Progressão Geométrica (PG)
Definição
Uma seqüência de números reais é chamada progressão geométrica (PG)
quando dada um de seus termos, a partir do segundo, é igual ao produto do
anterior por uma constante q dada, chamada razão da PG.
Produto dos termos de uma PG limitada (P
n
)
Dada a PG (a
1
, a
2
, a
3
,...,a
n
), com q 0, podemos calcular o produto Pn de
sues termos escrevendo:
Pn = (a
1
, a
2
, a
3
,...,a
n
)
Como:
a
1
= a
1
a
2
= a
1 .
q a
3
= a
1 .
q
2
a
n
= a
1 .
q
n-1
Então:
P
n
= a
1.
a
1 .
q
.
a
1 .
q
2 .
. . .
.
a
1 .
q
n-1
P
n
= (a
1.
a
1 .
a
1 .
. . .
.
a
1
) (q
.
q
2 .
q
3 .
. . .
.
q
n-1
)
n fatores
Aplicando a propriedade das potências de mesma base, podemos escrever:
P
n
= a
1n .
q
1 + 2 +3 + ... + n-1
Mas, 1+2+3+. . .+n-1 representa a soma dos termos de uma PA: n(n-1) 2
Então:
( -1)
2
Pn=a
1
Exercício
1) Calcular o produto dos 21 primeiros termos da PG (-4,8,-16,32,...).
Solução:
a
1
= - 4 q=
n= 21
Temos:
P
21
= (-4)
21
. (-2) = (- 4)
21
. (-2)
Como – 4 = - (-2)
2
, podemos escrever:
Soma dos termos de uma PG limitada (S
n
)
Dada a PG (a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
) de razão q 0 e q 1, a soma S
n
de seus n
termos pode ser expressa por:
S
n
= a
1
+a
2
+a
3
+...+a
n
Multiplicando ambos os membros por q, obtemos:
q . S
n
=(a
1
+a
2
+a
3
+...+a
n-1
+a
n
)q q . S
n
= a
1
.q + a
2
.q + a
3
.q + ... + a
n-1
.q + a
n
.q a
2
a
3
a
4
a
n
Então:
q. S
n
= a
2
+a
3
+a
4
+...+ a
n
+ a
n
.q
8
- 4
( -1) 2
Pn=a
1
21(21-1)
2
21.20
2
(- 2)
210
(- 2)
210
P
21
- 42
- 2
P
21
-2
252
Valor nega- tivo
Encontrando a diferença entre q . S
n
e S
n
, vem:
