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2004/05
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informação sobre a Matemática do ensino básico em Portugal absolutamente necessárias ... Números Complexos: Matemática —12º ano de escolaridade.
Tipologia: Exercícios
2023
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CURSOS PROFISSIONAIS DE NÍVEL SECUNDÁRIO
PR PROOGGRRAAMMAA
Componente de Formação Científica
DDiisscciipplliinnaa ddee
Ma Matteemmááttiiccaa
Direcção-Geral de Formação Vocacional
Parte I
Or Orggâânniiccaa GGeerraall
Índice:
Página
1. Caracterização da Disciplina ……. ……. … 2
2. Visão Geral do Programa …………. …...... 2
3. Competências a Desenvolver.………. …. 4
4. Orientações Metodológicas / Avaliação …. 5
5. Elenco Modular …….....………………........ 9
6. Bibliografia …………………. …………. …. 11
Matemática, nas suas conexões com todos os ramos de saber, é uma contribuição decisiva para a consciência da necessidade da educação e da formação ao longo da vida, com vista a enfrentar mudanças profissionais e as incontornáveis adaptações às inovações científicas e tecnológicas.
Os temas a abordar, estruturados em módulos segundo o modelo curricular dos cursos profissionais, são os seguintes: números e geometria, incluindo trigonometria; funções reais e análise infinitesimal; estatística e probabilidades; matemática discreta.
A abordagem da Geometria inclui assuntos elementares de geometria sintética e métrica, geometria analítica e trigonometria, com as competências de cálculo numérico a elas associadas, com permanentes preocupações de contextualização.
A abordagem das Funções Reais considerará as grandes famílias de funções, desde as algébricas inteiras, passando pelas fraccionárias e acabando nas transcendentes - exponenciais e logarítmicas ou trigonométricas. Haverá uma ênfase natural nas aplicações, com particular relevo para as questões de taxa de variação e optimização.
A abordagem da Estatística e das Probabilidades elementares completará as aprendizagens básicas, com algumas noções novas e ferramentas que não podem ser compreendidas no ensino básico.
A Matemática Discreta aparecerá não apenas em ligação com as probabilidades, mas também em várias situações que requerem modelos discretos, como o das sucessões e progressões ou como os modelos matemáticos dos jogos.
Assim, a lista de módulos desta disciplina é constituída por dois grupos. O grupo de módulos A corresponde ao elenco destinado aos cursos cuja carga horária da disciplina é de 300 horas. Os módulos do grupo B destinam-se a ser combinados com módulos A, para a formação dos estudantes em cursos menos exigentes em carga horária. Este grupo de módulos B inclui temas menos aprofundados ou variações em relação aos temas tratados nos módulos A, por forma a responder mais adequadamente às exigências de formação decorrentes das famílias profissionais em que os cursos de enquadram.
Quadro Resumo - Distribuição dos Temas pelos Módulos A T e m a T r a n s v e r s a l : A p l i c a ç õ e s e M o d e l a ç ã o M a t e m á t i c a
Módulo A Geometria Resolução de problemas de geometria no plano e no espaço. O método das coordenadas para estudar Geometria no plano e no espaço.
Módulo A Funções Polinomiais Funções e gráficos. Funções polinomiais de graus 2 e 3.
Módulo A Estatística Organização e interpretação de caracteres estatísticos (qualitativos e quantitativos). Referência a distribuições bidimensionais (abordagem gráfica e intuitiva).
Módulo A Funções Periódicas Movimentos periódicos. Funções trigonométricas.
Módulo A Funções Racionais Funções racionais. Modelação de situações envolvendo fenómenos não periódicos.
Módulo A Taxa de Variação Taxa de variação média num intervalo. Taxa de variação num ponto.
Módulo A Probabilidade Modelos de Probabilidade.
Módulo A Modelos Discretos Modelos discretos: sucessões e progressões.
Módulo A Funções de Crescimento Modelos contínuos não lineares: exponencial, logarítmico e logístico.
Módulo A Optimização Problemas de optimização. Aplicações das Taxas de Variação. Programação Linear como ferramenta de planeamento e gestão.
Quadro Resumo - Distribuição dos Temas pelos Módulos B T e m a t r a n s v e r s a l : A p l i c a ç õ e s e M o d e l a ç ã o M a t e m á t i c a
Módulo B Funções Periódicas e Não Periódicas Modelação matemática de situações envolvendo fenómenos periódicos e não periódicos. Breve abordagem das funções trigonométricas e das funções racionais.
Módulo B Programação Linear Domínios planos. Interpretação geométrica de condições.
Módulo B Estatística Computacional Tratamento exploratório de dados usando uma folha de cálculo.
Módulo B Jogos e Matemática Desenvolvimento de capacidades matemáticas através do uso de jogos de raciocínio.
Módulo B Modelos de Funções Estudo e resolução de problemas com modelos de funções elementares.
Módulo B Padrões Geométricos Identificação e análise de propriedades de figuras geométricas em situações do mundo real. Regularidades e padrões associados a transformações geométricas.
O ensino de todos estes temas tem de ser suportado em actividades propostas a cada estudante e a grupos de estudantes que contemplem a modelação matemática, o trabalho experimental e o estudo de situações realistas adequadas a cada curso sobre as quais se coloquem questões significativas, resolução de problemas não rotineiros e conexões entre temas matemáticos, aplicações da matemática noutras disciplinas e com relevância para interesses profissionais, recorrendo com frequência a ferramentas computacionais adequadas. Neste sentido, considera-se que as Aplicações e Modelação Matemática constituem um grande tema transversal a todos os módulos. A modelação e os problemas relacionados com as diferentes áreas profissionais constituem tanto a metodologia de trabalho privilegiada na construção dos conceitos matemáticos como uma competência a desenvolver que é imprescindível para estudantes que vão enfrentar no seu trabalho profissional problemas concretos muito variados e terão de saber seleccionar as ferramentas matemáticas relevantes para cada situação. É neste sentido que se assume o realce dado a Aplicações e Modelação Matemática como cabeçalho dos quadros-resumo comum a todos os módulos A e B.
Considera-se necessário que, no primeiro módulo do programa de cada curso, os estudantes sejam colocados perante a resolução de problemas escolhidos que permitam despistar dificuldades e deficiências na formação básica. A estratégia assente na resolução de problemas evita que os estudantes sejam desgastados em revisitações expositivas de assuntos que podem até já dominar.
- Competências a Desenvolver
Espera-se que os estudantes se apropriem de conceitos e de técnicas matemáticas enquanto enfrentam situações, de tal modo que, face a problemas realistas, possam mobilizar os conhecimentos científicos adequados para dar respostas próprias. Pretende-se que o estudante seja capaz de formar uma opinião própria, participando nas decisões ou que consiga ele próprio tomá-las.
Entende-se aqui que cada competência implica um corpo coerente de conhecimentos, atitudes ou capacidades (e habilidades na escolha e depois no manejo das ferramentas, quaisquer que elas sejam), que só os resultados operados na acção autónoma dos estudantes garantem que tenham sido desenvolvidas para serem úteis na vida.
A escolha de situações ricas e variadas é essencial para o cumprimento destes critérios; recomenda-se a colaboração activa dos professores de Matemática e de outras disciplinas, em cada escola e de escolas vizinhas.
Os estudantes (individualmente ou em grupo) devem ter a possibilidade de escolher as suas próprias estratégias de resolução de problemas; o facto de se poder confrontar diferentes processos de resolução de problemas permite fomentar a aprendizagem de uma forma crítica, valorizando o trabalho efectuado.
Assim, para todos os assuntos, sem esquecer a necessidade de contacto com as ideias e os métodos fundamentais da Matemática, a um certo nível, o ensino da Matemática é organizado em volta das aplicações viradas para o desenvolvimento de competências necessárias para o exercício de actividades profissionais qualificadas.
4.2. Comunicação Matemática
Tendo em conta a estreita dependência entre os processos de estruturação do pensamento e da linguagem, é absolutamente necessário que as actividades tenham em conta a correcção da comunicação oral e escrita. O estudante deve verbalizar os raciocínios e discutir processos, confrontando-os com outros. Deve ser capaz de argumentar com lógica. É necessário proporcionar ao estudante oportunidade para expor um tema preparado, a resolução de um problema ou a parte que lhe cabe num trabalho de grupo. Os trabalhos escritos, individuais ou de grupo, quer sejam pequenos relatórios, monografias, devem ser apresentados de forma clara, organizada e com aspecto gráfico cuidado.
4.3. Tecnologia
O uso de tecnologias de cálculo, com capacidades gráficas e de comunicação, é fundamental para a criação e o desenvolvimento de competências úteis a todos os desempenhos profissionais. Pelas suas especificidades, a calculadora gráfica e o computador completarão os meios à disposição dos professores e estudantes para executar os diferentes aspectos de uma verdadeira actividade matemática. Com efeito permitem: obter rapidamente uma representação do problema, de um conceito, a fim de lhe dar sentido e favorecer a sua apropriação pelo estudante; ligar aspectos diferentes (gráfico, numérico e algébrico) de um mesmo conceito ou de uma mesma situação; explorar situações fazendo aparecer de forma dinâmica diferentes configurações; proceder de forma rápida à verificação de certos resultados.
Não é possível atingir os objectivos deste programa sem recorrer à dimensão gráfica, e essa dimensão só é plenamente atingida quando os estudantes traçam uma grande quantidade e variedade de gráficos com apoio de tecnologia adequada (calculadoras gráficas e computadores). O trabalho de modelação matemática só será plenamente atingido se for possível trabalhar na sala de aula as diversas fases do processo, embora não seja exigível que se tratem todas simultaneamente e em todas as ocasiões; em particular, é fundamental a utilização de sensores de recolha de dados acoplados a calculadoras gráficas ou computadores para, em algumas situações, os estudantes tentarem identificar modelos matemáticos que permitam a sua interpretação.
4.3.1. Uso de calculadoras gráficas
As calculadoras gráficas (que são também calculadoras científicas completíssimas), ferramentas que cada vez mais se utilizarão correntemente, devem ser entendidas não só como instrumentos de cálculo mas essencialmente como meios incentivadores do espírito de pesquisa. O uso de calculadoras gráficas é obrigatório. Tendo em conta a investigação e as experiências realizadas até hoje, há vantagens em que se explorem com a calculadora gráfica os seguintes tipos de actividade matemática:
abordagem numérica de problemas; uso de manipulações algébricas para resolver equações e inequações e posterior confirmação usando métodos gráficos; uso de métodos gráficos para resolver equações e inequações e posterior confirmação usando métodos algébricos; modelação, simulação e resolução de situações problemáticas; uso de cenários visuais gerados pela calculadora para ilustrar conceitos matemáticos; uso de métodos visuais para resolver equações e inequações que não podem ser resolvidas, ou cuja resolução é impraticável, com métodos algébricos; condução de experiências matemáticas, elaboração e análise de conjecturas; estudo e classificação do comportamento de diferentes classes de funções; antevisão de conceitos do cálculo diferencial; investigação e exploração de várias ligações entre diferentes representações para uma situação problemática.
Os estudantes devem ter oportunidade de entender que aquilo que a calculadora apresenta no seu écran pode ser uma visão distorcida da realidade; é importante que os estudantes descrevam os raciocínios utilizados e interpretem aquilo que se lhes apresenta de modo que não se limitem a “copiar" o que vêem.
4.3.2. Uso de computadores
O computador, pelas suas potencialidades, nomeadamente nos domínios da geometria dinâmica e da representação gráfica de funções e da simulação, permite actividades não só de exploração e pesquisa como de recuperação e desenvolvimento, pelo que constitui um valioso apoio a estudantes e professores, devendo a sua utilização considerar-se obrigatória neste programa. Vários tipos de programas de computador são muito úteis e enquadram-se no espírito do programa. Programas de Geometria Dinâmica, de Cálculo Numérico e Estatístico, de Gráficos e Simulação, de Álgebra Computacional, fornecem diferentes tipos de perspectivas tanto a professores como a estudantes. O número de programas disponíveis no mercado português aumenta constantemente, havendo muito software de distribuição livre, como o editado pelo Ministério da Educação no âmbito dos projectos Minerva e Nónio Século XXI. Neste sentido recomenda-se enfaticamente o uso de computadores, tanto em salas onde os estudantes poderão ir realizar trabalhos práticos, como em salas com condições para se dar uma aula em ambiente computacional. Os estudantes devem ter oportunidade de trabalhar directamente com um computador, com a frequência possível de acordo com o material disponível. Nesse sentido as escolas são incentivadas a equipar-se com o material necessário para que tal tipo de trabalhos se possa realizar com a regularidade que o professor julgar aconselhável, recomendando-se que se constituam Laboratórios de Matemática.
Ao usar a calculadora gráfica ou o computador, os estudantes devem: observar que podem ser apresentadas diferentes representações gráficas de um mesmo gráfico, variando as escalas da representação gráfica; explorar claramente os diversos comportamentos e saber evitar conclusões apressadas; ser incentivados a elaborar conjecturas em função do que se lhes apresenta e ser sistematicamente treinados na análise crítica de todas as conclusões; traçar sempre um número apreciável de funções tanto manualmente em papel quadriculado ou papel milimétrico como usando calculadora gráfica ou computador; observar que a representação gráfica depende de forma decisiva do rectângulo de visualização escolhido.
Um estudante pode ser confrontado com situações em que erros de aproximação conduzam a resultados absurdos; quando isso acontecer deve saber analisar criticamente a situação, usando dados do problema em causa. Como forma de diminuir a possibilidade de ocorrência de situações dessas, deve ser feita a recomendação genérica de, nos cálculos intermédios, se tomar um grau de aproximação substancialmente superior ao grau de aproximação que se pretende para o resultado.
5. Elenco Modular
Número Designação
Duração de referência (horas)
A1 Geometria 36
A2 Funções Polinomiais 36
A3 Estatística 27
A4 Funções Periódicas 36
A5 Funções Racionais 36
A6 Taxa de Variação 27
A7 Probabilidade 21
A8 Modelos Discretos 27
A9 Funções de Crescimento 27
A10 Optimização 27
B1 Funções Periódicas e Não Periódicas 36
B2 Estatística Computacional 36
B3 Modelos de Funções 36
B4 Programação Linear 30
B5 Jogos e Matemática 36
B6 Padrões Geométricos 36
5.1. Articulação Modular
Neste programa é dada uma ênfase especial ao trabalho das Aplicações e Modelação Matemática, e o recurso à Tecnologia desempenha um papel fundamental. As conexões entre os diversos módulos são importantes para que os estudantes possam ver que os temas são aspectos complementares de uma mesma realidade. O professor deve aproveitar todas as ligações entre os módulos, possibilitando a ampliação e consolidação de cada conceito, sempre que ele é reencontrado.
Em cada módulo é importante encontrar-se um equilíbrio entre o desenvolvimento significativo dos conceitos, capacidades e aptidões e o domínio do cálculo. Neste programa está excluída a introdução de qualquer formalismo, a não ser que uma determinada notação se revele vantajosa para a comunicação de uma ideia matemática.
Em cada módulo, a duração de referência será discriminada por forma a indicar as horas de leccionação incluindo as que devem ser dedicadas ao acompanhamento/avaliação de actividades e as horas reservadas para avaliação sumativa final.
É indispensável que o professor tenha um conhecimento global do programa, bem como dos programas dos ciclos do ensino básico. Este programa desenvolve-se em módulos, a tratar pela ordem indicada ou a definir atendendo às precedências entre os conteúdos. Sempre que o projecto desenvolvido pela escola o aconselhar, a ordem poderá ser alterada, devendo tal decisão ficar devidamente registada e ser adequadamente planeada, desde que se respeitem as precedências apresentadas no seguinte quadro:
Número Designação Precedências A1 Geometria A2 Funções Polinomiais A3 Estatística A4 Funções Periódicas A5 Funções Racionais A A6 Taxa de Variação A2 A5 ou A2 B A7 Probabilidade A8 Modelos Discretos A9 Funções de Crescimento A2 A5 ou A2 B A10 Optimização A2 A5 A6 ou A2 B1 A B1 Funções Periódicas e Não Periódicas A B2 Estatística Computacional A B3 Modelos de Funções B4 Programação Linear B5 Jogos e Matemática A B6 Padrões Geométricos A
5.2. Diversificação do Elenco Modular
O elenco e a sequência modular A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9 e A10 são obrigatórios para os cursos em que a carga horária da disciplina é de 300 horas.
O elenco e a sequência modular A2, B1, A3, A7, A6, A9 e A10 são obrigatórios para os cursos em que a carga horária da disciplina é de 200 horas.
O elenco e a sequência modular para os cursos em que a carga horária da disciplina for de 100 horas, corresponderá a uma combinação de três módulos de entre os seguintes, a definir aquando do planeamento de cada curso, tendo em conta os critérios apresentados:
Módulo Fixo Módulos Opcionais Precedências A3 Estatística A1 Geometria A7 Probabilidade B2 Estatística Computacional A3 Estatística B3 Modelos de Funções B4 Programação Linear B5 Jogos e Matemática A3 Estatística B6 Padrões Geométricos A1 Geometria
Assim, os chamados módulos opcionais destinam-se a escolhas que se considerem as mais adequadas à natureza e à planificação concreta de cada curso. As cargas horárias dos módulos, sendo de referência, deverão ser ajustadas sempre que, nestas combinações, o seu somatório não totalize a carga horária global prevista para a disciplina no plano curricular do curso.
G RUPO DE TRABALHO T3-PORTUGAL APM. (1999 ). Modelação no Ensino da Matemática - Calculadora, CBL e CBR. Lisboa: APM.
G RUPO DE TRABALHO T3-P ORTUGAL APM. (2002). Funções no 3º ciclo com Tecnologia. Lisboa: APM.
Estas publicações contêm actividades de modelação matemática para utilização na sala de aula; umas actividades são facilmente realizadas com a ajuda de uma calculadora gráfica e as outras necessitam da utilização de sensores para recolha de dados experimentais; são incluídos comentários e resoluções das actividades. Os conceitos matemáticos envolvidos nas actividades incluem funções definidas por ramos, regressão, optimização, funções exponenciais e trigonométricas e função quadrática. A primeira publicação contém um texto introdutório sobre o processo de modelação matemática e a ligação entre a modelação matemática e a modelação no ensino da matemática; o texto situa ainda a modelação matemática no contexto dos actuais programas do ensino secundário.
PONTE , J.P.; C ANAVARRO, A. P. (1997). Matemática e Novas Tecnologias (Universidade Aberta, Vol.28). Lisboa: UA.
Este livro fornece uma excelente panorâmica da utilização das novas tecnologias na Matemática e na aula de Matemática. É apresentada uma perspectiva histórica da utilização das tecnologias na matemática sendo discutidos bastantes exemplos em várias áreas curriculares (números, funções, geometria, estatística e probabilidades) e analisados com algum detalhe vários tipos de programas de computador (jogos, folhas de cálculo, linguagem LOGO, programas de geometria dinâmica). É certamente uma obra de muito interesse para qualquer professor de Matemática pela ampla perspectiva que oferece.
PRECATADO, A.; G UIMARÃES , H. (org.), (2001) Materiais para a aula de Matemática. Lisboa: APM.
Esta publicação contém propostas muito variadas de actividades para a sala de aula, juntamente com um CD contendo os textos das actividades.
PROF. MIGUEL DE G UZMÁN O ZÁMIZ: — http://ochoa.mat.ucm.es/~guzman/ —
Esta página é um manancial inesgotável de informação relacionada com a Matemática, o seu ensino e a sua história. Salientamos o curso “Laboratório de Matemática”, as actividades e os textos de divulgação matemática.
PROJECTO MATEMÁTICA EM ACÇÃO :
Os Primórdios da História da Matemática: — http://cmaf.lmc.fc.ul.pt/em_accao/videos/
Os vídeos editados pelo Projecto Matemática em Acção, são excelentes e podem ser usados (ou apenas um excerto) como forma de motivação para a aula de matemática ou para actividades fora da sala de aula.
Parte II
Módulos
Índice:
- Módulo A1 Geometria Página
- Módulo A2 Funções Polinomiais
- Módulo A3 Estatística
- Módulo A4 Funções Periódicas
- Módulo A5 Funções Racionais
- Módulo A6 Taxa de Variação
- Módulo A7 Probabilidade
- Módulo A8 Modelos Discretos
- Módulo A9 Funções de Crescimento
- Módulo A10 Optimização
- Módulo B1 Funções Periódicas e Não Periódicas
- Módulo B2 Estatística Computacional
- Módulo B3 Modelos de Funções
- Módulo B4 Programação Linear
- Módulo B5 Jogos e Matemática
- Módulo B6 Padrões Geométricos
Módulo A1: Geometria
4 Âmbito dos Conteúdos
- Resolução de problemas de geometria no plano e no espaço Alguns tópicos que poderão ser estudados na resolução de problemas ou em investigações: estudo de alguns padrões geométricos planos (frisos); estudo das pavimentações regulares; estudo de alguns problemas de empacotamento; composição e decomposição de figuras tridimensionais; um problema histórico e sua ligação com a História da Geometria.
- O método das coordenadas para estudar geometria no plano e no espaço Referenciais cartesianos ortonormados no plano e no espaço. Correspondência entre o plano e IR 2 entre o espaço e IR 3 ; Equação reduzida da recta no plano e equação x=x 0.
5 Situações de Aprendizagem / Avaliação
Tanto em geometria plana como em geometria do espaço a prática de manipulação e observação de figuras e modelos tem um papel central e decisivo no ensino das noções matemáticas que estão em jogo. O professor deve propor actividades de construção, de manipulação de modelos e ligadas a problemas históricos, fazendo surgir, a partir do problema e do caminho que se faz para a sua resolução, uma grande parte dos resultados teóricos que pretende ensinar ou recordar. A exploração de programas computacionais pode ajudar eficazmente o estudante a desenvolver a percepção dos objectos do plano e do espaço e a fazer conjecturas acerca de relações ou acerca de propriedades de objectos geométricos.
Devem dar-se a conhecer problemas históricos e propor ao estudante a resolução de pelo menos um. Será também conveniente dar a conhecer um pouco da História da Geometria à qual estão ligados os nomes dos maiores matemáticos de todos os tempos (Euclides, Arquimedes, Newton, Descartes, Euler, Hilbert, entre muitos outros).
Os conhecimentos dos estudantes sobre transformações geométricas devem ser tidos em consideração para serem utilizados e ampliados na resolução de problemas concretos.
Mesmo quando há lugar a resolver um problema por via analítica o professor deve incentivar o esboço de figuras geométricas de modo a tirar proveito da visualização do problema e a desenvolver capacidades de representação, ou seja, não se deve deixar que o estudante se limite à resolução exclusiva de equações e à utilização de fórmulas. Para além disso, deve apelar-se sempre à descrição, com algum detalhe, do processo utilizado, justificando-o adequadamente.
Devem apresentar-se aos estudantes problemas que possam ser resolvidos por vários processos (perspectiva sintética, geometria analítica, transformações geométricas, utilização de programas de geometria dinâmica).
Ao estudante devem ser propostas actividades que o levem a sentir a necessidade e vantagem do uso de um referencial, quer no plano quer no espaço. O professor pode fornecer figuras e/ou um referencial numa grelha e pedir a colocação da figura ou do referencial para obter as melhores coordenadas experimentando com várias figuras no plano e no espaço. Será vantajoso que o professor aproveite os problemas com que iniciou o módulo, recorrendo aos modelos já utilizados. No plano, o estudante deve descobrir as relações entre as coordenadas de pontos
simétricos relativamente ao eixo das abcissas, ao eixo das ordenadas e à bissectriz dos
quadrantes ímpares. No espaço, o estudante deve descobrir as relações entre pontos simétricos relativamente aos planos coordenados e aos eixos coordenados.
Módulo A1: Geometria
O conhecimento da equação reduzida da recta deverá permitir que o estudante saiba escrever a equação de qualquer recta cujo gráfico lhe seja apresentado, sem para isso ser necessário fazer exercícios repetitivos.
Devem explorar-se sempre que possível as conexões da Geometria com outras áreas da Matemática e o seu desenvolvimento deve ser aproveitado noutros módulos. Todas as actividades devem estar ligadas à manipulação de modelos geométricos concretos.
Estão previstas seis horas para avaliação sumativa final; o referencial recomendado é que seja constituída por duas provas, com igual peso, que a seguir se enumeram.
Prova I — um teste escrito com a duração de noventa minutos.
Prova II — apresentação oral de um problema, escolhido pelo estudante, e preparado com a antecedência por este escolhida, de entre um dos que realizou durante a aprendizagem deste módulo. O professor deve acompanhar de forma especial esta prova (orientando o trabalho do estudante e apresentando propostas de reformulação se necessário). As quatro horas e meia previstas para esta prova são para as actividades de acompanhamento, reformulação, eventual correcção e apresentação final.
6 Bibliografia / Outros Recursos
L OUREIRO, C. (coord.), FRANCO DE O LIVEIRA , A., R ALHA , E. E BASTOS , R. (1997). Geometria: Matemática —10º ano de escolaridade. Lisboa: ME — DES.
Esta brochura, editada pelo Departamento do Ensino Secundário para apoiar o Ajustamento dos Programas de Matemática (1997), contém numerosas sugestões relevantes para o presente programa, pelo que é de consulta indispensável.
VELOSO, EDUARDO (1998). Geometria - Temas actuais — Materiais para professores. (Desenvolvimento curricular no Ensino Secundário;11). Lisboa: Instituto de Inovação Educacional
Este texto é uma ferramenta indispensável para qualquer pessoa que queira ensinar seriamente Geometria em Portugal. É uma obra que cobre inúmeros temas de Geometria elementar (e menos elementar) e contém um manancial de sugestões de trabalho para abordar os diferentes aspectos da Geometria. São de salientar os muitos exemplos de História da Matemática que ajudam a perceber a importância que a Geometria desempenhou na evolução da Matemática, ao mesmo tempo que fornecem excelentes exemplos para uso na sala de aula ou como proposta de trabalho para clubes de matemática ou ainda para estudantes mais interessados. É altamente recomendável a leitura do capítulo I que foca a evolução do ensino da geometria em Portugal e no resto do mundo e ajuda a perceber a origem das dificuldades actuais com o ensino da Geometria. A tecnologia é usada de forma “natural" para “resolver - ou suplementar a resolução - de problemas, proceder a investigações, verificar conjecturas, etc.".
MÓDULO A
Funções Polinomiais
Duração de Referência: 36 horas
1 Apresentação
O conceito de função é uma ideia muito importante e unificadora em Matemática por ser uma representação de muitas situações reais. As calculadoras, os sensores de recolha de dados e os computadores, nomeadamente com as folhas de cálculo e os programas de gráficos, permitem que muito cedo o estudante possa fazer uma abordagem das funções sob os pontos de vista gráfico, numérico e algébrico.
A riqueza das situações que as representações gráficas de funções permitem descrever favorece e estimula o raciocínio e a comunicação matemática.
As aplicações e as actividades de modelação matemática constituem a forma de trabalho natural para a construção de todos os conceitos e processos e para a demonstração do valor e uso das técnicas a eles associados. A resolução de problemas, com apoio fundamentado e crítico da tecnologia, mantém-se como centro de toda a motivação para a matemática em cada actividade.
Os conhecimentos sobre funções que os estudantes trazem dos ciclos anteriores, vão ser ampliados com o estudo das funções quadráticas e cúbicas, devendo privilegiar-se o trabalho intuitivo com funções que relacionem variáveis ligadas às áreas de interesse profissional dos estudantes.
Os estudantes devem reconhecer que o mesmo tipo de funções pode constituir um modelo de diferentes situações problemáticas.
2 Competências Visadas
Neste módulo de Funções Polinomiais, a competência matemática que todos devem desenvolver, inclui os seguintes aspectos: a aptidão para fazer e investigar matemática recorrendo à modelação com uso das tecnologias; a aptidão para elaborar, analisar e descrever modelos para fenómenos reais utilizando diversos tipos de funções; a capacidade de comunicar oralmente e por escrito as situações problemáticas e os seus resultados; a capacidade de apresentar de forma clara, organizada e com aspecto gráfico cuidado os trabalhos escritos, individuais ou de grupo, quer sejam pequenos relatórios, monografias, etc.; a capacidade de usar uma heurística para a resolução de problemas.
Módulo A2: Funções Polinomiais
3 Objectivos de Aprendizagem
Neste módulo de Funções Polinomiais, os objectivos de aprendizagem que se pretende que os estudantes atinjam, são os seguintes: elaborar modelos para situações da realidade do mundo do trabalho, da indústria, do comércio ou do mundo empresarial utilizando diversos tipos de funções; fazer o estudo de funções (domínio, extremos se existirem, zeros, intervalos de monotonia) descrevendo e interpretando no contexto da situação; reconhecer que o mesmo tipo de função pode ser um modelo de diferentes situações realistas; traduzir representações descritas por tabelas ou gráficos; analisar os efeitos das mudanças de parâmetros nos gráficos de funções; usar cenários visuais gerados pela calculadora para ilustrar conceitos matemáticos; usar métodos gráficos para resolver condições cuja resolução com métodos algébricos não esteja ao alcance dos estudantes;
utilizar linguagem matemática adequada na elaboração, análise e justificação de
conjecturas ou na comunicação de conclusões.
4 Âmbito dos Conteúdos
- Resolução de problemas envolvendo funções Esta resolução de problemas abrange progressivamente os seguintes temas: função, gráfico (gráfico cartesiano de uma função em referencial ortogonal) e representação gráfica; estudo intuitivo de propriedades das funções e dos seus gráficos tanto a partir de um gráfico particular como usando a calculadora gráfica, para as seguintes classes de funções: funções quadráticas; funções cúbicas.
As propriedades sugeridas são: domínio, contradomínio, pontos notáveis (intersecção com os eixos coordenados), monotonia, continuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em relação ao eixo dos yy e à origem, limites nos ramos infinitos. Este estudo deve incluir: a análise dos efeitos das mudanças de parâmetros nos gráficos das famílias de funções dessas classes (considerando apenas a variação de um parâmetro de cada vez); transformações simples de funções: considerado o gráfico da função y=f(x) , esboçar o gráfico das funções definidas por y=f(x)+a , y=f(x+a), y=af(x), y=f(ax), com a número real positivo ou negativo, e descrever o resultado com recurso à linguagem das transformações geométricas.