É possível visualizar, mesmo com um número pequeno de dados, que a relação entre T e L, não é linear. Essa relação é quadrática. Se calcular o mínimo da função F(L) = T, via equação (10), aplicado nos valores referente ao centro de massa, calculado pela equação (13), e ao valor da massa da barra medido, encontra-se que o menor valor de T é obtido para os seguintes valores de L,. Se comparar ao valor de mínimo obtido experimentalmente, conforme tabela 3, tem-se que o valor é de , um erro relativo ao teórico de 5,78%.
Figura SEQ Figura * ARABIC 3: Gráfico do período, pela distância do centro de massa ao furo, com barras de erros, conforme dados da tabela 3.
De acordo com a equação (10), é possível ter uma relação linear entre as grandezas, T 2 L e L. A figura 4, representa o gráfico relacionando tais grandezas, com sua respectiva reta, obtida pelo programa Scidavis, pelo ajuste linear dos dados da tabela 4, juntamente com seus erros associados.
Conforme ajuste linear via Scidavis, a equação da reta que melhor define os dados é:
Com o valor dos parâmetros a e b , seus respectivos erros, e de acordo com as equações (11) e (12), o valor da gravidade local e do momento de inércia no centro de massa, e seus respectivos erros associados são:
Tal valor da aceleração da gravidade local encontrado possui erro percentual ao valor tabelado para a cidade de Uberlândia de 0,07%. Já o valor encontrado do momento de inércia no centro de massa da barra, está com um erro percentual ao valor teórico, encontrado via equação (13), de 10,36%.
Com os valores de g e ICM , pode-se obter o gráfico T vs L, de acordo com a equação (9). A figura 5 a seguir, descreve a curva do gráfico dito anteriormente. É possível observar que a curva possui um mínimo de oscilação, conforme aumenta a distância do ponto fixo ao centro de massa.
5. Conclusão Neste relatório, apresentamos os resultados do estudo do comportamento de um pêndulo físico. Foi medidos valores dos períodos para diferentes distâncias do centro de massa.
Figura SEQ Figura * ARABIC 5: Gráfico de Período pela distância do centro de massa ao ponto de oscilação, usando os valores de g e I (^) CM encontrados pela regressão linear ao gráfico da figura 4.
