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Definição:
Progressão geométrica (ou simplesmente PG) é uma seqüência de números não nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo, fornece o próximo elemento da seqüência. Esse número fixo chama-se razão, e os elementos da seqüência são os termos da progressão geométrica.
Por exemplo, vamos obter os termos de uma progressão geométrica de razão 2, partindo do número 3.
Observe como o crescimento é rápido. Os termos da progressão geométrica são representados, como em qualquer seqüência, por a1, a2, a3, ..... , an, e a razão será representada pela letra q. Assim, no exemplo anterior, temos a1=3, a2=6, a3=12 etc. e q = 2. Se cada termo da PG multiplicado pela razão dá o termo seguinte, então podemos afirmar que: A razão ( q ) de uma P.G è qualquer termo dividido pelo termo anterior. Verifique:
No exemplo dado acima a razão dada equivale a 2. Para provar que a razão dessa progressão geométrica Vale 2, podemos dividir um termo pelo seu anterior. Veja.
Pode-se perceber que qualquer termo dividido pelo seu anterior em uma P.G dará a mesma Razão.
Vamos classificar três progressões geométricas:
1. Crescente
P.G: 3, 6, 12, 24, 48....
2. Decrescente
P.G: 8, 4, 2, 1, ....
3. Estacionária
P.G: 4, 4, 4, 4, 4 ...
Nota-se que: Quando a razão é maior que 1 a P.G é crescente. Quando a razão é menor que 1 a P.G é decrescente. Quando a razão e igual a 1 a P.G é estacionária ou constante.
Fórmula do Termo Geral de uma P.G
Vamos agora obter uma fórmula para determinar qualquer termo de uma PG a partir do primeiro termo e da razão. Observe a P.G a seguir:
A partir da definição de PG, temos que a 2 = a 1. q. O terceiro termo é a 3 = a 2. q = a 1. q. q = a 1. q². O quarto termo é a 4 = a 3. q = a 1. q ². q = a 1. q³ e assim por diante.
a 2 = a 1. q
a 3 = a 1. q²
a 4 = a 1. q³
a 5 = a 1. q^4
Para obter então o termo de ordem n , devemos multiplicar o primeiro termo pela razão n- vezes, ou seja,
Fórmula do Termo Geral:
Onde: an: é o número de termos da progressão geométrica. A 1 : é o primeiro termo da progressão geométrica. q: é a razão da progressão geométrica.
A população de bactérias forma uma progressão geométrica:
Momento inicial _ a 1 = 1
1 hora depois _ a 2 = 8
2 horas depois _ a 3 = 64
Vemos então que, 12 horas depois, devemos calcular o 13º termo da progressão geométrica com a 1 = 1 e q = 8. Aplicando novamente a fórmula do termo geral, com n = 13, temos:
a 13 = a 1. q
12
Substituindo os valores do primeiro termo e da razão, encontramos:
a 13 = 1. 8
12
Esse resultado dá o incrível número 68.719.476.736, ou seja, mais de 68 bilhões de bactérias! ( Fonte: apostila ( Internet ))
Propriedades da P.G.
Suponha inicialmente que os números a, b, c, formem uma progressão aritmética. Como a razão é igual a b - a e também igual a c - b temos:
b - a = c - b
2b = a + c
Dizemos então que b é a média aritmética entre a e c. Agora, se os números positivos a, b, c formam uma progressão geométrica, então a razão é igual a b/a e também igual a c/b. Daí,
Dizemos então, nesse caso, que b é média geométrica entre a e c. Observe duas progressões, uma aritmética e outra geométrica, ambas com três termos.
PA: 4, 10, 16, _ 10 é média aritmética entre 4 e 16.
PG: 4, 08, 16, _ 08 é média geométrica entre 4 e 16.
Essa pequena informação pode ser útil para a resolução de alguns problemas. Veja.
Observe a seguinte P.G.
Através da formula da media aritmética é possível descobrir quais são os termos a 2 e a 3.
O termo médio geométrico entre a 1 e a 3 equivale a 6.
O termo médio geométrico entre a 3 e a 5 equivale a 24.
Somando os termos das Progressões Geométricas
Temos no caso geral a formula da soma dos n termos de uma progressão geométrica.
1) Uma indústria iniciou suas atividades produzindo 5.000 objetos por ano e, a cada
ano, a produção aumentou em 10% em relação ao ano anterior. Qual foi o total de objetos produzidos em 10 anos de atividade?
SOLUÇÃO: Repare que se, em um ano qualquer, a produção foi de x objetos, então, no ano seguinte, será de:
x + 10% de x =
- Uma loja de eletrodomésticos vende uma televisão de duas maneiras: a) à vista por R$ 540,00; b) pelo “plano maluco”, no qual você paga prestações durante toda sua vida, sendo a primeira de R$ 256,00 e cada uma das outras igual à metade da anterior. Qual delas você deve preferir? Sugestão: Calcule o limite da soma das prestações do “plano maluco”
