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Rafael Massato Kawamura
Segundo semestre de 2012
Progressão aritmética (P.A.)
Definição: Uma progressão aritmética é toda sequência numérica finita ou infinita, crescente ou decrescente de modo que exista uma razão constante entre o termo seguinte e o anterior.Será finita se tiver um último número definido, e infinita se existir os três pontos após o último número registrado dentro da sequência, indefinindo o último termo.Será crescente se a razão for positiva e decrescente se a razão for negativa.
Componentes de uma P.A. an = n-ésimo termo da sequência (qualquer termo) r = razão (subtração do termo seguinte pelo termo anterior) n = índice (posição que o termo ocupa dentro da sequência) Sn= soma dos “n” primeiros termos de uma P.A.
Ex1: (2,4,6,8) É uma P.A. com 4 termos, finita, crescente, onde o a 1 é 2, a 2 é 4, a 3 é 6 e a 4 é 8. A razão é calculada pelo termo seguinte subtraído do anterior, então pode-se fazer: 4 – 2 =2; 6 -4=2; 8 – 6 = 2. Então conclui-se que a razão será constante e com valor de 2.
Ex2: (3,6,9,12...) É uma P.A. com infinitos termos, onde não há definição de qual número será o último, se existir. O primeiro termo será o 3, o segundo será 6 e assim sucessivamente. Nota-se que a razão é crescente e com valor igual a 3, pois a diferença entre o sucessor e o antecessor é 3.
Ex3: (1,5,8,7...) Não será uma P.A. porque não existe uma razão definida entre os termos.
Rafael Massato Kawamura
Segundo semestre de 2012
Termo Geral de uma P.A. Supondo que exista uma P.A. tal que (2,4,6,8...) de razão 2. O primeiro termo será o 2, o segundo será 4, o terceiro será 6, e assim sucessivamente, com razão 2. E se quiséssemos saber o centésimo termo? Seria necessário e suficiente calcular um por um,ou existe um raciocínio mais eficiente? Supondo não saber a fórmula, pode-se demonstrar a fórmula do n-ésimo termo da seguinte maneira: a 1 = a 1 a 2 = a 1 + r a 3 = a 1 + r + r a 4 = a 1 + r + r + r a 5 = a 1 + r + r + r + r...
da mesma forma, pode-se entender: a 1 = a 1 + 0r a 2 = a 1 + 1r a 3 = a 1 + 2r a 4 = a 1 + 3r a 5 = a 1 + 4r...
então por um raciocínio lógico, pode-se afirmar que: an = a 1 + r(n – 1) ou seja, qualquer termo de uma P.A. pode ser escrito em função do primeiro termo mais a razão multiplicada pelo índice do termo desejado subtraído de uma unidade. É aconselhado que se faça por conta própria a prova do termo geral como forma de estudo.
Ex1 : Calcule o vigésimo termo da P.A (1,3,5,7,9...) Resolução: a 1 = 1, razão igual a 2 e índice igual a 20. Então usando-se a termo geral da P.A : an = a 1 + r(n – 1) , apenas substitui-se os valores, então: a 20 = a 1 + r(20 – 1) a 20 = 1 + 2(19) a 20 = 1 + 38 a 20 = 39
Rafael Massato Kawamura
Segundo semestre de 2012
Propriedade Aritmética Supondo que exista uma P.A. com três termos consecutivos. A propriedade aritmética nos diz com garantia que o termo central de três termos consecutivos será a média aritmética dos outros dois termos. Para facilitar a visualização, tomaremos por exemplos (a 1 , a 2 ,a 3 ). Então, o termo central
será dado da forma:
Ex1: Calcule o x na P.A. (10, x, 18) Resolução: nota-se que o termo central será a media aritmética dos outros dois, então:
Dado: É permitido a reprodução desse material apenas para fins educacionais, qualquer distribuição com fins lucrativos será expressamente proibida. Observação1 : A progressão aritmética é associada a função do primeiro grau, da mesma forma que a progressão geométrica é associado a função exponencial. Observação2 : É necessário repetir a prova do termo geral da P.A. para não precisar “decorar” para o vestibular, e sim ter como aliado, caso necessário. Observação3 :É aconselhado que se faça todos os exercícios que estarão disponíveis no grupo.
