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Este documento aborda as propriedades fundamentais das combinações, incluindo a relação entre e −, a propriedade que relaciona +1+1 com e +1, e a soma de todos os elementos de uma linha do triângulo de pascal. São apresentados três exercícios que exploram essas propriedades, com sugestões de resolução. O documento fornece uma compreensão sólida dos conceitos básicos de combinatória, que são essenciais em áreas como matemática discreta, probabilidade e análise combinatória.
Tipologia: Resumos
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Propriedade:
Dados dois números naturais 𝑛 e 𝑝, com p ≤ 𝑛, tem-se que:
𝒏 𝑪𝒑 =
𝒏 𝑪𝒏−𝒑.
Demonstração
Sejam 𝑛 e 𝑝 dois números naturais, com p ≤ 𝑛.
Propriedade:
Propriedade:
Dados dois números naturais 𝒏 e 𝒑 , com 𝒑 + 𝟏 ≤ 𝒏 , tem-se que:
𝒏+𝟏
𝒏
𝒏
𝑛
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝒌=𝟎
O triângulo de Pascal pode ser continuado indefinidamente com recurso à propriedade
𝑛+ 1 𝐶𝑝+ 1 =
𝑛 𝐶𝑝 +
𝑛 𝐶𝑝+ 1.
Assim, adicionando dois números consecutivos de uma linha obtém-se o número colocado entre eles na linha seguinte.
Cada elemento que constitui o triângulo corresponde aos coeficientes binomiais ,
𝑛 𝐶𝑝.
Exercício 2
A soma de todos os elementos de uma certa linha do triângulo de Pascal é 8192. Qual é o quarto elemento da linha anterior?
Sugestão de resolução:
Uma vez que a soma de todos os elementos da linha 𝑛 é igual a 2 𝑛, pretende-se descobrir o valor de 𝑛 tal que 2 𝑛^ =
𝑛 = 13, dado que 213 = 8192.
Como estamos a tratar da linha de ordem 13 , os seus elementos são da forma
12 𝐶𝑝.
Assim, o quarto elemento da linha anterior é
12 𝐶 3 = 220
Exercício 3
A soma dos três últimos números de uma linha do triângulo de Pascal é 291. Determina o terceiro elemento da linha seguinte.
Sugestão de resolução:
A soma dos três últimos números de uma linha do triângulo de Pascal é igual à soma dos três primeiros.
Como o primeiro é 1 , a soma do segundo com o terceiro é 290 , ou seja,
Uma vez que
𝑛 𝐶 1 +
𝑛 𝐶 2 =
𝑛+ 𝐶 2 e
𝑛+ 𝐶 2 é o terceiro elemento da linha seguinte, tem-se que o número pretendido é 𝟐𝟗𝟎.
𝑛
𝑛
