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Relatório 1 - Pêndulo Simples e Acoplado
Bruno Rodrigues Soares 170100936, Lucas Martins Duarte de Oliveira 170108902, and Hugo Teolfe Felipe Silva 170105032 IF-UnB/Laboratório de Oscilações, Ondas e Fluidos Grupo: 3 (Dated: 13 de abril de 2019) Serão descritas matematicamente e verificadas experimentalmente as variáveis físicas relevantes no estudo do movimento do pêndulo simples, como por exemplo, o período em função da amplitude e do comprimento do pêndulo. Suas respectivas relações e dependências serão obtidas através da análise dos dados coletados. Além disso, será estudado o movimento de dois pêndulos iguais acoplados e os fenômenos característicos desse sistema; Buscando uma abordagem mais fenomenológica e qualitativa, mas quantificando os fenômenos na medida do possível, como adiante será visto para os batimentos.
Um dos pioneiros no estudo das características físicas relativas à oscilação dos pêndulos simples foi Galileu Ga- lilei nos séculos XIV e XV. Desde aquela época foi notada a isocronia dos pêndulos simples, que de fato só é válida em regimes de pequenas oscilações. Assim como também, através da investigação do movimento desses objetos, foi observado que o quadrado do período de oscilação é pro- porcional ao comprimento do pêndulo. A descrição do movimento de sistemas oscilantes como o pêndulo se faz relevante até hoje na maioria das áreas da física, visto que quase todos os fenômenos físicos envolvem direta ou indiretamente algum tipo de oscilação.
INTRODUÇÃO
Pêndulo Simples
O pêndulo simples, considerado na figura 1, consiste basicamente em uma massa m suspensa por uma haste, a princípio, de comprimento fixo. Dessa forma a massa se move em torno da posição de equilíbrio, através de um arco de circunferência, sob a ação da força peso e da tensão do fio/haste. Na figura 1, a força peso já está de- composta nas componentes tangencial e radial, de modo que a tangencial equivale à força de restauração de inte- resse:
F = ma = m
d^2 (Lθ) dt^2
= −mg sin θ (1)
Podendo se obter a equação de movimento de pêndulos simples:
d^2 θ dt^2
g L
sin θ (2)
Para ângulo de oscilação suficientemente pequeno, a expansão em série de Taylor do seno de teta pode ser aproximada por teta, desprezando termos de 3a^ ordem ou mais:
θ^ ¨ = − g L
θ (3)
Figura 1. Esquematização do pêndulo simples
Tomando a condição inicial θ(0) = θ 0 , uma solução para a equação 3 é:
θ(t) = θ 0 cos (ωt + φ) (4)
Pois derivando 4 duas vezes: ¨θ = −ω^2 θ (5)
E portanto:
ω =
g L
2 π τ
T = 2π
L
g
Onde T é o período de uma oscilação. Pode-se também chegar à seguinte expressão mais geral do período, visto que para grandes amplitudes o pêndulo não é isócrono como indica a equação 6.
T (θ 0 ) = 2π
L
g
sin^2
θ 0 2
O experimento em questão visa a observação do efeito que a mudança da amplitude (θ 0 ) causa no período de oscilação, em outras palavras, será verificado que o pên- dulo de fato não é isócrono. Será observado também que o período não obedece a relação dada pela 7, isso ocorre devido aos erros sistemáticos que serão explicados poste- riormente.
Pêndulo Acoplado
Nesta seção verificaremos a teoria que engloba a descri- ção do movimento de dois pêndulos simples iguais e aco- plados. Dizer que os pêndulos são iguais significa que, a princípio, têm a mesma massa e a mesma frequência na- tural. Consideraremos também, assim como na análise de apenas um pêndulo simples, a aproximação 23, para ân- gulos suficientemente pequenos. Considerando também o fator que caracteriza a mola que liga os dois pêndulos como sendo uma constante ’k’. Desse modo, a lei de força para cada pêndulo, denotando-os como pêndulos a e b, é, para o pêndulo a:
d^2 dt^2
θa +
g l
θa +
k m
(θa − θb) = 0 (9)
e, para o pêndulo b:
d^2 dt^2
θb +
g l
θb +
k m
(θb − θa) = 0 (10)
Onde, θa e θb são os ângulos que ambos os pêndulos variam da posição de equilíbrio, e que tomamos por so- lução de acordo com a equação 4. De fato, ao substituir tais soluções nas equações 9 e 10, e resolver as respec- tivas equações algébricas, obtemos os seguintes possíveis valores para a frequência angular de oscilação do sistema:
ω 1 =
g L
ω 2 =
g L
2 k m
Essas duas frequências estão associadas aos modos nor- mais, nos quais os pêndulos têm mesmas amplitudes, e mesma fase ou fases opostas. Além disso, pode-se mos- trar que qualquer movimento dos pêndulos acoplados, ainda restrito a ângulos pequenos, pode ser decomposto segundo as seguintes equações:
θa = A 1 cos (ω 1 t + φ 1 ) + A 2 cos (ω 2 t + φ 2 ) (13)
θa = A 1 cos (ω 1 t + φ 1 ) − A 2 cos (ω 2 t + φ 2 ) (14)
Diz-se que os pêndulos estão em um modo simples quando suas frequências angulares sãos as mesmas. Caso contrário notamos o fenômeno de batimentos, o qual po- demos descrever assumindo A 1 = A 2 = A e φ 1 = φ2 = 0, e aplicando em 13 e 14:
θa = 2A cos
[(
ω 1 − ω 2 2
t
]
cos
[(
ω 1 + ω 2 2
t
]
θb = 2A sin
[(
ω 1 − ω 2 2
t
]
sin
[(
ω 1 + ω 2 2
t
]
Denotando
ωb = ω 1 − ω 2 2
ωa = ω 1 + ω 2 2 e assumindo o acoplamento fraco entre os pêndulos(ou seja, ωb << ωa), temos:
θa = 2A cos (ωb) cos (ωa) (17)
θb = 2A sin (ωb) sin ((ωa) (18)
E portanto, as equações que descrevem o fenômeno de batimento.
Fórmulas adicionais
Média aritmética:
x =
∑^ n
i=
xi n
Desvio padrão amostral:
σn− 1 =
n − 1
∑^ n
i=
(xi − x¯)^2 (20)
Incerteza de uma função de variáveis independentes:
∆f =
∑n
i=
∂f ∂xi
∆xi
[1] [2] [3]
DrDAQ coletasse os dados. Inicialmente, os ângulos mos- trados pelo sensor foram calibrados de acordo com a me- dição do cursor angular móvel. Basicamente, o pêndulo foi posto na vertical e ao dar início à calibragem foram in- seridos dois ângulos de referência para o programa. Após a calibragem, foram inseridos alguns parâmetros adici- onais na janela de diálogos do programa DrDAQ para indicar a frequência das leituras e o tempo que o leitor ficaria ligado após o inicio da coleta de dados.
Para obter uma relação do período em função da am- plitude o pêndulo foi posto para oscilar, de modo que seu movimento se restringisse aproximadamente a um plano fixo, perpendicular ao eixo móvel. Para isso foram dados pequenos impulsos externos na medida que o pêndulo ini- ciava sua oscilação (ressonância) até que atingisse uma amplitude próxima a 45o, evitando assim vibrações na haste e movimentos circulares (que surgiriam caso sim- plesmente soltássemos o pêndulo do ângulo desejado).
Com o pêndulo em movimento foi iniciada a aquisição dos dados, programada para durar 10 segundos. Passa- dos os 10 segundos, era iniciada uma nova aquisição. O procedimento foi repetido durante a dissipação de ener- gia do pêndulo, até que sua amplitude angular fosse cerca de 5 graus.
Para medir o período em função do comprimento da haste, o peso foi colocado a certa distância do eixo de sustentação e o pêndulo posto a oscilar com amplitude de aproximadamente 10o. O software de aquisição de dados foi acionado e após a aquisição esse procedimento era reiniciado, diminuindo a distância do peso ao eixo de sustentação cerca de 5cm. Este processo foi repetido até que o peso de ferro alcançasse a altura do eixo de sustentação, limite no qual, pela 7, não deveria haver período.
Figura 3. Representação dos pêndulos acoplados utilizados no experimento
Pêndulos Acoplados
Primeiramente foram montados os dois pêndulos e uti- lizados os mesmo procedimentos de calibragem da pri- meira parte do experimento, quando o objetivo era ana- lisar apenas um pêndulo separadamente. O segundo pêndulo a ser calibrado foi ajustado de forma que seu período de oscilação fosse aproximada- mente o mesmo do primeiro. Os valores das massas, e de suas distâncias aos eixos de sustentação, representa- dos na figura , foram:
L 1 = L 2 = 88, 20 ± 0 , 05 cm
m 1 = 345. 1 ± 0. 1 g
m 2 = 350. 1 ± 0. 1 g
A mola elástica, responsável pelo acoplamento, foi adi- cionada ao sistema, a uma distância vertical ’h’ dos pon- tos de articulação, representada na figura. Foi fixada uma distância:
h = 35cm ± 0 , 05
Um dos pêndulos foi deixado parado e o outro posto a oscilar. Dessa forma foram gravados os gráficos da ampli- tude de oscilação de ambos os pêndulos. Através desses
gráficos e de uma expressão aproximada dos ângulos em função do tempo, foram obtidas aproximações para as frequências fundamentais que regiam o batimento, utili- zando o software Grace, na qual ambos os pêndulos foram soltos com o mesmo ângulo inicial de aproximadamente:
θ 1 = θ 2 = 9, 0 ± 0 , 5 o
E então obtida a frequência de oscilação do modo simé- trico através do software computacional já mencionado. Depois, ambos os pêndulos foram soltos ao mesmo tempo com ângulo inicial oposto:
θ 1 = −θ 2 = 5, 0 ± 0 , 5 o
E então obtida a frequência de oscilação do modo as- simétrico.
Após isso, foi posto o maior valor de h possível:
h = 85, 20 ± 0 , 05 cm
Obtendo-se assim o gráfico dos batimentos degenerado. Por fim foi analisado o movimento dos pêndulos quando:
L 1 6 = L 2
Ou seja, para pêndulos acoplados com frequências dife- rentes.
DADOS EXPERIMENTAIS E ANÁLISE
Pêndulo simples com variação do ângulo de oscilação e analise do período obtido
Como dito anteriormente, é possível encontrar um mo- vimento isócrono para oscilações que possuem ângulos pequenos, pois o termo cúbico, da expansão de Taylor, é muito menor que o termo linear e pode ser desprezado com boa precisão, tendo, até cerca de 10o, um erro de 5% ao assumir que:
sin θ = θ (23)
No entanto o termo cúbico, dessa expansão, não pode ser desprezado para ângulos grandes tendo a equação (8) como melhor aproximação para ângulos maiores. Isso pode ser comprovado com a imagem a seguir:
Figura 4. Gráfico: Período x sin^2 θ 2
Desse Gráfico podemos perceber que quanto maior o período maior será o valor de sin^2 θ 2 dessa forma é possível perceber que para grandes ângulos esse fator é conside- rável no valor do período. Tirando da regressão linear é encontrado o coeficiente angular da reta igual a − 0 , 2607 ± 0 , 0019 , o que nos dá a relação com a equação (8). Tendo essa informação foi verificado que o coeficiente angular da reta é aproxima- damente T 0 /4, o que é um valor aceitável, pois a acurácia foi de aproximadamente 4% Utilizando a equação (7), para ângulos pequenos, e a equação (11) é possível determinar que o período teórico deste pêndulo, quando isócrono, é de 1 , 8849 ± 0 , 0534 s. Verificando experimentalmente é possível relacionar com o resultado teórico, que pode ser verificado pelo gráfico abaixo:
Figura 5. Gráfico: Período x Ângulo
O que mostra experimentalmente que com 10o^ o pên-
equação (17) é possível ver que ela rege os máximos e mínimos de cada pêndulo. Além disso podemos tirar que o tempo entre dois mí- nimos e a quantidades de ciclos.
H ∆T Ciclos 15 ± 0 , 05 cm 76 , 53 41 20 ± 0 , 05 cm 44 , 88 25 35 ± 0 , 05 cm 15 , 85 8
Tabela I.
Tem-se então que o aumento do acoplamento reduz o número de ciclos, deixando a transferência de energia mais rápida. Sendo então o ∆T o período para troca de energia. Ainda na analise de batimento foi achado o período dos modos normais pela transformada de Fourier uma vez que os batimentos são uma superposição dos modos normais. Tendo então o gráfico abaixo:
Figura 9. Gráfico: Domínio do período, expansão de Fou- rier,Batimento com mola na distância de 35 centímetros
Tendo então os valores dos períodos dos modos normais pelo batimento iguais à: 1,644 segundos e 1,872 segundos. que são valores que se deve encontrar no acoplamento simétrico e assimétrico pela mesma expansão, ou seja, o valor dos modos normais encontrados pelo batimento, também devem ser encontrados no acoplamento simétrico e assimétrico quando analisado particularmente.
Acoplamento Simétrico
Nessa seção é estudada o acoplamento quando dois pêndulos com o mesmo ângulo são soltos ao mesmo tem- plo tendo uma magnitude de deflexão aproximadamente igual, sendo o resultado, com acoplamento a 35 centíme- tros do eixo de rotação, o gráfico abaixo:
Figura 10. Gráfico: Batimento com mola na distância de 35 centímetros do eixo de rotação
Tendo a figura (10) em vista, a amplitude tende a se manter constante, no entanto há fatores que impedem que isso ocorra, como: erro humano na hora de soltar e o ajuste não tão preciso dos dois pêndulos, tudo isso pode levar a esse batimento suave que ainda pode ser visto no gráfico.
Para o acoplamento simétrico foi encontrado o valor do período do modo normal igual a 1,859 segundos, o que é relativamente próximo do valor encontrado no modo nor- mal do batimento pela expansão de Fourier,tendo uma acurácia de 0 , 7%.
Acoplamento Assimétrico
Para o estudo deste acoplamento, os mesmos cuidados devem-se ser tomados para evitar erros. Neste colocasse os dois pêndulos oscilando em direções opostas, de forma que eles não se choquem durante o experimento, este é então denominado acoplamento assimétrico, que pode ser exemplificado com o gráfico abaixo:
Figura 11. Pêndulo acoplado assimétrico
utilizando a mesma expansão de Fourier é possível en- contrar o período do modo normal do acoplamento as- simétrico tendo valor o valor de 1,662 segundos, o que é relativamente próximo do valor encontrado no modo normal do batimento, tendo uma acurácia de 1,13%.
Comparação entre a frequência nos mínimos do batimentos e as frequências encontradas nos modos normais
Considerando o acoplamento onde h=35 centímetros, e a equação (16) temos a seguinte informação:
fbatimento = |fmodo 1 − fmodo 2 | (24)
Que deve bater com o modelo experimental. O valor de |fmodo 1 − fmodo 2 | ≈ 0 , 0634 e o valor de fbatimento ≈ 0 , 0630
Quem rege quem?
Analisando todos os gráficos acima, temos a evidencia de que há a transferência de energia entre os pêndulos acoplados, sendo a figura (8) a que mais evidencia tal afirmação, nos outros casos ainda há a percepção do ba- timento por conta de erros humanos e instrumentais que podem levar a esses batimentos suaves, nos gráficos (10) e (11), já mencionados.Não há como saber quem dirige quem, no entanto é possível perceber que um transfere energia para o outro, tendo por consequência o aumento da amplitude de um e o oposto para o outro.
Os dois pêndulos não idênticos
Além dos casos já mencionados, há o caso de pêndu- los com frequências de oscilações diferentes que pode ser discutido pelo gráfico abaixo:
Figura 12.
Um dos pêndulos receberá toda a energia do outro, ou seja, um dos pêndulos sempre estará oscilando e o outro terá paradas. Apesar disso, ainda haverá transferência de energia, visto que é perceptível o batimento pelo gráfico apresentado.
Acoplamento Máximo
No acoplamento máximo, quando a mola está mais pró- xima do peso, temos como resultado o seguinte gráfico:
Figura 13.
muda sua amplitude, que não atinge o zero. Dessarte, o experimento foi feito de forma acurada e categórica, uma vez que seu resultados ressaltam a teoria e concordam com o esperado. Pequenos erros, que não afetaram consideravelmente os resultados, foram cometi- dos e seria interessante melhoras no sistema de aquisição de dados, maior semelhança entre as massas usadas, uso de hastes mais estáveis e melhor conhecimento sobre a mola usada para o acoplamento. Apesar disso, o trata- mento de dados e a observação dos fenômenos caracte- rísticos do sistema se deram sem grandes dificuldades ou discrepâncias.
PARTICIPAÇÕES
- Introdução, metodologia e procedimentos - Bruno Rodrigues Soares - Dados experimentais e análise - Lucas Martins - Discussão e conclusões - Hugo Teolfe Felipe Silva
BIBLIOGRAFIA
[1] J. Taylor, Introduction to error analysis, the study of un- certainties in physical measurements (1997). [2] D. Halliday, R. Resnick, and J. Walker, Fundamentos de Física, Volume 2: Gravitação, Ondas e Termodinâmica,
- a^ Edição (2009). [3] S. T. Thornton and J. B. Marion, Dinâmica clássica de partículas e sistemas (Cengage Learning São Paulo, 2011).
