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Definição
Progressão Geométrica (P.G.) é toda sequência em que cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior vezes um certo número constante, denominado razão (q).
Fórmula do Termo Geral
Em uma PG (a 1 , a 2 , a 3 , ... , an-1, an, ...) de razão q , podemos escrever qualquer termo em função do primeiro termo.
Observações
Podemos fazer an = as.qn^ –^ s. Por exemplo: a 20 = a 5 .q^15.
Em certas situações é favorável colocar o 1º termo como a 0 e não a 1. Dessa forma, o termo
geral da P.G. é dado por an = a 0 .qn. Por exemplo, se deposito na poupança R$ 1.000,00, rendendo 1%
ao mês, quanto terei daqui 4 meses? Temos uma P.G. com a 0 = R$ 1.000,00 e razão q = 1 + i = 1 + 0,01 = 1,01. Daqui 4 meses, terei a 4 = a 0 .q^4 = 1000.(1,01)^4 R$ 1.040,
Progressão Geométrica
an = a 1. qn^ ^1
Notação: a 1 , a 2 , a 3 , ... , an- 1 , an, ...
a 1 1º termo
a 3 3° termo
an n-ésimo termo ou termo geral
n nº de termos
q razão
Exemplos: a) (2, 4, 8, 16, ... ) a 1 = 2; q = 2
b) (18, 6, 2,
, ...) a 1 = – 18; q =
c) (1,
, ... ) a 1 = 1; q =
Classificação
P.G. Crescente: a 1 > 0 e q > 1 ou a 1 < 0 e 0 < q < 1 1º) a 1 = 1 e q = 2 (1, 2, 4, 8, ...) 2º) a 1 = 18 e q = 1/3 (18, 6, 2, 2/3, ...)
P.G. Decrescente: a 1 > 0 e 0 < q < 1 ou a 1 < 0 e q > 1 1º) a 1 = 10 e q = 1/2 (10, 5, 5/2, 5/4, ...) 2º) a 1 = 2 e q = 5 (2, 10, 50, ...)
P.G. Constante: q = 1 q = 1 (2, 2, 2, 2, .... )
P.G. Oscilante ou Alternante: q < 0 q = – 2 < 0 (5, – 10, 20, – 40, ... )
Propriedades
P 1 O produto de dois termos equidistantes dos extremos de uma PG finita é igual ao produto dos extremos. 1 3 9 27 81 243
P 2 Qualquer termo de uma PG, excluídos os extremos, é a média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente. 2 4 8 16 32 64
P 3 Numa PG de números ímpar de termos, o termo médio é a média geométrica dos extremos ou dos termos eqüidistantes dos extremos.
3 6 12 24 48
9.27 = 243
- 81 = 243 1.243 = 243
Interpretação Geométrica
A fórmula do termo geral an = a 1. qn^ ^^1 é equivalente à an = ao. qn^ , em que os termos iniciam por ao. Logo, podemos associar esta relação como sendo uma função exponencial restrita a números naturais (domínio = N) do tipo a(x) = ao .qx.
O gráfico dessa função é formado por uma sequência de pontos pertencentes ao gráfico de uma função exponencial.
an = ao. qn
ao
a 1
a 2
n
an
a 3
