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Resolução de questão sobre logaritmo.
Tipologia: Exercícios
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1 Problema
Seja x ∈ R, a única solução da igualdade:
log 2 x + log 8 x + log 64 x = logx 2 + logx 16 + logx 128
Se
log 2 x + logx 2 =
a
b
c
onde mdc(a,c)=1 e b não é um quadrado perfeito, calcule abc.
2 Resolução
log 2 x + log 8 x + log 64 x = logx 2 + logx 16 + logx 128
log 2 x +
log 2 x +
log 2 x = logx 2 + 4 logx 2 + 7 logx 2
log 2 x = 12 logx 2
log 2 x = 8 logx 2
log 10 x
log 10 2
log 10 2
log 10 x
(log 10 x) 2 = 8(log 10 2) 2
(log 10 x) 2
(log 10 2)^2
log 10 x
log 10 2
(log 2 x)
2 = 8
q (log 2 x)
|log 2 x| =
Portanto temos:
log 2 x =
8 ou log 2 x = −
Logo para o primeiro caso teremos:
log 2 x = 2
x = 2 2
√ 2
Para o segundo caso teremos:
log 2 x = − 2
x = 2 − 2
√ 2
Como o problema afirma que:
log 2 x + logx 2 =
a
b
c
Basta subtituir os valore encontrados de x e encontrar o valor de
a
b
c
Para o primeiro valor de x obtemos:
2
√ 2
Neste caso o produto abc = 2. 4 .9 = 72
Agora analisando o caso (ii) temos que o resultado encontrado é o mesmo
daquele procurado, ou seja:
a
b
c
Isto é:
a = − 9 b = 2 c = 4
Os outros dois critérios também são satisfeitos:
b não é um quadrado perfeito
e
mdc(a, c) = mdc(− 9 , 4) = mdc(9, 4) = 1
Sendo assim, neste caso o produto abc = 2. 4 .(−9) = − 72
Portanto os possíveis valores para o produto abc são 72 e − 72.
