Baixe Problemas de Física: Campos Elétricos e Magnéticos e outras Exercícios em PDF para Física, somente na Docsity!
1 - Problemas Propostos - 0,
3 ) Uma part´ıcula de carga q e massa m sofre a a¸c˜ao de um campo magn´etico constante B = (0, 0 , B)T. Dadas as condi¸c˜oes iniciais r 0 = (A, 0 , 0)m em t = 0s e v 0 = (0, v 0 , 0) encontre as equa¸c˜oes de movimento e resolva r(t) e v(t) para todo o tempo t. Qual ´e a trajet´oria da part´ıcula? Fa¸ca um esbo¸co gr´afico. Dica: A for¸ca de Lorentz que age sobre a part´ıcula ´e dada por: F = q(E + v × B) , onde E ´e o campo el´etrico e B ´e o campo magn´etico na posi¸c˜ao em que a part´ıcula se encontra. 4 ) Escreva a equa¸c˜ao de ondas e a equa¸c˜ao da difus˜ao e discuta suas diferen¸cas, dando exemplos de campos que satisfazem uma ou outra dessas equa¸c˜oes. 5 ) Seja R = x − x′^ o vetor que une os pontos de medida de um campo x = (x, y, z) e um ponto na regi˜ao fonte x′^ = (x′, y′, z′). a) Represente R, x e x′^ graficamente. b) Calcule a divergˆencia e o rotacional de R. c) Seja R o m´odulo de R, determine:
∇(R) , ∇
R
, ∇ × (∇R)
d) Mostre que (^) ∮
a(R)
R · da = 3V ,
sendo da o vetor diferencial de superf´ıcie. e) Demonstre que (^) ∮ ∇
R
· da = − 4 π =
V (a)
∇^2
R
dV ,
isso mostra que ∇^2
R
= − 4 πδ^3 (R) = δ(x − x′)δ(y − y′)δ(z − z′)
sendo δ(a − b) a fun¸c˜ao impulso ou delta de Dirac.
Lista 1 - Revisões e Eq. de Maxwell
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7 ) Para um n´umero complexo qualquer ψ = β + iα onde i =
−1. Se preferir utilize j no lugar de i. a) represente o n´umero no plano complexo. b) determine o m´odulo desse n´umero. c) determine o ˆangulo formado pelo n´umero com o eixo dos reais. d) denotando conjuga¸c˜ao complexa por ∗, o que ´e o conjugado ψ∗? O que significa a conjuga¸c˜ao complexa no plano complexo? e) demonstre que |ψ|^2 = ψψ∗. f) demonstre que o conjugado do produto de n´umeros complexos ´e o produto dos complexos conjugados. Para isso vocˆe pode demonstrar para dois n´umeros ψ 1 e ψ^2 e depois generalizar o resultado.
(ψ 1 ψ 2 )∗^ = ψ 1 ∗ ψ∗ 2
(ψ 1 ψ 2 ...ψn)∗^ = ψ 1 ∗ ψ∗ 2 ...ψ∗ n g) determine a a¸c˜ao do n´umero i sobre um n´umero complexo no plano complexo. Ou seja, qual o resultado de multiplicar um n´umero complexo por i? Qual o efeito de sucessivas opera¸c˜oes in^ sobre o n´umero complexo no plano complexo? Obs.: em Matem´atica diz-se que a ´algebra dos n´umeros complexos ´e isom´orfica `a dos vetores no plano, pois os vetores em duas dimens˜oes, R^2 tem as mesmas propriedades que um n´umero complexo C.
8 ) Demonstre atrav´es da expans˜ao em s´eries de Taylor que:
e±iθ^ = cos θ ± i sin θ ,
e verifique que para o m´odulo temos: |ei±θ^ | = 1 ,
Ponto extra 0,
6 ) Demonstre explicitamente, por aplica¸c˜ao das derivadas, ou utilizando os teoremas de Gauss e Stokes que:
∇ × (∇Φ) = 0 (2.148) ∇ · (∇ × A) = 0 (2.149)
Qual ´e a vers˜ao integral das duas identidades vetoriais acima (utilize os teoremas de Gauss e Stokes apropriadamente)?
