Processos Estocásticos e Gaussianos: Definições e Propriedades, Resumos de Processo Estocástico

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Aula 3: Processos Estoc´asticos Estacion´arios e Processos Gaussianos

prof. Andr´e

IFBA

16 de junho de 2021

Sum´ario

(^1) Processos Estoc´asticos Estacion´arios

(^2) Processos Gaussianos

Processos Estoc´asticos Estacion´arios no Sentido Estrito

De forma intuitiva, um processo estoc´astico {X (t), t ∈ T} ´e estacion´ario se suas propriedades estat´ısticas n˜ao mudam com o tempo.

Defini¸c˜ao

Um processo estoc´astico {X (t), t ∈ T} ´e estacion´ario no sentido estrito se, para todos t 1 , t 2 ,... , tk ∈ T e h ∈ T a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada de X (t 1 ), X (t 2 ),... , X (tk ) ´e a mesma de X (t 1 + h), X (t 2 + h),... , X (tk + h).

Observa¸c˜ao

Na pr´atica ´e desej´avel que um processo estoc´astico seja estacion´ario, pois sua an´alise ´e mais simples, uma vez que suas propriedades probabil´ısticas n˜ao mudam com o tempo. Entretanto, acontece que muitos processos da vida real n˜ao s˜ao estacion´arios no sentido estrito. Mesmo se um processo for estritamente estacion´ario pode ser dif´ıcil de mostrar. Felizmente, muitas vezes ´e suficiente mostrar uma forma mais fraca de estacionariedade do que aquela definida acima.

Processos Estacion´anios no Sentido Amplo ou Fracamente Estacion´arios

(WWS)

Define-se agora uma das formas mais comuns de estacionariedade que ´e amplamente utilizada na pr´atica.

Defini¸c˜ao

Um processo estoc´astico ´e chamado de estacion´ario no sentido fraco (WWS) ou estacion´ario no sentido amplo se sua fun¸c˜ao m´edia e sua fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao n˜ao mudam por transla¸c˜oes no tempo. Mais precisamnte, um processo estoc´astico {X (t), t ∈ T} ´e WWS se, para todos t 1 , t 2 , t, τ ∈ T, com τ = t 2 − t 1 , (^1) μX (t) = μX (^2) RX (t 1 , t 2 ) = RX (|τ |)

Processos Estacion´anios no Sentido Amplo ou Fracamente Estacion´arios

(WWS)

Agora, vamos calcular a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao de X (t).

RX (t 1 , t 2 ) = E [X (t 1 )X (t 2 )] = E [cos(t 1 + A)cos(t 2 + A)]

= E {

[cos(t 1 + A − (t 2 + A)) + cos(t 1 + A + (t 2 + A))]}

=

[cos(t 1 − t 2 )] +

E [cos(t 1 + t 2 + 2A)]

=

[cos(t 1 − t 2 )] +

∫ (^2) π

0

cos(t 1 + t 2 + 2y ).

2 π dy

=

[cos(t 1 − t 2 )] +

[sen(t 1 + t 2 + 4π) − sen(t 1 + t 2 )] =

[cos(t 1 − t 2 )]

Dessa forma, as condi¸c˜oes para que o processo estoc´astico seja WWS s˜ao satisfeitas.

Processos Gaussianos

V.as Conjuntamente Normais

As vari´aveis aleat´orias X 1 , X 2 ,... , Xn s˜ao ditas serem conjuntamente normais se, para todos a 1 , a 2 ,... , an ∈ R, a vari´avel aleat´oria a 1 X 1 + a 2 X 2 +... anXn ´e uma vari´avel aleat´oria normal. Tamb´em, um vetor aleat´orio

X =

X 1

X 2

Xn

´e dito ser normal ou Gaussiano se as vari´aveis aleat´orias X 1 , X 2 ,... , Xn s˜ao conjuntamente normais. Uma propriedade de vari´aveis aleat´orias conjuntamente normais ´e que sua fun¸c˜ao de densidade de probabilidade conjunta fica completamente determinada pela sua matriz de m´edias e sua matriz de covariˆancias.

Processos Gaussianos

Defini¸c˜ao

Um processo estoc´astico {X (t), t ∈ T} ´e dito ser um processo estoc´astico Gaussiano se, para todos t 1 , t 2 ,... , tn ∈ T, as vari´aveis aleat´orias X (t 1 ), X (t 2 ),... , X (tn) s˜ao conjuntamente normais.

Exemplo

Seja X (t) um processo estoc´astico Gaussiano WWS de m´edia zero, com RX (τ ) = e−τ^ 2 , para τ ∈ R. (^1) Calcule P[X (1) < 1]; (^2) Encontre P[X (1) + X (2) < 1].

Processos Gaussianos

Exemplo

Tem-se que

Var [X (1)] = E [X (1)^2 ] − μ^2 X (1) = RX (0) − 02 = e−^0 2

= 1. Assim,

P[X (1) < 1] = P

[

X (1) − μX (1) √ Var

[

X (1)

] <^

1 − μX (1) √ Var

[

X (1)

]

]

[email protected] =^0 ,^8413 Processos Estc´. asticos 2020 11 / 13

Processos Gaussianos

Exemplo

P[X (1) + X (2) < 1] = P[Y < 1]

= P

[

Y − μY √ Var (Y )

2 + (^2) e

]