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MEDIÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
COM UM PÊNDULO SIMPLES
O Relatório deste trabalho consiste no preenchimento dos espaços neste texto
1 – Fundamento Teórico
O pêndulo simples é constituído por um corpo suspenso num fio leve e inextensível. Quando é afastado da posição de equilíbrio e solto, o pêndulo oscila no plano vertical, em torno do ponto de fixação do fio, por acção da gravidade. Na figura 1.1 a), o diagrama de corpo livre do corpo suspenso evidencia que o
corpo está submetido a duas forças aplicadas no centro de massa: o peso, m g , e a
tensão do fio, T.
θ θ L
T m an m at
m g
(a) (b)
Figura 1.1 – (a) Diagrama de corpo livre do corpo suspenso, considerado como um ponto material
localizado no centro de massa. (b) Decomposição do vector ma nas componentes tangencial e normal, quando o pêndulo se afasta da posição de equilíbrio.
Sendo Σ F (^) t = mat a componente tangencial da equação Σ F = ma
G
, a figura 1.
mostra que essa componente é:
dv mg sin θ= m , (1)
onde θ é o ângulo entre a vertical e o fio.
Uma vez que o corpo suspenso executa movimento de rotação em torno do ponto de fixação do fio, a velocidade instantânea do seu centro de massa, v , satisfaz: v = ω L , (2)
onde L é o comprimento do pêndulo e dt
d θ ω = é a velocidade angular do pêndulo.
Para o caso de a oscilação ter uma amplitude pequena, de forma quesinθ ≈ θ (3) , obtem-se, por substituição de (2) na equação (1) :
2 0
2
g dt
d
. (4)
A equação (4) , característica do movimento harmónico simples, é satisfeita por duas expressões particulares de θ :
t L
g θ 1 = sin e t L
g θ 2 = cos ,
pelo que a solução geral da equação (4) é:
= t L
g t C L
g θ C (^) 1 sin 2 cos , (5)
onde C 1 e C (^) 2 são constantes de integração.
A expressão (5) evidencia que o ângulo θ é uma função periódica do tempo e
que θ varia com a frequência natural ω 0 = g / L. Então, o período da oscilação é:
g
L
T 0 = 2 π (6)
sendo, assim, uma função exclusiva do comprimento do pêndulo e da aceleração da gravidade no local. O conhecimento do período e do comprimento do pêndulo permite calcular o valor da aceleração da gravidade no laboratório através de (6) , na medida em que sejam válidas as aproximações assumidas na dedução dessa expressão.
Se fôr necessária maior exactidão, devem utilizar-se expressões do período que têm em conta certos factores que não foram considerados na dedução de (6) :
a) Quando não é válida a aproximação referida em (3) , o período passa a depender da amplitude máxima, θ 0 , da oscilação, através da expressão:
sin 4
sin 4
2 (^20) 0
θ θ T T. (7)
b) Tendo em conta a força de impulsão exercida pelo ar, o período do pêndulo passar a ter a expressão:
pêndulo
T T ar ρ
ρ 2
em que ρ é a densidade.
c) Se a massa do fio de suspensão, m (^) f , não fôr desprezável em relação à
massa do corpo suspenso, m (^) c , vem:
c
f m
m T T 12
0 1.^ (9)
d) Para pequenas oscilações, se fôr tido em conta o seu amortecimento, obtem- se: 2 1 /^2 0 (^0 )
−
πτ
T
T T , (10)
em que τ é o tempo necessário para que a amplitude se reduza a 1 / e do seu valor inicial (tempo de relaxação).
Tabela 2.1.1 – Comprimentos medidos directamente (comprimentos l (^) f , etc designados
pelos símbolos da lista anterior) : l (^) f ±∆ lf m
m
m
m
1º pênd. (^) ± 2º pênd. (^) ± 3º pênd. (^) ± 4º pênd. (^) ±
5º pênd. ±
Justificação do valor atribuído a ∆ l (^) f :
O erro de leitura na medição de l (^) f foi ….………. m porque o instrumento usado nesta medida foi
uma ………………… com a qual podíamos medir a distância mínima de …………… m.
O erro total na medição de l (^) f foi ∆l (^) f =................... m porque.........................................
…………………………………………………………………………………………………………….
Justificação do valor atribuído a ∆ … :
O erro de leitura na medição de ….... foi …..……….. m porque o instrumento usado nesta medida foi
uma ………………………… com a qual podíamos medir a distância mínima de …………… m.
O erro total na medição de ….... foi ∆.... =................ m porque...........................................…...........
…………………………………………………………………………………………………………….
Justificação do valor atribuído a ∆ … :
O erro de leitura na medição de ….... foi …..……….. m porque o instrumento usado nesta medida foi
uma ………………………… com a qual podíamos medir a distância mínima de …………… m.
O erro total na medição de ….... foi ∆.... =................ m porque...........................................…...........
…………………………………………………………………………………………………………….
Expressão do comprimento do pêndulo, L , em função dos comprimentos directamente medidos ( l (^) f , etc) :
L =
Expressão do erro ∆ L que afecta o comprimento do pêndulo, em função dos erros dos comprimentos directamente medidos ( ∆ l (^) f , etc) :
∆ L =
Tabela 2.1.2 - Comprimento medido para cada pêndulo: L m
∆ L
m 1º pêndulo 2º pêndulo 3º pêndulo 4º pêndulo 5º pêndulo
2.2 – Determinação do período de cada pêndulo
Tabela 2.2 – Tempos medidos para 10 períodos (10 Ti ) e para o período (T) de cada pêndulo: 1º pênd. 2º pênd. 3º pênd. 4º pênd. 5º pênd. 10 T 1 s 10 T 2 s 10 T 3 s 10 T 4 s 10 T 5 s T s
∆ T s
3 - Cálculo da aceleração da gravidade no Laboratório
3.1 - Determine a relação experimental entre 4 π 2 L e T^2 , através da equação da recta que melhor se ajusta aos valores encontrados para estas grandezas. Disponha os resultados num gráfico. 3.2 - Relacione a expressão calculada em 3.1 com a expressão teórica (6) , para determinar o valor g ± ∆ g da aceleração da gravidade no Laboratório. 3.3 - Atribua aos fios dos 5 pêndulos a mesma massa, m (^) f, do fio mais comprido e
utilize as expressões teóricas (9) e (6) para calcular g ± ∆ g. Compare com o resultado obtido em 3.2. Daí, conclua se teria valido a pena não desprezar a massa dos vários fios pendulares para obter um valor de g mais exacto.
3.1 – Determinação da relação experimental entre 4 π^2 L e T^2
Expressão do erro ∆ (4 π^2 L) em função de ∆ L , calculada através da propagação de erros :
∆ ( 4 π^2 L ) =
Expressão do erro ∆ (T^2 ) em função de ∆ T, calculada através da propagação de erros :
∆ ( T^2 ) =
3.2 – Resultado obtido para a aceleração da gravidade no Laboratório:
Significado físico do parâmetro a , justificado por comparação da relação teórica
(6) com a relação experimental entre 4 π 2 L e T^2 :
Discussão do valor obtido para o parâmetro b , comparando o valor teórico de b na relação (6) com o resultado experimental b ± ∆ b :
Resultado da nossa experiência: Aceleração da gravidade medida no Laboratório , com base no significado físico de a deduzido acima, foi:
g = ( ……… ± ….. ) …..
(este resultado final deve apresentar apenas os algarismos e as casas decimais significativas)
3.3 – Influência da massa do fio na medida da aceleração da gravidade
Designe a massa do fio pendular por m (^) f e a massa do corpo suspenso por mc.
Atribua aos 5 fios pendulares a mesma massa, m (^) f , medida para o fio mais longo.
Massas medidas: mf =(................. ±...........).........
mc =(................. ±..........)..........
Expressão de g, em função de m (^) f , m (^) c e do parâmetro (^) 2
T
L
a
π = , calculada
através das expressões teóricas (6) e (9) :
g =
Expressão do erro ∆ g, em função dos erros ∆ m (^) f , ∆ m (^) c e ∆ a , calculada através da
propagação de erros:
∆ g =
Aceleração da gravidade no Laboratório , calculada para uma massa dos fios
pendulares superior à real –visto ter-se admitindo que os 5 fios tinham a massa do fio
mais longo – e utilizando o valor a ± ∆ a =(.............. ±.........)….. :
g = ( ……….. ± ..…. ) …….
Conclusão acerca da utilidade de ter em conta a massa dos fios pendulares na medição que realizou, com base na comparação entre os resultados obtidos para g em 3.3 e em 3.2:
