guia - Pendulo, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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LABORATÓRIO DE FÍSICA 2004 - 2005

Trabalho nº 3

Pêndulo

Guia de Laboratório

θ

L

1. Objectivo

Neste trabalho prático pretende-se analisar o movimento de um pêndulo simples e determinar experimentalmente a aceleração da gravidade.

2. Introdução

2.1 Pêndulo simples

Um pêndulo simples, ilustrado na figura 1a), consiste num corpo de massa m , suspenso por um fio rígido de massa desprezável e comprimento L , que descreve um movimento oscilatório no plano vertical. Sobre o corpo actuam duas forças: o peso, com a direcção vertical, e a tensão exercida pelo fio, com a direcção do fio, tal como está representado na figura 1b). É conveniente decompor as forças segundo as direcções tangencial e radial, à trajectória do corpo. Segundo a direcção normal, com o sentido positivo apontando para o fio, existe a tensão T e a componente do peso − mg cos θ ; Segundo a direcção tangencial, considerando o sentido positivo o de θ

crescente, existe apenas a componente tangencial do peso − mg sen θ. De acordo com a 2ª lei de

Newton (^) ( F = M a )

r (^) r , obtem-se que:

• cos
• sen

n t

T Mg M a Mg M a

θ θ

^ =

sendo an e at as componentes da aceleração, respectivamente, segundo as direcções normal e tangencial.

a) b) Figura 1 - a) Esquema de um pêndulo simples. b) Forças aplicadas no corpo suspenso.

Sabendo que: 2 t 2

dv d s a dt dt

= = e s = θ L

onde v , s e θ são, respectivamente, a velocidade, o arco e a posição angular do corpo,

a acelação tangencial é dada por:

θ

L

s

P

θ

T

Pt

Pn

n

t

0

L

T

g

= π (7)

ou, em termos de frequência:

0

g f π L

Sendo a massa da barra m , a massa do corpo suspenso M e os comprimentos L 1 , L 2 , L 3 e L 4 os indicados na figura 2, o comprimento efectivo é dado por:

( )

( )

3 3 3 3 4 3 1 2 4 3 1 2 3 4 1 2

M m L L L L L L L L L L L L L M m

L 1

L 2

L 4

L 3

a)

L*

b)

Figura 2 - a) Esquema do pêndulo real existente no laboratório. b) Esquema de um pêndulo ideal equivalente ao pêndulo do laboratório, com um comprimento L*.

2.1.3 Correcção de amplitude

Para ângulos em que a aproximação sinθ ~ θ não é válida, o período do pêndulo depende da amplitude máxima da oscilação através da série:

2 (^2) max 4 max (^0 2 2 )

1 sen sen ... 2 2 2 4 2

T T

 (^)  θ (^)   θ   = (^)  + (^)   + (^)   +   ^ ^ ^  

Para amplitudes máximas inferiores a 40º é suficiente usar o primeiro termo de aproximação. Utilizando para o referido termo a aproximação (3) e tendo em conta que temos uma função seno ao quadrado, vem:

2 0 max

T T θ

ou, em termos de frequência:

0 2 max

f f θ

Se multiplicarmos o numerador e o denominador da fracção anterior por (^2) max

θ

obtemos:

2 2 0 max 0 max 2 (^2 2 ) max max (^) max

f f f

θ

θ θ (^) θ

 −^   − 

= ^ ^ ^ 

 +^  −   −   

   ^   

Repare que se o termo (^2) max

θ

é muito menor do que 1, então

2 2 max

  (^) θ   

será ainda menor,

de modo que pode ser desprezado, ficando:

2 0 max

f = f^ ^ − θ   

2.2 Princípio das medidas a realizar

Usando a simplificação da secção 2.1.1, podemos resolver a equação (7) em ordem a g , de modo a obter uma expressão que relaciona directamente o valor da aceleração da gravidade com o comprimento do pêndulo e com o período do movimento:

2 2 0

4 L *

g T

π = (11)

Neste trabalho determina-se o comprimento do pêndulo, L* , e determina-se o período da oscilação, T 0. Com base nestas medidas determina-se o valor da aceleração da gravidade, g , através da equação (11).

Se for medida a frequência, f 0 , do movimento, em vez do período, g é dada por:

2 2 g = 4 π L * f 0 (12)

3. Procedimento

3.1 Cálculo teórico de g

O valor de g pode ser calculado através da expressão:

g = 9.78032 – 0.1967 × 10 -5^ h (13)

onde h é a altitude em metros a que se encontra o laboratório.

Considerando que o laboratório se encontra a uma altitude de 80 m determine o valor de g neste local.

3.2.4 Aquisição de dados

Para entrar no programa de aquisição de dados DataStudio , seleccione o ícone “ Pendulo ” que se encontra no Ambiente de Trabalho. Ao entrar no programa encontrará o que se encontra na figura 4.

Figura 4

O sensor de movimento rotacional já está ligado ao computador e pronto a funcionar.

Para configurar o sensor pressione o botão Configurar e faça as alterações indicadas na figura 5.

• Altere a taxa de amostragem para 50 Hz.
• Ajuste a posição angular para zero quando o pêndulo se encontra na vertical, do seguinte modo: Verifique que o pêndulo está na vertical, em repouso; pressione o indicador “ Zero ” e retire a cruz da opção “ Zero automaticamente ao começo ”. Nota: No decorrer do trabalho, se o sensor “perder” a posição de zero, repita esta operação.
• Escolha para unidade de “ Posição angular ”, grau.

Feche a janela “ Configuração de experimentos ”.

Pré-relatório Para a realização do pré-relatório use as séries de dados fornecidas no ficheiro do Data Studio “ Pendulo_Dados ”.

Figura 5

3.3 Determinação da aceleração da gravidade

3.3.1 Usando a simplificação para oscilações de pequena amplitude

Inicie a aquisição, pressionando o botão iniciar. Desloque o pêndulo da posição de equilíbrio até que θmax seja da ordem de 20º (confira este valor aproximado no gráfico) e abandone-o, de seguida.

Deverá obter um gráfico parecido com o da figura 6.

Figura 6

Pré-relatório Nesta secção, analise a série de dados 1 , fornecida no ficheiro do Data Studio “ Pendulo_Dados ”.

Retire para o relatório o valor da frequência indicado pelo ajuste. Partindo deste valor de frequência calcula-se o valor do período através da equação (5) , o valor de g a partir da equação (12) e o erro relativo de g.

Compare os valores do período e de aceleração da gravidade assim calculados com os anteriormente obtidos.

3.3.2 Correcção tendo em conta que a massa da barra de suspensão não é nula e que a massa do corpo suspenso não é pontual

Compare o valor de L* calculado através da equação (9) com o valor de L anteriormente determinado.

Usando o valor do comprimento efectivo, L* e o valor de frequência anteriormente determinado (secção 3.3.1) determina-se novamente o valor de g usando a equação (12).

Comente o resultado obtido.

3.3.3 Correcção de amplitude

Adquira uma nova série de dados abandonando o pêndulo de ~ 45º. Pare a aquisição só depois de o pêndulo parar.

Analise individualmente 5 porções da curva obtida com a duração de aproximadamente 2 períodos cada, correspondendo a amplitudes angulares diferentes, compreendidas entre 45º e 5º. Para cada selecção ajuste uma curva sinusoidal aos pontos, tal como na secção 3.3.1., e tome nota da amplitude angular e da frequência angular dos vários ajustes.

Nota: Converta os valores de amplitude angular de graus para radianos.

No menu Experimento seleccione a opção Nova tabela de dados vazia. Nesta tabela irá colocar valores de amplitude angular (em radianos) na coluna da esquerda (X) e os respectivos valores de frequência na tabela da direita (Y). Repare que na secção Dados aparece a série Dados de Dados editáveis.

Para criar um gráfico de frequência em função da amplitude angular, usando os dados da tabela, arraste os Dados da secção Dados para cima do gráfico na secção Visores. Na figura 8 visualiza- se uma tabela de dados e o respectivo gráfico ( gráfico 2 ).

Pré-relatório Nesta secção, analise a série de dados 2 , fornecida no ficheiro do Data Studio “ Pendulo_Dados ”.

Figura 8

Ajuste a curva da frequência em função da amplitude a uma função quadrática, seleccionando a opção Ajuste Quadrático do menu Ajustes disponível no gráfico 2. Faça duplo clique com o rato sobre o quadro com os resultados do ajuste. Pressione o botão com um sinal + correspondente ao parâmetro B. Altere o valor de B para 0 , no campo que se abre à esquerda do sinal + que pressionou. Para bloquear o valor de B pressione o ícone com um cadeado, tal como se vê na figura 9.

Figura 9