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CURSO DE PROBABILIDADE E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
Capítulo I - Conceitos Básicos da Teoria da Probabilidade
1.1 - Espaço Amostral (S) É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
1.2 - Evento (E) É um conjunto composto de resultados possíveis de um experimento aleatório pertencentes ao espaço amostral.
1.3 - Cálculo da Probabilidade
1.3.1- Frequência Relativa.
Considere um experimento aleatório repetido n vezes, onde n (^) A representa o
número de vezes que o evento A, definido para este experimento, ocorre nas n repetições do experimento. Denomina-se de freqüência relativa (f (^) A ) do evento A ocorrer para a relação:
f (^) A = n (^) A / n
1.3.2 - Definição de Probabilidade
- Definição Clássica: Considerando-se que os resultados possíveis de um experimento aleatório, contidos no espaço amostral, são igualmente prováveis de ocorrer, então a probabilidade de ocorrência de um evento A, definido para o experimento aleatório, é dada por:
P(A) = NA / N (1) onde:
NA - é o número de resultados pertencentes ao evento A.
N - é o número total de resultados pertencentes ao conjunto do espaço amostral.
- Definição de Freqüência Relativa:
P(A) = lim fA = lim nA / n nF 0A EF 0A 5 nF 0A EF 0A 5 desta forma deduz-se que para se obter a probabilidade de ocorrência do evento A é necessário repetir o experimento infinitas vezes.
- Definição Axiomática: a) 0 F 0A 3 P(A) F 0A 3 1 b) P(S) = 1
c) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos,isto é, A∩B = ø então:
P(AUB ) = P(A) + P(B)
d) Se A1, A2, ..., An são dois a dois eventos mutuamente exclusivos, então: n n P(U Ai) = P(A1) +P(A2) +...+P(A (^) n) = F 0E 5 P(A (^) i ) i = 1 i = 1
1.4 – Propriedades da Probabilidade a) Se F 06 6 é o evento impossível (vazio), então: P(F 06 6 ) = 0 _ b) Se A é o evento complementar do evento A, então:
_
P(A) = 1- P(A)
c) Se A e B são eventos quaisquer, então: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A F 0C 7 B)
1.5 - Probabilidade Marginal Sejam A 1 , A (^) 2, ..., A (^) n são eventos mutuamente exclusivos entre si, associados a um
espaço amostral S, onde: U ni =1 Ai = S. Seja BJ um evento também associado ao espaço amostral S, que ocorre conjuntamente (possui interseção) com todos os eventos Ai. B (^) J = (BJ^ F 0C 7 A (^) 1) U (BJ^ F 0C 7 A (^) 2) U... U (BJ^ F 0C 7 An) = B (^) J F 0C 7 S
B (^) J = (U^ ni =1 Ai^ F 0C 7 B^ J),então P[BJ] =^ F 0E 5^ n i =1 P[A^ i F 0C 7 B^ J] - Probabilidade Marginal
1.6 - Probabilidade Condicional
Ex 1- Considere o experimento aleatório que consiste na retirada de dois componentes de um lote formado de 10 componentes defeituosos e 40 não defeituosos. Para este experimento são definidos os seguintes eventos: A - O primeiro componente retirado é defeituoso. B - O segundo componente retirado é defeituoso. Determine a probabilidade dos eventos A e B considerando que os componentes são retirados sem reposição. Solução: a) P(A) = 10/50 P(B) = 9/49 (considerando que A ocorreu) Agora os eventos são redefinidos: A – O primeiro componente retirado é perfeito. B – O segundo componente retirado é defeituoso. Determine a probabilidade dos eventos A e B considerando que os componentes são retirados sem reposição. Solução: b) P(A) = 40/50 P(B) = 10/49 ( considerando que A ocorreu)
O que pode-se concluir desses resultados é que a probabilidade de ocorrência do evento B está condicionada a ocorrência anterior do evento A, portanto existe a necessidade de se introduzir o conceito de probabilidade condicional (ou condicionada). Sejam A e B eventos associados a um experimento aleatório. Representaremos por P(B/A) a probabilidade condicional do evento B ocorrer dado que o evento A tenha ocorrido
Ex 2- Considere o experimento de retirada de duas cartas, uma de cada vez, de um conjunto formado de quatro cartas de baralho numeradas de 1 a 4. Para este experimento são definidos os seguintes eventos: A- a soma dos números contidos nas cartas retiradas é igual a cinco; B- o número contido na primeira carta retirada é maior do que o número contido na segunda carta retirada. Determine as Probabilidades P(A) , P(B) e P(B/A). Solução: Espaço amostral S: S={(1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4); (3,4); (2,1); (3,1); (4,1); (3,2); (4,2); (4,3)} Conjunto dos Eventos A e B:
P[A/B] = P[A] e P[B/A] = P[B] P[A.B] = P[A/B] P[B] = P[B/A] P[A] F 0D E P[A.B] = P[A] P[B]
1.9 - Teorema de Bayes Considere que os eventos A (^) 1, A2,.. ., A (^) n constituem uma partição do espaço amostral S, onde P[Ai] > 0. Seja B um evento que ocorre conjuntamente com todos os eventos A (^) i. Deseja-se determinar a probabilidade de ocorrência de um dos eventos A (^) i dado que o evento B ocorreu.
P[Ai / B] = P[A^ i.B] / P[B]
P[B] = F 0E 5^ n i =1 P[B / A (^) i ] P[A (^) i ] – probabilidade total
Como P[Ai.B] = P[B / A (^) i ] P[A (^) i ], então tem-se que:
P[Ai / B] = {P[B / A^ i ] P[Ai ]} /^ F 0E 5^ nj =1 P[B / Aj ] P[Aj ]
Ex 1.1.1- Um experimento aleatório consiste na retirada de duas cartas ao mesmo tempo de um conjunto de 4 cartas composta de um Ás, um Rei, um Valete e uma Dama. Determine o espaço amostral desse experimento.
Ex 1.1.2- Uma moeda é lançada duas vezes. Determine o espaço amostral.
Ex 1.2.1- Um experimento aleatório consiste na retirada de uma carta de um conjunto de 4 cartas numeradas de 1 a 4. Determine o conjunto do evento, sabendo-se que o evento é definido como sendo a retirada de uma carta par ou uma carta impar.
Ex 1.2.2- Para o exemplo anterior, o evento é definido como sendo a retirada de uma carta par.
Ex 1.2.3 - Um dado é lançado uma vez. O evento E é definido como sendo o aparecimento do número sete na face superior do dado. Determine E , o conjunto do evento.
Ex 1.3.2.1- Com os dígitos 1, 4, 7, 8, e 9 são formados números de 3 algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade dele ser ímpar?
Ex 1.3.2.2- Um dado não viciado é lançado uma única vez. Qual é a probabilidade de aparecer um número par na sua face superior?
Ex 1.5.1- Testes de qualidade foram realizados nos circuitos integrados produzidos por diversos fabricantes, tendo-se obtido os seguintes resultados em relação aos defeitos encontrados:
Fabricantes Classe de Defeitos Total
Nenhum ( N ) Sério ( S ) Crítico ( C )
F1 50 15 20 85
F2 30 5 15 50
F3 20 10 5 35
Total 100 30 40 170
Qual é a probabilidade de que um circuito integrado, selecionado aleatoriamente dos 170 não apresente defeito?
Ex. 1.6.1- Suponha que em uma loja existam 20 microcomputadores, conforme mostra a tabela abaixo. Alguns micros possuem 120Gbytes (120G) de memória rígida, enquanto outros possuem 80Gbytes (80G). Alguns micros têm monitor de 15 polegadas (M15) e outros têm monitor de 17 polegadas (M17).Um cliente entra na loja e escolhe, aleatoriamente, um micro e observa na ficha técnica do equipamento que o mesmo possui um monitor de 15 polegadas. Qual é a probabilidade de que este micro possua 120 Gbytes de memória rígida.
120G 80G Total M15 8 6 14 M17 2 4 6 Total 10 10 20
Ex. 1.7.1- Uma caixa contém 2.000 componentes, dos quais 5% são defeituosos. Uma segunda caixa contém 500 componentes, dos quais 10% são defeituosos. Seleciona-se, aleatoriamente, uma das caixas e retira-se dela um componente. Qual é a probabilidade do componente ser defeituoso?
Ex. 1.8.1- Considere o lançamento de dois dados. Os eventos A e B são definidos da seguinte maneira: A - o primeiro dado mostra um número par; B - o segundo dado mostra um número impar Verifique se os eventos são independentes.
Ex. 1.9.1- Um canal de comunicação binário é um sistema de transmissão onde os dados são transmitidos na forma de 0 e 1. Por causa do ruído um 0 transmitido é algumas vezes recebido como 1 e um 1 transmitido é algumas vezes recebido como 0. Assuma que para um certo canal de comunicação binário a probabilidade de que um 0 transmitido seja recebido como 0 é de 0,95 e a probabilidade de um 1 transmitido seja recebido como 1 é de 0,9. Também assuma que a probabilidade de um zero ser transmitido é de 0,4. Ache: a) a probabilidade de um 1 seja recebido?; b) a probabilidade de que um 1 é transmitido dado que um 1 é recebido?
Capítulo II - Variáveis Aleatórias (v.a.)
2.1 - Conceito de Variável Aleatória. Os resultados obtidos em um experimento aleatório são especificados no espaço amostral S. Para cada resultado s F 0C E S será associado um número real X(s), através de uma regra X denominada de variável aleatória. X é uma função cujo domínio é o espaço amostral S e o contradomínio é o conjunto RX composto pelos números X(s). S RX
a) f(x) F 0B 3 0 ; F 02 2 x F 0C E R (^) X F 0 A 5 b) F 0F 2 f(x) dx = 1
2.4.4- Função Distribuição de Probabilidade para uma Variável Aleatória Contínua. Se f(x) é uma função densidade de probabilidade, então a função: x F(x) = F 0F 2 f(x) dx
- F 0A 5 é denominada de função distribuição de probabilidade da variável aleatória contínua X.
2.4.5- Propriedades da Função Distribuição de Probabilidade,
a) F(x) é crescente, isto é, se x 1 F 0A 3 x2, então tem-se que F(x1) F 0A 3 F(x2);
b) lim F(x) = 0 = F(-F 0A 5 );
xF 0A E - F 0A 5 c) lim F(x) = 1 = F(F 0A 5 ) xF 0A E^ F 0A 5
d) dF(x) /dx = f(x):
e) F(x) é contínua a direita, isto é, F(x+) = F(x) , onde: F(x+^ ) = lim F(x +^ F 06 5 ) F 0 6 5F 0 A E 0 F 0 6 5F 0 3 E 0
Cálculo de Probabilidade: b a) Para um intervalo [a,b] a P[a F 0A 3 X^ F 0A 3 b] =^ F 0F 2 f(x) dx = F(b) – F(a); onde aF 03 C b a b) Sendo X uma v.a. contínua a P[ X= x 0 ] = 0 2.5 - Funções Distribuições Pré-Definidas.
São funções previamente conhecidas e utilizadas para descrever o comportamento probabilístico de certos fenômenos aleatórios.
2.5.1- Funções Distribuições Pré-Definidas para Variável Aleatória Discreta.
2.5.1.1 -Distribuição Binomial
a) Características: a.1) O experimento aleatório é repetido n vezes; a.2) O experimento aleatório conduz a somente dois resultados ou eventos; a.3) As n realizações do experimento aleatório são independentes; a.4) As probabilidades dos eventos permanecem constantes nas n repetições.
b) Parâmetros que caracterizam a Distribuição Binomial: b.1) p - representa a probabilidade do evento de interesse ocorrer; b.2) q - representa a probabilidade do outro evento ocorrer; b.3) n - representa o número de vezes que o experimento é repetido;
b.4) xi - representa o número de vezes que o evento de interesse ocorre ou o valor que a
variável aleatória pode assumir b.5) p+ q = 1
c) Função Densidade de Probabilidade para a Distribuição Binomial. x (^) i xi n-x^ i p(x (^) i ) = C p q F 0A E representa a probabilidade do evento de n interesse ocorrer xi vezes nas n repetições
d) Função Distribuição de Probabilidade para a Distribuição Binomial x xi xi n-x (^) i F(x) = F 0E 5 C p q xi = 0 n
2.5.1.2 – Distribuição de Poisson Representa uma extensão da distribuição binomial e se aplica quando o número de vezes que o experimento é repetido é muito grande e a probabilidade do evento de interesse ocorrer é muito pequena. a) Parâmetros a.1) F 06 C - representa um valor médio e é dado por F 06 C = n P a.2) xi - representa o número de vezes que o evento de interesse ocorre ou o valor
que a variável aleatória pode assumir b) Função Densidade de Probabilidade da Distribuição de Poisson
- F 06 C xi p(x (^) i) = e^ F 06 C / x^ i^ F 02 1
c) Função Distribuição de Probabilidade da Distribuição de Poisson x - F 06 C xi
F(x) = F 0E 5 e^ F 06 C / x^ i^ F 02 1 xi = 0
2.5.2 - Funções Distribuições Pré-definidas para Variável Aleatória Contínua.
2.5.2.1 – Uniforme (Retangular) ou Uniformemente Distribuída
a) Função densidade de probabilidade
f(x) = { 0 ; x F 0A 3 a { 1/ (b-a) ; a F 0A 3 x F 0A 3 b com b F 03 E a { 0 ; x F 0B 3 b
b) Função distribuição de probabilidade F(x) = { 0 ; x F 0A 3 a
{ (x-a) / (b-a) ; a F 03 C x^ F 03 C b { 1 ; x F 0B 3 b
2.5.2.2 - Distribuição Gaussiana ou Normal – N( F 06 D x ; F 07 3^2 x )
a) Função densidade de Probabilidade:
- (1/2) [( x - F 06 D x) / F 07 3 x] 2
2.6.2 - Probabilidade associada a variável aleatória bidimensional. Objetivo é determinar P[ X=X(s), Y= Y(s)], ou seja, a probabilidade da V. A. X assumir o valor X(s) e a V. A. Y assumir o valor Y(s).
2.6.3 - Variáveis aleatórias bidimensionais discretas e contínuas. Se o R (^) XY é composto de números discretos, então a V. A. será discreta. Se o R (^) XY é
composto de números contínuos , então a V. A. será do tipo contínua.
2.7 - Função densidade de probabilidade conjunta e função distribuicão de probabilidade conjunta para uma variável aleatória bidimensional.
2.7.1- Função densidade de probabilidade conjunta para uma V.A. bidimensional discreta. é uma função definida por p(x (^) i, y (^) J) = P[X= xi , Y= y (^) J] e tem que satisfazer as seguintes condições:
a) p(xi, yJ) F 0B 3 0 F 02 2 xi ,yJ F 0C E R (^) XY
F 0 A 5
F 0 A 5 b) F 0E 5^ F 0E 5 p(x (^) i, yJ) = 1 yJ= -^ F 0A 5 xi= -^ F 0A 5
2.7.2 - Função distribuição de probabilidade conjunta para uma variável aleatória bidimensional discreta. De uma forma geral. chama-se de função distribuição de probabilidade conjunta para a função F(x,y)=P[XF 0A 3 x,YF 0A 3 y].
Para uma variável aleatória bidimensional discreta tem-se que; y x F(x,y)= F 0E 5^ F 0E 5 p(x (^) i , yJ)
y (^) J= -^ F 0A 5 xi = -^ F 0A 5
2.8 - Função densidade de probabilidade conjunta e função distribuição de probabilidade conjunta para uma variável aleatória bidimensional contínua.
2.8.1- Função densidade de probabilidade conjunta. Chama-se de função densidade de probabilidade conjunta para a função representada por f(x,y) e que tem que satisfazer as seguintes condições:
a) f(x,y) F 0B 3 0 F 02 2 x,y F 0C E R (^) XY ; F 0 A 5
F 0 A 5 b) F 0F 2^ F 0F 2 f(x,y) dx dy = 1
2.8.2- Função distribuição de probabilidade conjunta.
Se a função f(x,y) é uma função densidade de probabilidade conjunta, então a função representada por y x F(x,y)= F 0F 2^ F 0F 2 f(x,y) dx dy é denominada de função distribuição
- F 0A 5 - F 0A 5 de probabilidade conjunta
2.8.3 - Propriedades da função distribuição de probabilidade conjunta.
a)F(-F 0A 5 ,-F 0A 5 ) = 0; b) F(-F 0A 5 , y)= 0; c) F(x,- F 0A 5 ) = 0; d)F(F 0A 5 ,y) = FY (y) F 0A E função distribuição de probabilidade marginal da variável aleatória Y;
e)F(x,F 0A 5 ) = FX (x) F 0A E função distribuição de probabilidade marginal da variável aleatória
X; f) F(F 0A 5 , F 0A 5 ) = 1 g) f(x ,y ) = F 0B 6^2 F(x,y) / F 0B 6 X F 0B 6 Y
2.9 - Função Densidade de Probabilidade Marginal e Função Distribuição de probabilidade Marginal.
A variável aleatória Bidimensional (X,Y) é composta de duas variáveis aleatórias unidimensionais X e Y. Se estivermos interessados em estudar as características de apenas uma das variáveis aleatórias que compõem a variável aleatória bidimensional, então as características desta variável aleatória são denominadas de marginais. Para tanto é necessário que nenhuma restrição seja imposta em relação aos valores que a outra variável aleatória possa assumir
2.9.1- Função Densidade de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Discreta É a função designada por p (^) X (x (^) i)= P[X=x (^) i , sem nenhuma restrição sobre a v. a. y]. a v. a. Y pode assumir todos os valores desde -F 0A 5 até +F 0A 5 , ou seja: pX(x (^) i ) = P[X=xi ,Y=y1;ou X=x (^) i , Y=y 2 ; ou ...] F 0 A 5
F 0 A 5 p (^) X(x (^) i ) = F 0E 5 P[X=xi ,Y=y (^) J] F 0A E pX (x (^) i) = F 0E 5 p(x (^) i , yJ)
y (^) J= -F 0A 5 yJ= -F 0A 5
2.9.2- Função Distribuição de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Discreta. É a função representada por: FX (x) = P[XF 0A 3 x, sem nenhuma restrição sobre a V. A. Y] FX (x) = P[XF 0A 3 x, YF 0A 3^ F 0A 5 ] = F(x,^ F 0A 5 ) x F 0A 5 x FX (x) =^ F 0E 5^ F 0E 5 p(x^ i, yJ)^ F 0A E FX (x) =^ F 0E 5 pX (x^ i) x (^) i= -F 0A 5 yJ = -^ F 0A 5 xi = -F 0A 5
2.9.3- Função Densidade de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Contínua.
Por analogia com a função densidade de probabilidade Marginal obtida para uma variável aleatória discreta, tem-se que a função a função densidade de probabilidade marginal para uma variável aleatória é dada por:
F 0 A 5 f (^) X(x) = F 0F 2 f(x,y) dy
2.9.4- Função Distribuição de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Contínua.
Sabe-se que F(x, F 0A 5 ) = FX (x) representa a função distribuição de probabilidade marginal da V. A. X, então: x F 0A 5 x FX (x) = F 0F 2^ F 0F 2 f(x,y) dy dx F 0A E F (^) X (x) = F 0F 2 f (^) X (x) dx
FX/Y (x /y) = F(x,y) / F (^) Y (y)
x y y FX/Y (x /y) = F 0F 2^ F 0F 2 f(x,y) dy dx / F 0F 2 f (^) Y (y) dy
- F 0A 5 -^ F 0A 5 -^ F 0A 5
2.11 - Variáveis Aleatórias Independentes
Do primeiro capítulo sabe-se que P[A.B]=P[A] P[B] para que os eventos A e B sejam independentes.
2.11.1 - Independência de Variáveis Aleatórias Discretas
a) Em relação a Função Densidade de Probabilidade.
p(x (^) i , yJ) = P[X=x (^) i, Y=y (^) J] F 0D E p(x (^) i , yJ) = P[X=x (^) i] P[ Y=yJ]
p(x (^) i , yJ) = p (^) X(x (^) i ) p (^) Y(y (^) J )
b) Em Relação a Função Distribuição de Probabilidade
P[XF 0A 3 x ,YF 0A 3 y]= P[XF 0A 3 x] P[YF 0A 3 y]
F(x,y) = FX(x) F (^) Y (y)
2.11.2- Independência de Variáveis Aleatórias Contínuas
a) Em relação a Função Densidade de Probabilidade.
Por analogia com o caso discreto tem-se que:
f(x,y) = fX (x) f (^) Y (y)
b) Em relação a Função Densidade de Probabilidade.
Por analogia com o caso discreto tem-se que:
P[XF 0A 3 x ,YF 0A 3 y] = P[XF 0A 3 x] P[YF 0A 3 y]
F(x,y) = FX(x) F (^) Y (y)
Ex 2.1.1- Duas cartas são retiradas ao mesmo tempo, de um conjunto formado pelas cartas de número 1, 2, 3 e 6. Para este experimento aleatório a variável aleatória X representa o produto dos números que as cartas retiradas mostram. Faça a representação esquemática desta variável aleatória e obtenha o seu contradomínio RX.
Ex 2.2.1- Determine a probabilidade da variável aleatória X, definida no exemplo anterior, assumir os valores 2 e 6.
Ex 2.4.2.1- Um experimento aleatório consiste na retirada de duas bolas, ao mesmo tempo, de uma urna contendo três bolas azuis e duas vermelhas. Para este experimento é definida a variável aleatória X como sendo o número de bolas azuis retiradas. Determine a função densidade de probabilidade de X.
Ex 2.4.2.2- Para o experimento aleatório acima referido, determine a probabilidade da variável aleatória assumir os seguintes valores: a) x F 03 E 1 ; b) 0F 03 C x F 0A 3 1 ; x F 0A 3 3
Ex 2.4.2.3- Faça a representação gráfica da função densidade de probabilidade da v.a. X referida no exemplo 1
Ex 2.4.4.1 - A v.a. X tem f(x) = a x ; 0 F 0A 3 x^ F 0A 3 1 ax / 2 ; 1 F 0A 3 x F 0A 3 2 0 ; para outros x Determine: a) o valor de a para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade; b) F(x).
Ex 2.4.4.2- Determine P[ X F 0A 3 3/2] para a variável aleatória X do exemplo anterior.
Ex 2.5.1.1.1- Qual é a probabilidade de obter-se, exatamente, duas vezes o número 1 em três lançamentos de um dado não viciado?
Ex 2.5.1.1.2- Qual é a probabilidade de obter-se, no máximo, uma vez o número 1 em três lançamentos de um dado não viciado?
Ex 2.5.1.2.1- A probabilidade de ser produzida uma peça defeituosa em uma linha de produção é igual a 3 %. Qual é a probabilidade de que, em uma produção de 300 unidades, sejam encontradas no máximo 3 peças defeituosas?
Ex 2.5.2.1.1- Uma variável aleatória X é uniformemente distribuída entre 10 e 20. Determine a probabilidade da variável aleatória assumir valores entre 12 e 16.
Ex 2.5.2.2.1- Uma variável aleatória X é normalmente distribuída com média igual a 1. e desvio padrão igual a 200. Determine a P[ 800 F 0A 3 X F 0A 3 1.000].
Ex 2.5.2.3.1- Em um experimento aleatório verificou-se que a variável aleatória Y, associada ao experimento, segue uma distribuição exponencial com média igual a 20. Determine a probabilidade desta variável aleatória assumir valores entre 10 e 20, ou seja, P[10 F 0A 3 YF 0A 3
20].
Ex 2.6.1.1- Um experimento aleatório consiste na retirada de duas cartas, ao mesmo tempo, de um conjunto formado pelas cartas 1 , 2 , 3 e 6. Define-se para este experimento as
seguintes variáveis aleatórias: X - representa o produto dos números que as cartas retiradas apresentam; Y - representa a soma dos números que as cartas retiradas apresentam. Determine o contradomínio da v.a. bidimensional (X,Y)
Ex 2.6.2.1- Para o exemplo visto anteriormente, determine as seguintes probabilidades: a) P[ X= 2, Y= 3] ; b) P[X=6,Y=7] ; c) P[X=6, Y=3]
Ex 2.10.2.1- Para o exemplo anterior determine FX/Y (4/2).
Ex 2.10.3.1- Se a função densidade de probabilidade conjunta das Variáveis aleatórias é dada por: f(x,y) = { (x + y) / 3 ; 0 F 0A 3 xF 0A 3 1 ; 0F 0A 3 yF 0A 3 2 { 0 ; para outros intervalos de x e y determine a função densidade de probabilidade condicional fX/Y (x/y);
Ex 2.10.4.1- Para o exemplo anterior determine FX/Y (x/y) = P[XF 0A 3 x / Y=y]
Ex 2.11.2.1- Verifique se as variáveis aleatórias X e Y são independentes , sabendo-se que a função densidade de probabilidade conjunta é dada por:
- y f(x,y) = { (1/2) e ; 0 F 0A 3 xF 0A 3 2 , yF 0B 3 0 { 0 ; para outros intervalos
Capítulo III – Valores esperados
3.1- Valor médio ou Média de uma Variável Aleatória. Representa a média aritmética ponderada dos valores que a variável aleatória assume, tendo como peso a função densidade de probabilidade.
3.1.1- Valor médio para uma Variável Aleatória Discreta. Para equacionar o valor médio vamos realizar o seguinte experimento aleatório: Lança-se uma moeda duas vezes. A variável aleatória X é definida como sendo o número de caras que aparecem nos dois lançamentos.
F 0 A 5 E[X] = F 06 D X = F 0E 5 xi p(x (^) i) x (^) i= -F 0A 5
3.1.2- Valor médio para uma Variável Aleatória Contínua. Por analogia com a equação anterior tem-se que: F 0 A 5 E[X] = F 06 D X = F 0F 2 x f(x) dx
3.2 - Momento É o valor média dos valores que a variável aleatória assume elevados a uma potência r. 3.2.1- Momento para uma V. A. Discreta r F 0A 5 E[ X ] = mr =^ F 0E 5 xir^ p(x^ i ) xi = -^ F 0A 5
3.2.2 - Momento para uma V. A. Contínua. r F 0A 5 E[X] = mr =^ F 0F 2 xr^ f(x) dx
3.3 - Momento Central É o valor médio do desvio da média da V. A. elevado a uma potência r. O desvio da média é a diferença entre os valores que a V. A. assume e a sua média (x (^) i-F 06 D X ) ou (x-F 06 D X) para o caso de uma V. A. discreta ou contínuo, respectivamente.
3.3.1- Momento Central para uma V. A. Discreta F 0 A 5 E[ (X-F 06 D X )^ r^ ] = mcr =^ F 0E 5 (x^ i-F 06 D X )^ r^ p(x^ i) xi = -^ F 0A 5
3.3.2- Momento Central para uma V. A. Contínua F 0 A 5 E[ (X-F 06 D X ) r^ ] = mcr = F 0F 2 (x-F 06 D X) r^ f(x) dx
3.4 Variância É definida como sendo o segundo momento central da variável aleatória, ou seja, Var[X] = F 07 3 x^2 = E[(X-F 06 D x) 2 ]
3.4.1- Variância para uma Variável Aleatória Discreta F 0 F 0 A 5 7 3 x
2 = F 0
E 5 (x^ i^ -
F 0 6 D X^ )^
(^2) p(x (^) i) xi = -^ F 0A 5
3.4.2- Variância para uma Variável Aleatória Contínua F 0 F 0 A 5 7 3 x
2 = F 0
F 2 (x-
F 0 6 D X^ )^
(^2) f(x) dx
Obs. A variância é uma medida de dispersão da variável aleatória e terá um grande valor (será mais dispersa) quanto mais distante da média F 06 D X , a variável aleatória assumir valores com grandes probabilidades e terá um pequeno valor( será menos dispersa ou mais concentrada ) quanto mais próximo da média a variável aleatória assumir valores com grandes probabilidades.
- F 0A 5
3.9 – Função Geratriz de Momentos
Suponha que g(X) seja uma variável, função de uma variável aleatória X complexa, através da expressão g(X) = eF 0 7 7 jX^. Denomina-se de função geratriz de momentos ao valor médio de g(X), isto é, F 06 A X (F 07 7 ) = E[eF 0 7 7 jX^ ].
3.9.1 – Função Geratriz de Momentos para uma Variável Aleatória Discreta. F 0 F 0 A 5 6 A X^ (
F 0 7 7 ) =^
F 0 E 5 e^ F 0 7 7j xi^ p(x (^) i) xi = - F 0A 5
3.9.2 – Função Geratriz de Momentos para uma Variável Aleatória Contínua F 0 F 0 A 5 6 A X^ (
F 0 7 7 ) =^
F 0 F 2 e^
F 0 7 7j x^ f(x) dx
3.9.3 – Aplicação da Função Geratriz de Momentos no Cálculo de Momentos Expandindo-se F 06 A X (F 07 7 ) em uma série de potência, mais precisamente na série de Mclaurin, tem-se:
F 0 6 A X^ (
F 0 7 7 ) =^
F 0 6 1 0 +^
F 0 6 1 1
F 0 7 7 +^
F 0 6 1 2
F 0 7 7
2 +... + F 0
6 1 n^
F 0 7 7
k (^) eq. A
Os coeficientes podem ser obtidos da seguinte maneira:
F 0 6 1 0 =^
F 0 6 A X^ (
F 0 7 7 )
F 0 B DF 0 7 7=^
F 0 6 1 1 = d
F 0 6 A X^ (
F 0 7 7 ) / d
F 0 7 7
F 0 B DF 0 7 7=^
F 0 6 1 2 = (1/ 2
F 0 2 1 ) d
2 F 0 6 A X^ (
F 0 7 7 ) / dF 07 7^2 F 0B DF 0 7 7=
F 0 6 1 k^ = (1/ k
F 0 2 1 ) d^
kF 0 6 A X^ (
F 0 7 7 ) / d
F 0 7 7
kF 0 B DF 0 7 7=
Expandindo-se na série de Mclaurin o termo eF 0 7 7 jX^ tem-se:
eF 0 7 7 j x^ = 1 + j F 07 7 x + (j F 07 7 x) 2 / 2F 02 1 +... + (j F 07 7 x) k^ / kF 02 1
Usando-se o termo eF 0 7 7 jx^ expandido na série de Mclaurin obtém-se : F 0 F 0 A 5 6 A X^ (
F 0 7 7 ) = E[e^
F 0 7 7j X] = F 0 F 2 [1 + j^
F 0 7 7 x + (j^
F 0 7 7 x)^
2 / 2F 0
2 1 +... + (j^
F 0 7 7 x)^
k (^) / kF 0 2 1 ] f(x) dx
F 0 A 5
F 0 A 5
F 0 A 5
F 0 F 0 A 5 6 A X^ (
F 0 7 7 ) =^
F 0 F 2 f(x)dx +^
F 0 F 2 j^
F 0 7 7 x f(x) dx +^
F 0 F 2 [(j^
F 0 7 7 x)^
2 / 2F 0
2 1 ] f(x) dx +^
F 0 F 2 [(j^
F 0 7 7 x)
k (^) / kF 0 2 1 ] f(x) dx
- F 0A 5 - F 0A 5 - F 0A 5 - F 0A 5
F 0 6 A X^ (
F 0 7 7 ) = 1 + j^
F 0 7 7 E[X] + (j
2 F 0 7 7
2 / 2F 0
2 1 ) E[X^
(^2) ]+... + (j k F 0 7 7
k (^) / kF 0 2 1 ) E[X^
k (^) ] eq. B
Comparando-se as equações A e B, tem-se:
F 0 6 1 0 = 1
F 0 6 1 1 = j E[X]^
F 0 D E E[X] =^
F 0 6 1 1 / j
F 0 6 1 2 = j
2 E[X 2 ] / 2F 0
2 1
F 0 D E E[X^
2 ] = 2 F 0
2 1
F 0 6 1 2 / j^
2
F 0 6 1 k^ = j
k (^) E[X k] / kF 0 2 1
F 0 D E E[X^
k] = kF 0 2 1
F 0 6 1 k^ / j^
k
A última expressão, E[Xk] = kF 02 1^ F 06 1 k / jk^ , possibilita o cálculo do k-ésimo momento de
uma variável aleatória X a partir do conhecimento da sua função característica.
Ex 3.1.2.1- Determine o valor médio da variável aleatória X que apresenta a seguinte função densidade de probabilidade: f(x) = { 2x 0 F 0A 3 xF 0A 3 1 { 0 para outros x
Ex 3.2.1.1- Determine o 2 o^ momento da V. A. X que representa o número da face superior
de um dado em um único lançamento
Ex 3.3.1.1- Determine para o exemplo anterior o 2 o^ momento central da V. A. X.
Ex 3.4.1.1- A variável aleatória Y = 2 X, onde X é uma variável aleatória que apresenta a seguinte função densidade de probabilidade:
xi 2 3 4 p(x (^) i) 1/4 1/2 1/
Determine a variância da variável aleatória de Y.
Ex 3.4.2.1- Determine a variância de uma variável aleatória uniformemente distribuída entre 0 e 4.
Ex 3.7.2.1- suponha que a variável aleatória Y esteja relacionada com a variável aleatória X pela expressão Y = -3X/2, onde a V. A. X é uniformemente distribuída entre 0 e 2. Determine o coeficiente de correlação.
Ex 3.8.2.1- Se a função densidade de probabilidade conjunta das Variáveias aleatórias é dada por:
f(x,y) = { (x + y) / 3 0 F 0A 3 xF 0A 3 1 ; 0F 0A 3 yF 0A 3 2 { 0 para outros intervalos de x e y determine o valor médio condicional E[X/Y=1].
Ex. 3.9.1 – Ache a função geratriz de momentos da variável aleatória X uniformemente distribuída entre 0 e 2. Use a função geratriz de momentos para calcular o 2º momento da variável aleatória X.
