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Probabilidade condicional e independˆencia de eventos (^) AULA 8
Aula 8 – Probabilidade condicional
e independˆencia de eventos
Nesta aula vocˆe aprender´a os conceitos de probabilidade condicional e independˆencia de eventos. Vocˆe ver´a tamb´em que esses s˜ao conceitos impor- tantes na modelagem de fenˆomenos aleat´orios, com aplica¸c˜oes em diversas ´areas do conhecimento.
Probabilidade condicional
Consideremos o lan¸camento de um dado equilibrado. J´a vimos que o espa¸co amostral desse experimento ´e Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. Considere o evento A = “sair face 2”. Se n˜ao temos qualquer informa¸c˜ao al´em de o dado ser equilibrado, vimos que Pr(A) = 16.
Suponhamos, agora, que o dado tenha sido lan¸cado e a seguinte in- forma¸c˜ao fornecida: “saiu facer par”. Qual ´e a probabilidade de ter sa´ıdo face 2? Note a diferen¸ca: agora n´os temos uma informa¸c˜ao parcial sobre o experimento e devemos us´a-la para reavaliar a nossa estimativa. Mais precisamente, sabemos que ocorreu o evento B = “face par”. Com essa in- forma¸c˜ao, podemos nos concentrar no evento B = { 2 , 4 , 6 } , uma vez que as faces 1, 3, 5 ficam descartadas em fun¸c˜ao da informa¸c˜ao dada. Dentro dessas trˆes possibilidades, a probabilidade do evento A passa a ser 13. Calculamos, assim, a probabilidade do evento A, sabendo que ocorreu o evento B. Essa probabilidade ser´a denotada Pr (A | B) (lˆe-se probabilidade de A dado B).
Consideremos, agora, o lan¸camento de dois dados equilibrados e os eventos A = “soma das faces ´e par” e B = “soma das faces ´e maior ou igual a 9”. Se sabemos que ocorreu B, qual ´e a probabilidade de ter ocorrido A? Queremos calcular Pr(A|B). Temos que
A =
B = {(3, 6) , (4, 5) , (4, 6) , (5, 4) , (5, 5) , (5, 6) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5) , (6, 6)}
Se ocorreu B, a ´unica chance de ter ocorrido A ´e que tenha ocorrido o evento
A ∩ B = {(4, 6) , (5, 5) , (6, 4) , (6, 6)}
Probabilidade condicional e independˆencia de eventos
e, nesse caso, a probabilidade ´e 104 , ou seja,
Pr(A|B) = 4 10
4 (^3610) 36
= Pr(A^ ∩^ B) Pr(B) Esses dois exemplos ilustram o fato geral que est´a exibido na Figura 8.1: se sabemos que aconteceu o evento B, esse evento passa a ser o “novo espa¸co amostral” e nesse novo espa¸co amostral, a ´unica parte de A presente ´e A ∩ B
- parte sombreada mais clara.
Figura 8.1: Probabilidade condicional Pr(A|B).
Com esses exemplos, estamos ilustrando uma situa¸c˜ao comum, onde temos que calcular a probabilidade de um evento tendo uma informa¸c˜ao parcial. Esse ´e o conceito de probabilidade condicional.
Defini¸c˜ao A probabilidade condicional do evento A dada a ocorrˆencia do evento B ´e
Pr(A|B) =
Pr (A ∩ B) Pr (B)
Note que, nessa defini¸c˜ao, temos que supor que o evento B ´e um evento poss´ıvel, j´a que ele ocorreu. Logo, ´e ´obvio que Pr(B) > 0.
Exemplos
- Um grupo de 100 alunos foi classificado quanto ao sexo e `a atividade de lazer preferida, obtendo-se a distribui¸c˜ao dada na tabela abaixo. Sexo Atividade de lazer Cinema Praia Esporte Total Masculino 10 12 13 20 Feminino 15 41 9 80 Total 25 53 22 100
Probabilidade condicional e independˆencia de eventos
(a) Qual ´e a probabilidade de que ele tenha algum plano de aposen- tadoria complementar? (b) Qual ´e a probabilidade de que ele n˜ao possua qualquer plano de aposentadoria complementar? (c) Se o empregado conta com o plano de aposentadoria complementar oferecido pela empresa, qual ´e a probabilidade de que ele tenha plano pessoal de aposentadoria complementar? (d) Se o empregado tem plano pessoal de aposentadoria complemen- tar, qual ´e a probabilidade de que ele conte com o plano de aposen- tadoria complementar da empresa? Solu¸c˜ao:
Vamos denotar por E o evento “empregado tem o plano aposentadoria complementar da empresa” e por P o evento “empregado possui plano pessoal de aposentadoria complementar”. O problema diz que
Pr(P ) =^200500 =^25 Pr(E) =^400500 =^45 Pr(P ∩ E) =^200500 =^25
Note que essas informa¸c˜oes podem ser dispostas em forma de tabela como: Plano pessoal Total Sim N˜ao Plano da Sim 200 200 400 Empresa N˜ao 0 100 100 Total 200 300 500
Os n´umeros em negrito s˜ao as informa¸c˜oes dadas no problema; o restante ´e calculado observando-se os totais de linha e de coluna.
(a) O problema pede
Pr(P ∪ E) = Pr(P ) + Pr(E) − Pr(P ∩ E) =^25 +^45 − 25 =^45
(b) O problema pede
Pr(P ∩ E) = Pr(P ∪ E) = 1 − Pr(P ∪ E) = 1 − 45 =^15
(c) O problema pede
Pr(P |E) = Pr( Pr(P^ E∩^ )E )=
(^25) 4 5
=^12
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(d) O problema pede
Pr(E|P ) = Pr( Pr(P^ ∩P^ )E )=
2 (^52) 5
Atividade 8.
- Dois dados equilibrados s˜ao lan¸cados.
(a) Encontre a probabilidade de sa´ırem faces iguais nos 2 dados. (b) Sabendo-se que a soma das faces foi menor ou igual a 4, calcule a probabilidade de sa´ırem faces iguais nos 2 dados. (c) Calcule a probabilidade de sair 5 em pelo menos um dado. (d) Sabendo-se que sa´ıram faces diferentes nos dois dados, determine a probabilidade de sair 5 em pelo menos um dado.
- A probabilidade de que uma nova campanha publicit´aria fique pronta antes do prazo estipulado pela diretoria foi estimada em 0,60. A proba- bilidade de que a diretoria aprove essa campanha publicit´aria ´e de 0,50. A probabilidade de que ambos os objetivos sejam atingidos ´e 0,30.
(a) Qual ´e a probabilidade de que pelo menos um dos objetivos seja atingido? (b) Qual ´e a probabilidade de que nenhum objetivo seja atingido? (c) Se a campanha ficou pronta antes do prazo estipulado, qual ´e a probabilidade de que a diretoria a aprove?
- Sejam A e B eventos do espa¸co amostral Ω tais que Pr(A) = 12 , Pr(B) = 1 3 e Pr(A^ ∩^ B) =^
1
(a) Calcule Pr(A ∪ B). (b) Calcule Pr(A ∩ B). (c) Calcule Pr(A|B).
Probabilidade condicional e independˆencia de eventos (^) AULA 8
Figura 8.2: Axioma 3 da probabilidade condicional.
Sendo a probabilidade condicional uma lei de probabilidade, todas as propriedades vistas anteriormente, que eram conseq¨uˆencia dos axiomas, valem tamb´em para a probabilidade condicional.
Propriedade 1:
Pr(∅|B) = 0 Propriedade 2: Pr(A|B) = 1 − Pr(A|B) Propriedade 3: Pr [(A 1 − A 2 ) |B] = Pr(A 1 |B) − Pr [(A 1 ∩ A 2 ) |B]
Propriedade 4: Pr [(A 1 ∪ A 2 ) |B] = Pr(A 1 |B) + Pr(A 2 |B) − Pr [(A 1 ∩ A 2 ) |B]
Propriedade 5: A 2 ⊂ A 1 ⇒ Pr(A 2 |B) ≤ Pr(A 1 |B)
Propriedade 6: A ∩ B ⊂ B ⇒ Pr(A|B) ≤ 1
Observa¸c˜ao importante Note que a defini¸c˜ao de probabilidade condicional est´a vinculada ao evento B em que estamos condicionando, ou seja, se condicionarmos em um outro evento C, estaremos definindo uma outra fun¸c˜ao de probabilidade – a fun¸c˜ao de probabilidade condicional em C.
Probabilidade condicional e independˆencia de eventos
Regra da multiplica¸c˜ao
A defini¸c˜ao de probabilidade condicional leva a um resultado impor- tante, conhecido como regra da multiplica¸c˜ao.
Regra da multiplica¸c˜ao para 2 eventos Sejam A e B eventos de um espa¸co amostral Ω. Ent˜ao
Pr(A ∩ B) =
Pr(B) Pr(A|B)
Pr(A) Pr(B|A)
Esse resultado nos permite calcular a probabilidade da interse¸c˜ao de dois eventos e ´e muito ´util para modelar experimentos que tˆem car´ater seq¨uencial, isto ´e, que s˜ao executados em etapas, uma seguida da outra. Em tais situa¸c˜oes, pode ser de ajuda desenhar um diagrama de ´arvore para diagrama de ´arvore. (^) ilustrar os eventos em quest˜ao. Vamos ver alguns exemplos.
Exemplos
- Se um avi˜ao est´a presente em determinada ´area, um radar detecta sua presen¸ca com probabilidade 0,99. No entanto, se o avi˜ao n˜ao est´a presente, o radar detecta erradamente a presen¸ca de um avi˜ao com probabilidade 0,02. A probabilidade de um avi˜ao estar presente nesta ´area ´e de 0,05. Qual ´e a probabilidade de um falso alarme? Qual ´e a probabilidade de o radar deixar de detectar um avi˜ao? (Note que esses s˜ao os dois erros poss´ıveis nesta situa¸c˜ao.) Solu¸c˜ao: Vamos definir os seguintes eventos:
A = “avi˜ao presente” D = “radar detecta presen¸ca de avi˜ao”
Os eventos complementares s˜ao:
A = “avi˜ao n˜ao est´a presente” D = “radar n˜ao detecta avi˜ao”
Probabilidade condicional e independˆencia de eventos
Solu¸c˜ao:
Para solucionar esse problema, devemos notar que as cartas no baralho s˜ao igualmente prov´aveis, antes e depois da primeira extra¸c˜ao. Vamos definir os seguintes eventos:
C 1 = copas na primeira extra¸c˜ao C 2 = copas na segunda extra¸c˜ao
Queremos calcular Pr
C 1 ∩ C 2
. Pela regra da multiplica¸c˜ao, temos que Pr
C 1 ∩ C 2
= Pr
C 1
Pr
C 2 |C 1
Na primeira extra¸c˜ao, temos 39 cartas que n˜ao s˜ao de copas, em um baralho de 52. Na segunda extra¸c˜ao, dado que na primeira n˜ao saiu copas, temos 38 cartas que n˜ao s˜ao copas em um baralho de 51. Logo,
Pr
C 1 ∩ C 2
= Pr
C 1
Pr
C 2 |C 1
=^3952 × 3851
Veja a Figura 8.4, onde temos o diagrama de ´arvore para esse prob- lema. Cada n´o na ´arvore corresponde a ocorrˆencia de um evento condi- cionadaa ocorrˆencia de todos os eventos representados pelos n´os ante- riores no caminho correspondente. Assim, a parte superior da ´arvore corresponde `a ocorrˆencia de copas na primeira extra¸c˜ao – evento C 1
- e a parte inferior `a n˜ao ocorrˆencia de copas na primeira extra¸c˜ao - evento C 1.
Continuando com a parte superior, vemos que
Pr (C 1 ) =
Pr (C 2 |C 1 ) =
Pr
C 2 |C 1
Note que, pela lei do complementar, Pr (C 2 |C 1 ) + Pr
C 2 |C 1
= 1. Na parte inferior da ´arvore temos
Pr
C 1
Pr
C 2 |C 1
Pr
C 2 |C 1
Probabilidade condicional e independˆencia de eventos (^) AULA 8
Figura 8.4: Diagrama de ´arvore para o experimento de extra¸c˜ao de 2 cartas sem reposi¸c˜ao.
- Suponhamos agora a extra¸c˜ao de 3 cartas sem reposi¸c˜ao, onde esta- mos interessados no mesmo evento “nenhuma de copas”. Queremos Pr
C 1 ∩ C 2 ∩ C 3
. Como generalizar a regra da multiplica¸c˜ao para esse caso? Usando um recurso alg´ebrico, podemos escrever (note que os termos se cancelam):
Pr
C 1 ∩ C 2 ∩ C 3
= Pr
C 1
×
Pr
C 2 ∩ C 1
Pr
C 1
) ×
Pr
C 1 ∩ C 2 ∩ C 3
Pr
C 2 ∩ C 1
= Pr
C 1
×
Pr
C 2 ∩ C 1
Pr
C 1
) ×
Pr
C 3 ∩ C 2 ∩ C 1
Pr
C 2 ∩ C 1
Aplicando a defini¸c˜ao de probabilidade condicional, resulta que
Pr
C 1 ∩ C 2 ∩ C 3
= Pr
C 1
Pr
C 2 |C 1
Pr
C 3 |C 2 ∩ C 1
Voltando ao baralho, temos, como antes, Pr
C 1
= 3952 e Pr
C 2 |C 1
38 51.^ Com o mesmo tipo de racioc´ınio, resulta que Pr^
C 3 |C 2 ∩ C 1
Logo, Pr
C 1 ∩ C 2 ∩ C 3
=^3952 × 3851 × 3750
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Regra geral da multiplica¸c˜ao
O exemplo anterior ilustra a regra geral de multiplica¸c˜ao.
Regra geral da multiplica¸c˜ao Seja A 1 , A 2 ,... , An uma seq¨uˆencia de eventos de um espa¸co amostral Ω. Ent˜ao
Pr (A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An) = Pr (A 1 ) Pr (A 2 |A 1 ) · · · Pr (An|A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An− 1 )
Atividade 8.
- Em uma pesquisa realizada com um grupo de alunos da UFF, consta- tou-se que 10% dos estudantes n˜ao utilizam transporte p´ublico para ir `as aulas e que 65% dos estudantes que utilizam o transporte p´ublico fazem refei¸c˜oes no bandej˜ao do campus. Selecionando-se aleatoriamente um estudante deste grupo, calcule a probabilidade de que ele use trans- porte p´ublico e fa¸ca refei¸c˜oes no bandej˜ao.
- As preferˆencias de homens e mulheres por cada gˆenero de filme alugado em uma locadora de v´ıdeos est˜ao apresentadas na tabela a seguir. Tipo de filme Sexo Com´edia Romance Policial Masculino 136 92 248 Feminino 102 195 62 Sorteando-se ao acaso um registro de loca¸c˜ao, pede-se a probabilidade de:
(a) ser um filme policial alugado por uma mulher; (b) ser uma com´edia; (c) ser de um homem ou de um romance; (d) ser de um filme policial dado que foi alugado por um homem.
- Uma urna cont´em 6 bolas pretas e 5 bolas amarelas. Extraem-se seq¨uencialmente 3 bolas dessa urna, sem reposi¸c˜ao. Qual ´e a probabi- lidade de que as 3 bolas sejam de cores iguais?
Probabilidade condicional e independˆencia de eventos
Independˆencia de eventos
Considere novamente um baralho usual, com 52 cartas, 13 de cada naipe, do qual ser´a retirada uma carta. Vamos definir os seguintes eventos:
C = “carta ´e de copas” R = “carta ´e um rei” V = “carta ´e vermelha”
J´a vimos que Pr(C) = 1352 = 14 ; Pr(R) = 524 = 131 e Pr(V ) = 2652 = 12. Vamos agora calcular as seguintes probabilidades condicionais: Pr(R|C) e Pr(V |C). No primeiro caso, estamos calculando a probabilidade de sair um rei, dado que a carta ´e de copas e no segundo caso, estamos calculando a probabilidade de sair uma carta vermelha, dado que saiu uma carta de copas.
Pr(R|C) = Pr(R^ ∩^ C) Pr(C)
1 (^521) 4
= Pr(R)
Pr(V |C) = Pr( Pr(V^ C∩^ )C )= Pr( Pr(CC)) = 1 6 = Pr(V )
No primeiro caso, saber que a carta ´e de copas n˜ao acrescentou in- forma¸c˜ao ´util para avaliarmos a probabilidade de sair rei, ou seja, saber ou n˜ao que saiu copas n˜ao altera a probabilidade de sair rei. J´a no segundo caso, saber que saiu carta de copas faz com que mudemos a probabilidade de sair carta vermelha. Como podemos ver, se sabemos que saiu carta de copas, ent˜ao a carta tem que ser vermelha. Esses exemplos ilustram um conceito importante. No primeiro caso, dizemos que os eventos R e C s˜ao indepen- dentes e no segundo caso, os eventos V e C s˜ao dependentes. No primeiro caso, o conhecimento da ocorrˆencia de C n˜ao ajuda para reavaliarmos a pro- babilidade de C; no segundo caso, o conhecimento da ocorrˆencia de C faz com que mudemos nossa estimativa da probabilidade de V.
Defini¸c˜ao Sejam A e B eventos de um espa¸co amostral Ω. Ent˜ao, A e B s˜ao inde- pendentes se Pr(A|B) = Pr(A)
Essa defini¸c˜ao tem algumas implica¸c˜oes importantes. A primeira delas ´e a seguinte: Pr(A|B) = Pr(A) ⇒ Pr(B|A) = Pr(B)
Probabilidade condicional e independˆencia de eventos
plano pessoal de aposentadoria complementar”. Vamos ver se esses eventos s˜ao independentes. Solu¸c˜ao: Temos que
Pr(P ) = (^25)
Pr(E) = (^45)
Pr(P ∩ E) = 2 5
= Pr(P ) Pr(E)
Logo, os eventos P e E n˜ao s˜ao independentes. Outra forma de ver isso ´e Pr(E|P ) =^200200 = 1 6 = Pr(E) =^45
- Sejam A e B eventos independentes em um espa¸co amostral Ω. Prove que os seguintes eventos tamb´em s˜ao independentes:
(a) A e B (b) A e B
Solu¸c˜ao:
(a) Temos que
Pr(A ∩ B) = Pr(B − A) = Pr(B) − Pr(A ∩ B)
Como A e B s˜ao independentes, Pr(A ∩ B) = Pr(A) Pr(B). Logo,
Pr(A ∩ B) = Pr(B) − Pr(A) Pr(B) = Pr(B) [1 − Pr(A)] = Pr(B) Pr(A)
Logo, os eventos A e B s˜ao independentes. (b) Pela lei de De Morgan e pela lei do complementar, temos que
Pr(A ∩ B) = Pr(A ∪ B) = 1 − Pr(A ∪ B) = 1 − Pr(A) − Pr(B) + Pr(A ∩ B)
Probabilidade condicional e independˆencia de eventos (^) AULA 8
Como A e B s˜ao independentes, Pr(A ∩ B) = Pr(A) Pr(B). Logo,
Pr(A ∩ B) = 1 − Pr(A) − Pr(B) + Pr(A) Pr(B) = [1 − Pr(A)] − Pr(B) [1 − Pr(A)] = [1 − Pr(A)] [1 − Pr(B)] = Pr(A) Pr(B)
Logo, A e B s˜ao independentes.
Atividade 8.
- Sejam A e B eventos de um espa¸co amostral Ω tais que Pr(A) = 15 , Pr(B) = p e Pr(A ∪ B) = 12. Determine o valor de p para que A e B sejam independentes.
- Volte ao Exerc´ıcio 2 da Atividade 8.2. Verifique se os eventos consid- erados s˜ao independentes.
- Sejam A e B eventos de um espa¸co amostral Ω tais que Pr(A) > 0 e Pr(B) > 0.
(a) Mostre que se A e B s˜ao independentes, ent˜ao A e B n˜ao podem ser mutuamente exclusivos. (b) Mostre que se A e B s˜ao mutuamente exclusivos, ent˜ao A e B n˜ao podem ser independentes.
Resumo da Aula
Nesta aula vocˆe estudou dois conceitos fundamentais de probabilidade: probabilidade condicional e independˆencia de eventos e viu tamb´em, como conseq¨uˆencia direta, a regra da multiplica¸c˜ao.
- A probabilidade condicional do evento A dada a ocorrˆencia do evento B ´e Pr(A|B) = Pr( Pr(A^ ∩B^ )B)
- Regra da multiplica¸c˜ao para dois eventos:
Pr(A ∩ B) = Pr(B) Pr(A|B) = Pr(A) Pr(B|A)
Probabilidade condicional e independˆencia de eventos (^) AULA 8
- Uma sala possui trˆes soquetes para lˆampadas. De uma caixa com 10 lˆampadas, das quais 6 est˜ao queimadas, retiram-se 3 lˆampadas ao acaso, colocando-se as mesmas nos trˆes bocais. Calcular a probabilidade de que:
(a) pelo menos uma lˆampada acenda; (b) todas as lˆampadas acendam.
- O Minist´erio da Economia da Espanha acredita que a probabilidade de a infla¸c˜ao ficar abaixo de 3% este ano ´e de 0,20; entre 3% e 4% ´e de 0,45 e acima de 4% ´e de 0,35. O Minist´erio acredita que, com infla¸c˜ao abaixo de 3%, a probabilidade de se criar mais 200.000 empregos ´e de 0,6, diminuindo essa probabilidade para 0,3 caso a infla¸c˜ao fique entre 3% e 4%; no entanto, com infla¸c˜ao acima de 4%, isso ´e totalmente imposs´ıvel. Qual ´e a probabilidade de se criarem 200.000 empregos nesse ano?
- Na urna I h´a 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 8 azuis. Na urna II h´a 3 bolas vermelhas e 5 brancas. Lan¸ca-se um dado equilibrado. Se sair 3 ou 6, escolhe-se uma bola da urna I; caso contr´ario, escolhe-se uma bola da urna II. Calcule a probabilidade de
(a) sair uma bola vermelha; (b) sair uma bola branca; (c) sair uma bola azul.
- Joana quer enviar uma carta a Camila. A probabilidade de que Joana escreva a carta ´e 108. A probabilidade de que o correio n˜ao a perca ´e 9
- A probabilidade de que o carteiro a entregue ´e tamb´em^
9
(a) Construa o diagrama de ´arvore representando o espa¸co amostral deste problema. (b) Calcule a probabilidade de Camila n˜ao receber a carta.
- Sejam A e B dois eventos tais que Pr(A) = 0, 4 e Pr(A ∪ B) = 0, 7. Seja Pr(B) = p. Determine o valor de p para que
(a) A e B sejam mutuamente exclusivos; (b) A e B sejam independentes.
Probabilidade condicional e independˆencia de eventos
- Sejam A e B eventos poss´ıveis de um mesmo espa¸co amostral Ω. Se P (A|B) = 1 verifique a veracidade das seguintes afirmativas, justifi- cando sua resposta.
(a) A e B s˜ao independentes. (b) A e B s˜ao mutuamente exclusivos.
- Sejam A, B, C eventos de um mesmo espa¸co amostral. Sabe-se que (i) B ´e um subconjunto de A; (ii) A e C s˜ao independentes e (iii) B e C s˜ao mutuamente exclusivos. A probabilidade do complementar da uni˜ao dos eventos A e C ´e 0,48; a probabilidade da uni˜ao dos eventos B e C ´e 0,3 e a probabilidade do evento C ´e o dobro da probabilidade do evento B. Calcule a probabilidade da uni˜ao de A e B.
- Uma comiss˜ao de dois estudantes deve ser sorteada de um grupo de 5 alunas e 3 alunos. Sejam os eventos:
M 1 = “primeiro estudante sorteado ´e mulher” M 2 = “segundo estudante sorteado ´e mulher”
(a) Construa um diagrama de ´arvore que represente o espa¸co amostral deste experimento, indicando as probabilidades. (b) Calcule Pr(M 1 ) e Pr(M 2 ). (c) Verifique se M 1 e M 2 s˜ao independentes.
- Em um campeonato de nata¸c˜ao, est˜ao competindo trˆes estudantes: Al- berto, Bosco e Carlos. Alberto e Bosco tˆem a mesma probabilidade de ganhar, que ´e o dobro da de Carlos ganhar.
(a) Ache a probabilidade de que Bosco ou Carlos ganhe a competi¸c˜ao. (b) Que hip´otese vocˆe fez para resolver essa quest˜ao? Essa hip´otese ´e razo´avel?
- Solicita-se a dois estudantes, Maria e Pedro, que resolvam determinado problema. Eles trabalham na solu¸c˜ao do mesmo independentemente, e tˆem, respectivamente, probabilidade 0,8 e 0,7 de resolvˆe-lo.
(a) Qual ´e a probabilidade de que nenhum deles resolva o problema? (b) Qual ´e a probabilidade de o problema ser resolvido?
