Pendulo foucault, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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UNIVERSIDADE SANTA CECÍLIA – UNISANTA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

PÊNDULO DE FOUCAULT

Santos – SP

UNIVERSIDADE SANTA CECÍLIA – UNISANTA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

HANDERSON OLEGÁRIO

MARCUS VINICIUS

RODRIGO DANZI

RODRIGO DE CAMPOS MANOEL

THIAGO TADEU RODRIGUES

PÊNDULO DE FOUCAULT

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como exigência parcial para obtenção do título de Engenheiro Mecânico à Comissão Julgadora, sob a supervisão do Professor Valmir Demarchi.

Santos – SP

RESUMO

Pode-se considerar o Pêndulo de Foucault como um dos maiores e mais importante experimentos científicos já realizados até a atualidade. Idealizado pelo francês Leon Foucault, o pêndulo montado no Phantéon francês em 26 de março de 1851, conseguiu demonstrar que a Terra gira em torno do seu próprio eixo e ao redor do sol, e não o contrário. À força responsável pela oscilação do Pêndulo de Foucault, entre outros movimentos, dá-se o nome de Força de Coriolis, em homenagem ao físico francês Gaspard-Gustave Coriolis, que a descobriu em 1835. Esta força é responsável pelo sentido de rotação da água ao descer por um ralo, pelo movimento das tempestades na Terra e, na engenharia mecânica, é essencial em diversos aspectos, como: projetos de tubulações com alta diferença de Energia Potencial, equipamentos mecânicos que trabalham em rotação, para o traçamento de rotas de vôos, entre outras aplicações. Para realizarmos a reprodução da experiência de Foucault, recorremos aos nossos conhecimentos adquiridos ao longo do curso de Engenharia Mecânica, especificamente nas disciplinas de Física, Resistência dos Materiais e Mecânica de Vibrações. Da Física, retiramos os conceitos de gravitação; da Resistência dos Materiais, retiramos os conceitos de dimensionamento de estruturas e o sistema de cálculos pelo Método dos Elementos Finitos e, da Mecânica de Vibrações, retiramos os conceitos de oscilação, oscilação harmônica e a própria força de Coriolis.

LISTA DE FIGURAS E TABELAS

1 INTRODUÇÃO

Antes da aplicação prática e correta dos conceitos de engenharia na fabricação de equipamentos mecânicos, construções civis, equipamentos elétricos e desenvolvimento de novos materiais, muitos outros conceitos precisam ser adquiridos, como o cálculo diferencial e integral, os fenômenos físicos, entre outros.

Entretanto, devido à grandiosidade do conteúdo das disciplinas acadêmicas, muitos pontos são somente comentados, porém, não são explorados e aprofundados. Por este motivo, realizamos esta pesquisa para compreender com propriedade o fenômeno físico em questão: a força de Coriolis.

Por meio da reprodução da experiência do pêndulo de Foucault, aliamos o conhecimento teórico adquirido no decorrer do curso acadêmico e intentamos demonstrar a atuação da força de Coriolis e sua real importância para a Engenharia.

Para a pesquisa dos conceitos e realização da experiência, o grupo utilizou como fonte de informação a pesquisa dos teóricos (falar quais são os teóricos), publicações, consulta a mestres e doutores em Física e Engenharia, consultas à rede mundial de computadores Internet e uma visita ao Phantéon em Paris, França.

Os capítulos a seguir, obedecem à cronologia da pesquisa e discussão dos fenômenos, sendo que, o primeiro, traz a biografia de Jean Bernard Léon Foucault, idealizador da experiência em março de 1851.

2 Jean Bernard Léon Foucault

Figura 1 – Jean Bernard Léon Foucault

Físico francês, filho de publicitários, Jean Bernard Léon Foucault (Figura 1), nasceu no dia 18 de setembro de 1819. Após receber a educação básica em sua própria casa, Léon Foucault estudou medicina, abandonando-a rapidamente para se dedicar aos estudos em Física. Amante de fotografias, concomitantemente a esses estudos, dedicou parte de sua atenção a aprender as técnicas de Louis- Jacques-Mandé Daguerre^1.

Com Hippolyte Fizeau^2 , Foucault comprovou que a intensidade da luz do sol, comparada com o carbono no arco de lâmpada e o cal contido na chama de um tubo de oxi-hidrogênio, associado às interferências da radiação infravermelha e à

(^1) Artista e Químico francês, inventor do Dagurerreotype , processo fotográfico no qual a imagem é

exposta diretamente contra um espelho polido composto por partículas pratas de vapor, depositadas por vapor de iodo aquecido. Este processo permite a obtenção da fotografia sem utilização de um negativo.

(^2) Físico francês que, além de estudar processos fotográficos, dedicou seu tempo ao estudo da

interferência da luz e do calor nos corpos. Em 1848, descobriu o Efeito Doppler em ondas eletromagnéticas. Em 1849, juntamente com Léon Foucault, publicou os primeiros resultados obtidos para o estudo para determinação da velocidade da luz, e, em 1850 juntamente com E. Gounelle mediu a velocidade da eletricidade.

Foucault faleceu em 11 de fevereiro de 1868, vítima de uma esclerose múltipla rapidamente desenvolvida. Seu corpo foi cremado e sua cripta encontra-se no Cemetière de Montmarte em Paris. [1], [2], [6], [8], [12] e [13].

3 Gaspard-Gustave Coriolis

Figura 2 – Gaspard-Gustave Coriolis

Gaspard - Gustave Coriolis nasceu em 21 de maio de 1792 em Paris, França. Provindo de uma família aristocrática, ingressou na Ècole Polytechnique, em 1808 e continuou seus estudos na Ècole des Ponts et Chaussées , onde estudou mecânica e matemática aplicada à engenharia.

Iniciou a sua atividade docente em 1816, como professor assistente de Análise e Mecânica na Ècole Polytechnique. Foi professor de mecânica na École Centrale des Arts et Manufactures entre 1829 e 1836 e, em 1832, tornou-se professor de mecânica na École des Ponts et Chaussées. Em 1836, foi nomeado diretor de estudos na École Polytechnique e aí desenvolveu importantes estudos sobre a força centrífuga.

Coriolis foi um professor notável e contribuiu decisivamente para a sistematização do ensino da mecânica por meio da introdução de termos e definições próprias. De seus estudos, destacam-se as primeiras definições precisas de trabalho e energia cinética, publicadas em 1929 no artigo “ Du calcul de l’effet des machines ”. O nome de Coriolis está intrinsecamente associado à descoberta do fenômeno batizado com seu nome: o efeito de Coriolis.

No artigo “ Sur les équations du movement relatif des systèmes de corps ” (1835), Coriolis desenvolveu um princípio matemático para descrever o movimento dos

4 A FORÇA DE CORIOLIS

Em meados de 1851, a comunidade científica e a Academia de Ciências da França possuíam duas opções plausíveis: aceitar o que Foucault havia provado por meio de suas teorias e experimentos ou provar a lei da cinética sem a utilização de equações ou derivações matemáticas.

Em resposta à prova de Foucault, os matemáticos buscaram em teorias descritas e comprovadas a explicação do fenômeno do pêndulo de Foucault e os seus resultados.

Até então, a maioria dos importantes matemáticos dos séculos XVII, XVIII e XIX havia publicado trabalhos que explicavam o fenômeno de reação do pêndulo sobre a rotação da Terra. Em vista disso, Gapaillard explicou o trabalho de Foucault e, com isso, causou uma divisão entre dois campos dentro da Academia de Ciências: de um lado, os analistas e do outro, os sintesistas.

O primeiro grupo acreditava na matemática pura e na geometria, enquanto que o segundo grupo buscava explicações dos fenômenos em termos cinemáticos do movimento dos objetos, isto é, dos movimentos físicos. Entretanto, na interpretação teórica de Foucault, ambas as escolas não levaram em conta o trabalho e o conhecimento do físico francês Gaspard-Gustave Coriolis, que falecera oito anos antes da demonstração de Foucault.

A força de Coriolis, também conhecida como aceleração de Coriolis, é uma tradicional derivação da coordenada de transformação e afeta os corpos em rotação. Ela é similar à outra força relacionada à rotação dos corpos: a centrífuga. Muitos cientistas as chamam de “forças fictícias”, visto que o corpo afetado por estas não é empurrado por algo material, porém, uma pessoa em rápida rotação sente a força centrífuga com sendo real.

Na Terra, a força de Coriolis atua mudando a direção do movimento do corpo para a direita, no hemisfério norte e, para a esquerda, no hemisfério sul. Esta deflexão está presente desde a grande escala da circulação atmosférica, no desenvolvimento de furacões, tempestades e brisas marítimas, até em um simples torneio de baseball: uma bola rebatida horizontalmente a uma velocidade de 25 m/s em uma distância inferior a 20 m, nos Estados Unidos da América, desviará em 1,5 cm para direita, devido à força de Coriolis.

A relação entre a aceleração e o vetor B , em um sistema de coordenadas fixas relativas para as estrelas (f) e o sistema (r) girando com a velocidade angular
é:

O procedimento é para aplicar (1) primeiro para a posição do vetor r, quando para velocidade v é aplicada a velocidade vr. Combinando expressões e chegando a uma expressão para aceleração absoluta a, temos:

Qual para um observador girando é composto ao observador à aceleração ar. A aceleração de Coriolis depende da velocidade e da aceleração centrífuga
x (
x r ), qual somente depende da posição. Para um movimento horizontal dado, a deflexão mais forte está nos pólos e a deflexão não horizontal está no equador, para o movimento oposto vertical é verdadeiro, como mostra figura 4.

Figura 3. Efeito da Força de Coriolis na Superfície Terrestre.

Uma maneira simples de explicar a ação do efeito Coriolis, é tomar como exemplo uma pessoa em posição ereta sob o centro da superfície de um disco em rotação: se esta pessoa se mover no sentido da borda externa do disco, uma força na direção perpendicular do movimento do disco agirá sobre está pessoal. Esta é à força de Coriolis em ação.

que adicionar 950 km na direção leste em seu plano de vôo. Esta diferença é devido à diferença de 1497 e 547 km, e existe porque a Terra cessa seu movimento de rotação.

Conclui-se, portanto, que é inteiramente plausível a utilização do efeito de Coriolis para explicar a oscilação do pêndulo de Foucault. [1], [4], [8], [9] e [13]

5 PÊNDULO DE FOUCAULT

O Pêndulo de Foucault, assim chamado em referência ao físico francês Jean Bernard Léon Foucault, é uma experiência concebida para demonstrar a rotação da Terra em relação a um referencial, bem como a existência da força de Coriolis. A primeira demonstração data de 1851, quando um pêndulo foi fixado ao teto do Panthéon em Paris.

A originalidade do pêndulo reside no fato de possuir liberdade de oscilação em qualquer direção, ou seja, o plano pendular não é fixo. A rotação deste se dá com a rotação da Terra e sua velocidade e direção de rotação permitem, igualmente, determinar a latitude do local da experiência sem nenhuma observação astronômica exterior.

Princípio

Se considerar um ponto centrado ao nível do ponto de fixação do pêndulo, este oscilará sempre no mesmo plano em relação a este ponto, no entanto, a Terra gira em torno dele, o que é previsto e intuitivo se nos imaginarmos em um pólo. Em um referencial habitual é o pêndulo que irá sofrer uma rotação.

O pêndulo deve ser inicialmente colocado em um dos pólos da Terra. Seu período de rotação do plano pendular é inversamente proporcional ao seno da latitude local.

Para simplificar, suporemos a amplitude das oscilações suficientemente pequena para admitir que a massa oscilante do pêndulo se desloque horizontalmente. Notemos Oxy pelo plano horizontal, com O sedo a posição da massa no repouso, Ox o eixo horizontal dirigido para o leste (logo tangente ao paralelo) e Oy dirigido para o norte (logo tangente ao meridiano). O terceiro eixo Oz será vertical dirigido para cima.

Caso do Pêndulo Simples

Sem se levar em conta à rotação da Terra, as equações do movimento são as do pêndulo simples, sistema 1, ou seja:

Sistema 1.

Onde
é a oscilação própria do pêndulo simples, equação 1, ou seja:

Equação 1.

As equações de movimento no plano O xy tornam-se:

Sistema 3.

Supõe-se ainda que no instante t = 0 o pêndulo passe em O com a velocidade V 0 no eixo O x , então se pode verificar que as soluções x e y do sistema diferencial são tais que:

Sistema 4.

Com:

Equação 3.

Pode-se escrever que:

Interpretação e comparação

A quantidade exprime o fato que o pêndulo de Foucault oscila com uma pulsação própria
0 ligeiramente diferente daquela do pêndulo simples, mas como  é muito pequeno em comparação com
, a diferença entre
e
0 é muito pequena.

Mais remarcável, a oscilação se dá segundo a direção que roda lentamente segundo a pulsação sin (). [1], [2], [4], [8], [9], [12], [13] e [14].

6 DEMONSTRAÇÃO NA UNISANTA

A figura (Figura 1) nos traz a latitude que se encontra a cidade de Santos, os pólos sul e norte, a linha do equador, com estes dados e utilizando-se da Lei dos Senos, pode-se demonstrar o círculo descrito pela oscilação do pêndulo que será construído na Universidade Santa Cecília – UNISANTA.

.

Figura 5. Pêndulo de Foucault na Universidade Santa Cecília.

Considerando a velocidade relativa do movimento no extremo sul e o extremo norte do circulo descrito com raio r como é mostrado na figura

Considerando a inclinação da Terra, o extremo sul é mais distante da linha central de rotação da Terra, e conseqüentemente, se moverá mais rapidamente do que o extremo norte.

Fazendo
a velocidade angular da Terra e R o raio da Terra, utilizando trigonometria básica, observamos na figura que o centro do círculo se move com velocidade
R cos, onde =latitude de Santos (23 graus 56’ 26” Sul).

Observando na figura, que o ponto mais ao norte se move com velocidade
R cos +
r sen, analogamente, o ponto mais ao sul, se move com velocidade
R cos –
r sen.