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Pêndulo Simples
J. C. Filho, T. R. Freitas, M. S. M. Junior. Instituto de Física - Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, 2121 - Santa Mônica – 38400-902 – Uberlândia – MG - Brasil e-mail: [email protected]
Resumo. Neste relatório da experiência do pêndulo simples, apresentam-se as medidas e análises sobre o movimento de um pêndulo simples. Na execução experimental uma massa pendurada por um fio executa oscilações, sendo que, em primeira análise são feitas pequenas oscilações com < 15 o,^ e em seguida oscilações de ângulos superiores a < 15 o. Com os dados foi medido o período da oscilação como função do comprimento da corda. Após a análise dos resultados, obteve-se que a aceleração da gravidade para oscilações com < 15 o^ é 10,07 0,18 m/s 2 e para oscilações com > 15o^ é 10,23 0,16 m/s^2_._
Palavras chave: pêndulo simples, oscilações, aceleração da gravidade.
1. Introdução O corrente relatório, referido a disciplina de laboratório de Física 2 do curso de física de materiais, sobre o tema Pêndulo simples, apresenta os resultados obtidos de acordo com os experimentos realizados.
O Objetivo desse experimento é a determinação da gravidade local a partir de medidas do período de oscilação de um pendulo simples, por dois métodos: Primeiro para ângulos menores que 1 radiano e segundo para ângulos maiores que 1 radiano. De acordo com outros experimentos realizados por diversos experimentadores, revela que os resultados teóricos do valor da aceleração da gravidade g, não são constantes, pois depende da altitude e da latitude do local em que é feito as medidas.
Durante a execução dos procedimentos é possível perceber a relação entre o período e o comprimento do fio, assim como para quando a oscilação ocorre para ângulos pequenos e grandes. Porém, tal relação entre o período e o comprimento do fio não é linear. Ao usar o valor do período ao quadrado, obtém-se uma relação linear com o comprimento do fio. Tais gráficos serão apresentados no decorrer do relatório.
2.
Teoria
O pêndulo simples é um sistema físico composto por um corpo suspenso por um fio (considerado inextensível e de massa desprezível em relação à massa do corpo suspenso). Ao afastar o pêndulo da posição de equilíbrio e soltá-lo, o sistema passa a oscilar no plano vertical, sob a ação da força da gravidade.
Analisando a figura 1, é possível compreender que L é o comprimento do fio, desde o centro de massa do objeto até o ponto fixo de oscilação, e que as componentes da força peso são dadas de acordo com os eixos delimitados, por:
(1)
(2)
O torque necessário para fazer o objeto girar é:
Pela segunda lei de Newton, tem-se para um movimento circular que o torque resultante é:
(4)
Ao igualar as expressões (3) e (4), sabendo que o momento de inércia no centro de massa de uma esfera pequena é , e que para um movimento onde é suficientemente pequeno, usa-se a aproximação , obtém:
(5)
Com a solução do movimento harmônico simples, conclui que a frequência de oscilação é:
(6)
Como , tem-se:
(7)
Elevando ao quadrado os dois lados da equação (7), tem-se:
(8)
Essa equação é linear. Comparando com uma equação de reta geral, , é fácil perceber que, , , ,.
Com isso é possível encontrar o valor da aceleração local da gravidade por:
(9)
A expressão (9) nos permite calcular o valor da aceleração da gravidade g , com base no período de oscilação do pêndulo T e do comprimento do fio L.
3. Procedimento Experimental Usou-se uma esfera (como podemos ver na equação ( 7 ), não é necessário conhecer a massa da esfera) e diversos comprimentos L de fio. A figura 2 representa o aparato experimental. Foi usada uma trena para medir os comprimentos do fio e um cronômetro para calcular os períodos de oscilações.
Figura SEQ Figura * ARABIC 1: Diagrama de um corpo isolado do
Tabela SEQ Tabela * ARABIC 4: Valores da média dos períodos ao quadrado (), associados aos comprimentos do fio, e seus respectivos erros associados , para oscilações cujos ângulos < 15 o. L (m) (m) (s 2 ) (s 2 ) 0,1 0,0005 0,40 1,27E- 0,2 0,0005 0,80 1,79E- 0,3 0,0005 1,18 2,17E- 0,4 0,0005 1,57 2,51E- 0,5 0,0005 1,97 2,81E-
Com os valores referentes à tabela 4, é possível construir o gráfico T 2 vs. L, e confirmar a relação linear que existem entre essas grandezas.
O próximo conjunto de tabelas está descrito as medidas do tempo decorrido entre 10 oscilações (), associado aos comprimentos do fio, relacionados às oscilações cujos ângulos foram > 15 o^ ou um radiano. Essas medidas da segunda parte do experimento estão catalogadas na tabela 5 a seguir.
Tabela SEQ Tabela * ARABIC 5: Medidas do tempo decorrido entre 10 oscilações (), associado aos comprimentos do fio, para oscilações cujos ângulos > 15 o. L (m) 10T 1 (s) 10T 2 (s) 10T 3 (s)
0, 0, 0, 0, 0,
6, 9, 11, 12, 14,
6, 9, 11, 12, 14,
7, 9, 11, 13, 14, Tabela 6: Medidas do período de oscilações (), associado aos comprimentos do fio, para oscilações cujos ângulos > 15 o. L (m) T 1 (s) T 2 (s) T 3 (s) 0,1 0,69 0,69 0, 0,2 0,93 0,93 0, 0,3 1,11 1,12 1, 0,4 1,29 1,25 1, 0,5 1,42 1,42 1,
Note que a tabela 6 consta o valor de um período em cada uma das três medidas e não dez períodos como medido e descrito pela tabela 5.
Na tabela 7, encontra-se o valor médio dos períodos medidos para cada comprimento L. Esses valores médios que serão usados para desenhar o gráfico e averiguar a relação entre as grandezas, T e L. É possível também encontrar os erros associados à medida do comprimento do fio, e o erro padrão da média dos períodos.
Tabela 7: Valores da média dos períodos de oscilações , associados aos comprimentos do fio, e seus respectivos erros associados, para oscilações cujos ângulos > 15 o. L (m) (m) (s) (s) 0,1 0,0005 0,69 0, 0,2 0,0005 0,93 0, 0,3 0,0005 1,12 0, 0,4 0,0005 1,28 0, 0,5 0,0005 1,42 0,
De acordo com a equação (7), percebe-se que o período e o comprimento do fio, não possuem uma relação linear. Porém, ao elevar ao quadrado os dois membros da equação (7), obtém uma relação linear entre o período ao quadrado (T 2 ), e o comprimento do fio (L). Os valores referentes a esta relação linear, estão descritos na tabela 8 a seguir.
Tabela 8: Valores da média dos períodos ao quadrado (), associados aos comprimentos do fio, e seus respectivos erros associados , para oscilações cujos ângulos > 15 o. L (m) (m) (s 2 ) (s 2 ) 0,1 0,0005 0,48 1,38E- 0,2 0,0005 0,87 1,87E- 0,3 0,0005 1,25 2,24E- 0,4 0,0005 1,65 2,57E- 0,5 0,0005 2,02 2,84E-
Com os valores referentes à tabela 8, é possível construir o gráfico T 2 vs. L, e confirmar a relação linear que existem entre essas grandezas.
As tabelas construídas serão de extrema ajuda para obter os gráficos, e ser possível analisar a relação entre o período de oscilação T, e o comprimento do fio L.
- Gráficos
Com os valores referentes à tabela 3, tabela 4, tabela 6 e tabela 8, são possíveis construir os gráficos apropriados e analisá-los. Os gráficos construídos serão para as situações em que o movimento do pêndulo foi gerado para oscilações cujos ângulos < 15 o^ ou um radiano e para oscilações cujos ângulos > 15 o^ ou um radiano.
Utilizando os dados das tabelas 4 e 8, pode-se calcular o valor da aceleração da gravidade (g) no local de realização do experimento fazendo uso da expressão (9).
Os gráficos a seguir serão para as oscilações cujos ângulos < 15 o^ ou um radiano.
A figura 3 representa o gráfico T vs L, referente aos dados da tabela 3.
É possível visualizar, mesmo com um numero pequenos de dados, que a relação entre o período T, e o comprimento do fio L, não é linear. Mas de acordo com a equação (8), é possível ter uma relação linear entre as grandezas, período ao quadrado T^2 e comprimento L. A figura 4, representa o gráfico relacionando tais grandezas, com sua respectiva reta linear.
A reta linear na figura 4 foi obtida via programa Scidavis. A equação da reta que melhor define os dados é: , com e. Com isso a equação da reta para ângulos menores que um radiano é:
Com o valor do parâmetro , e seu respectivo erro, e de acordo com a equação (9), o valor da gravidade local para esses conjuntos de dados referentes à figura 4, e seu erro associado é:
Tal valor da aceleração da gravidade local em Uberlândia, esta com um erro percentual ao valor tabelado para a cidade de 2,92%.
Até então foi analisado os gráficos para as oscilações cujos ângulos < 15 o^ ou um radiano.
Os gráficos a seguir serão para as oscilações cujos ângulos > 15 o^ ou um radiano.
A figura 5 representa o gráfico T vs L, referente aos dados da tabela 6.
Figura SEQ Figura * ARABIC 3: Gráfico de período T, por comprimento do fio L, com barras de erros, referente ao experimento de pendulo simples, para oscilações cujos ângulos < 15 o.
Figura SEQ Figura * ARABIC 4: Gráfico de período ao quadrado T^2 , por comprimento do fio L, com barras de erros, referente ao experimento de pendulo simples, para oscilações cujos ângulos < 15o.
possível perceber a relação que existe entre o período e o comprimento do fio, e que essas grandezas são proporcionais.
Analisando a dependência dita anteriormente entre o período T e o comprimento do fio L, encontramos um valor para a constante de aceleração gravitacional e seu respectivo erro associado:
- Para oscilações cujos ângulos são menores que um radiano, com discrepância de um erro percentual, ao valor tabelado para a cidade de Uberlândia, de 2,92%.
- (^) Para oscilações cujos ângulos são maiores que um radiano, é igual a com discrepância de um erro percentual, ao valor tabelado para a cidade de Uberlândia, de 4,52%.
O experimento foi efetuado buscando sempre medir os dados com a melhor perícia. Porém, alguns fatores externos como o atrito da bola com o ar, e entre o fio e o ponto fixo, faz com que ocorra flutuação no resultado desejado da aceleração gravitacional. Outro fator é a imprecisão dos ângulos que se usa para as oscilações. Resultados com maior precisão é possível colhendo uma maior quantidade de dados, e manter a oscilação sempre para os mesmo ângulos, conforme altere o comprimento do fio.
Referências NUSSENZVEIG, H. M. - Curso de Física Básica 2 - Fluidos, Oscilações e Ondas e calor - 4ª Edição – Edgard Blücher Ltda. - (2002).
MAROJA, ARMANDO; VITURINO, MANOEL; PEREIRA, JEFFERSON - Medida da Aceleração da Gravidade. In: Simpósio Nacional de Ensino de Física, XVI,
- CEFET/RJ, Rio de Janeiro. Pôster. Sociedade Brasileira de Física, 297-1, 2005. < http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xvi/cd/ resumos/T0297-1.pdf>
