Exercícios de Matemática: Logarítmos - Projeto Medicina, Exercícios de Matemática

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Exercícios de Matemática

Logarítmos

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

(Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa.

1. Sejam as funções f:IRëIR e g:(0,+¶)ë|R dadas respectivamente por f(x)=5Ñ e g(x)=log…x. Analise as afirmativas a seguir: ( ) f(x) > 0 ¯x Æ |R. ( ) g é sobrejetora. ( ) g(f(x)) = x ¯x Æ |R. ( ) g(x) = 1 Ì x = 5 ( ) Se a e b são reais e a < b, então f(a) < f(b).

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Cesgranrio) A pressão atmosférica p varia com a altitude h segundo a lei h = a + b log p, onde a e b são constantes.

2. Medindo a altura h em metros, a partir do nível do mar, e medindo a pressão p em atmosferas, os valores das constantes a e b satisfarão: a) a < 0 e b > 0 b) a < 0 e b < 0 c) a = 0 e b < 0 d) a > 0 e b < 0 e) a > 0 e b > 0
3. (Ufpr) Considere o conjunto S={1,2,-1,-2}. É correto afirmar que:

1. O total de subconjuntos de S é igual ao número de permutações de quatro elementos.
2. O conjunto solução da equação (x£-1)(x£-4)=0 é igual a S.
3. O conjunto-solução da equação 2log•³x=log•³3+log•³[x-(2/3)] está contido em S.
4. Todos os coeficientes de x no desenvolvimento de (x-1)¥ pertencem a S.

4. (Fatec) Seja a progressão aritmética (..., x, logŠ(1/n), logŠ1, logŠn, logŠn£, y,...) com o n inteiro, n μ 2. Os valores de x e y são, respectivamente,

a) 0 e logŠn¤ b) logŠ(1/n£) e 2 c) -1 e logŠn¥ d) 0 e 3 e) -2 e 3

5. (Pucsp) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996? (Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) a) 1998 b) 1999 c) 2000 d) 2001 e) 2002
6. (Unicamp) A função L(x) = aeöÑ fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada. a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes. b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.
7. (Cesgranrio) Explosão de Bits A velocidade dos computadores cresce de forma exponencial e, por isso, dentro de alguns anos teremos uma evolução aceleradíssima. Para o inventor Ray Kurzweil, um computador de mil dólares tem hoje a mesma inteligência de um inseto. No futuro, ele se igualará à capacidade de um rato, de um homem e, finalmente, de toda a humanidade.

12. (Uerj) Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao ano. Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos. a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano. b) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t, medido em anos. Se t = 1/logx, determine o valor de x.
13. (Ufpe) Em 2002, um banco teve lucro de um bilhão de reais e, em 2003, teve lucro de um bilhão e duzentos milhões de reais. Admitindo o mesmo crescimento anual para os anos futuros, em quantos anos, contados a partir de 2002, o lucro do banco ultrapassará, pela primeira vez, um trilhão de reais? (Obs.: use as aproximações Øn (1000) ¸ 6,907, Øn (1,2) ¸ 0,182.)
14. (Ita) Sendo x um número real positivo, considere as matrizes mostradas na figura a seguir

A soma de todos os valores de x para os quais (AB)=(AB) é igual a a) 25/3. b) 28/3. c) 32/3. d) 27/2. e) 25/2.

15. (Unitau) Sendo A=C5,2(combinação de 5 dois a dois), B=log0,01 e C=(2£)-¢, o valor da expressão A.B.C é: a) 1. b) 2. c) 10. d) - 5. e) 5.
16. (Cesgranrio)

Observe os cinco cartões anteriores. Escolhendo-se ao acaso um desses cartões, a probabilidade de que nele esteja escrito um logaritmo cujo valor é um número natural é de: a) 0 b) 1/ c) 2/ d) 3/ e) 4/

17. (Unesp) Os biólogos dizem que há uma alometria entre duas variáveis, x e y, quando é possível determinar duas constantes, c e n, de maneira que y=c.x¾. Nos casos de alometria, pode ser conveniente determinar c e n por meio de dados experimentais. Consideremos uma experiência hipotética na qual se obtiveram os dados da tabela a seguir.

Supondo que haja uma relação de alometria entre x e y e considerando log 2=0,301, determine o valor de n.

18. (Ufv) Considere as seguintes funções reais e os seguintes gráficos:

Fazendo a correspondência entre as funções e os gráficos, assinale, dentre as alternativas a seguir, a seqüência CORRETA: a) I-A, II-B, III-C, IV-D b) I-A, II-D, III-C, IV-B c) I-B, II-D, III-A, IV-C d) I-C, II-B, III-A, IV-D e) I-B, II-C, III-D, IV-A

19. (Mackenzie) Se 2Ñ. 3Ò-¢ = 18Ò/2, então x. y é: a) 0 b) - c) 2 d) - e) 1
20. (Fuvest) O número real x que satisfaz a equação log‚ (12 - 2Ñ) = 2x é: a) log‚ 5 b) log‚ Ë c) 2 d) log‚ Ë e) log‚ 3
    21. (Unesp) Considere a função f, definida por f(x)=logŠx. Se f(n)=m e f(n+2)=m+1, os valores respectivos de n e m são: a) 2 e 1. b) 2 e 2. c) 3 e 1. d) 3 e 2. e) 4 e 1.
    22. (Fuvest) A figura a seguir mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O valor de b é:

a) 1/4. b) 2. c) 3. d) 4. e) 10.

23. (Fuvest) O número x >1 tal que logÖ2= log„x é:

32. (Unesp) Seja x um número real, 16<x<81. Então: a) logƒx < log‚x b) log‚x < logƒx c) logÖ2 = logÖ d) log‚x¤ = 1 e) logƒx£ = 10
33. (Fuvest) Sabendo-se que 5¾ = 2, podemos concluir que log‚100 é igual a: a) 2/n b) 2n c) 2 + n£ d) 2 + 2n e) (2 + 2n)/n
34. (Fuvest) Considere as equações:

I. log(x + y) = log x + log y II. x + y = xy

a) As equações I e II têm as mesmas soluções? Justifique. b) Esboce o gráfico da curva formada pelas soluções de I.

35. (Unicamp) Calcule o valor da expressão a seguir, onde n é um número inteiro, nμ2. Ao fazer o cálculo, você verá que esse valor é um número que não depende de n.
    36. (Unesp) Seja n>0, n·1, um número real. Se logŠx=3 log³x para todo número real x>0, x·1, então: a) n = 3 b) n = 10/ c) n = 30 d) n = ¤Ë e) n = 10¤
    37. (Cesgranrio) Se log•³ 123 = 2,09, o valor de log•³ 1,23 é: a) 0, b) 0, c) 0, d) 1, e) 1,
    38. (Fuvest) Seja f(x) o logaritmo de 2x na base x£+(1/2). a) Resolva a equação f(x) = 1/2. b) Resolva a inequação f(x) > 1.
    39. (Cesgranrio) Se log Ë(a) = 1,236, então o valor de log ¤Ë(a) é: a) 0, b) 0, c) 1, d) 1, e) 2,
    40. (Fatec) Se logƒ2=u e log…3=v, então log…¦Ë(10000) é igual a a) u(u+1)/v b) (4/5) (uv+1) c) 4(u+v)/ d) 4uv/ e) u+v
    41. (Fatec) Se 2-¢.2-¤.2-¦.2-¨.... 2¢-£¾=(1/16)Ñ, com n Æ lN-{0}, então n é igual a a) 2 log‚x b) 2 logÖ c) 2Ëx d) xË e) 2 + log‚x

42. (Fei) Se log 2 = a e log 3 = b, escrevendo log 32/27 em função de a e b obtemos: a) 2a + b b) 2a - b c) 2ab d) 2a/b e) 5a - 3b
43. (Fei) O valor numérico da expressão 1- (log0,001)£/(4+log10000), onde log representa o logarítimo na base 10, é: a) 2 b) 1 c) 0 d) - e) -
44. (Ime) Considerando log2=a e log3=b, encontre em função de a e b, o logarítmo do número ¦Ë(11,25) no sistema de base 15.
45. (Ita) Seja a Æ R, a > 1. Para que

o valor de a é: a) 2 b) 3 c) 5 d) 9 e) 10

46. (Ita) Se (x³,y³) é uma solução real do sistema

ýlog‚ (x + 2y) - logƒ (x - 2y) = 2 þ ÿx£ - 4y£ = 4

então x³ + y³ é igual a: a) 7/ b) 9/ c) 11/ d) 13/ e) 17/

47. (Unicamp) Resolva o sistema:

ýlog‚x + log„y = 4 þ ÿxy = 8

48. (Uel) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é a) o número ao qual se eleva a para se obter b. b) o número ao qual se eleva b para se obter a. c) a potência de base b e expoente a. d) a potência de base a e expoente b. e) a potência de base 10 e expoente a.
49. (Uel) A solução real da equação -1 = log…[ 2x/(x+1) ] é a) 1/ b) - 1/ c) - 1 d) - 5 e) - 9
50. (Uel) Admitindo-se que log…2=0,43 e log…3=0,68, obtém-se para log…12 o valor a) 1, b) 1, c) 1, d) 1, e) 0,

59. (Ufc) Considere a função real de variável real definida pela expressão a seguir.

Determine: a) o domínio de F; b) os valores de x para os quais F(x) μ 1.

60. (Uece) Seja k um número real positivo e diferente de 1. Se

então 15k+7 é igual a: a) 17 b) 19 c) 27 d) 32

61. (Uece) Sejam Z o conjunto do números inteiros,

V• = {x Æ Z; 1 - 2log‡Ë(x+3) > 0} e

V‚ = { x Æ Z; (7Ñ/Ë7) - (Ë7)Ñ/7 μ 0}.

O número de elementos do conjunto V º V‚ é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

62. (Mackenzie) Se f de IRø* em IR é uma função definida por f(x) = log‚x, então a igualdade f¢(x + 1) - f-¢(x) = 2 se verifica para x igual a : a) 1/2. b) 1/4. c) Ë2. d) 1. e) 2.
63. (Ufsc) Se os números reais positivos a e b são tais que

ýa - b = 48 þ ÿlog‚ a - log‚ b = 2

calcule o valor de a + b.

64. (Mackenzie) Se f (x + 2) = 12.2Ñ, ¯ x Æ IR, então a solução real da equação f (x) - log‚ | x | = 0 pertence ao: a) [-3, -2]. b) [-2, -1]. c) [-1, 0]. d) [0, 1]. e) [1, 2].

65. (Ufc) Sendo a e b números reais positivos tais que:

Calcule o valor de a/b.

66. (Fgv) O mais amplo domínio real da função dada por f(x)=Ë[logƒ(2x-1)] é a) {x Æ IR | x · 1/2} b) {x Æ IR | x > 1} c) {x Æ IR | 1/2 < x ´ 1} d) {x Æ IR | x μ 1/2} e) {x Æ IR | x · 1}
67. (Fgv) Se o par ordenado (a; b) é a solução do sistema

ýË(2Ñ®Ò) = 2Ò þ ÿlog•³ (3x + 4) = 1 + log•³ (y - 1)

então a.b é igual a a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

68. (Ufpe) A expressão log(6-x-x£) assume valores reais apenas para x pertencente a um intervalo de números reais, onde log é o logarítimo decimal. Determine o comprimento deste intervalo.
    69. (Fuvest) Se log•³8 = a então log•³5 vale a) a¤ b) 5a - 1 c) 2a/ d) 1 + a/ e) 1 - a/
    70. (Uel) Os números reais que satisfazem à equação log‚(x£ -7x) = 3 pertencem ao intervalo a) ]0, + ¶ [ b) [0, 7] c) ]7, 8] d) [-1, 8] e) [-1, 0]
    71. (Uel) Se o número real K satisfaz à equação 3£Ñ- 4.3Ñ+3=0, então K£ é igual a a) 0 ou 1/ b) 0 ou 1 c) 1/2 ou 1 d) 1 ou 2 e) 1 ou 3
    72. (Uel) A soma das características dos logarítmos decimais dados por log 3,2; log 158 e log 0,8 é igual a a) - b) 0 c) 1 d) 3 e) 5
    73. (Fuvest) O conjunto das raízes da equação

log•³ (x£) = (log•³ x)£ é

a) {1} b) {1, 100} c) {10, 100} d) {1, 10} e) {x Æ R | x > 0}

74. (Mackenzie) A menor raiz da equação log‚2ò - 2ö=0, sendo a=x£ e b=log‚2Ñ pertence ao intervalo: a) [-2, -1] b) [-1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3]

84. (Fatec) Se log 2 = 0,3, então o valor do quociente log…32/log„5 é igual a: a) 30/ b) 7/ c) 49/ d) 90/ e) 9/
85. (Unesp) Sejam y, i, j números reais positivos e diferentes de 1. Se x=logÙ ij, w=log‹ yj, z=logŒ yi, demonstre que: (x + 1) (w + 1) (z + 1) = 0 se e somente se yij =1.
86. (Fei) Se A = log‚x e B = log‚x/2 então A - B é igual a a) 1 b) 2 c) - d) - e) 0
87. (Cesgranrio) O valor de log Ö (xËx) é: a) 3/4. b) 4/3. c) 2/3. d) 3/2. e) 5/4.
88. (Mackenzie)

Na igualdade anterior, supondo x o maior valor inteiro possível, então, neste caso, xÒ vale: a) 4x b) 1 c) 8x d) 2 e) 2x

89. (Mackenzie)

Relativamente às desigualdades anteriores, podemos afirmar que: a) todas são verdadeiras. b) somente ( I ) e ( II ) são verdadeiras. c) somente ( II ) e ( III ) são verdadeiras. d) somente ( I ) e ( III ) são verdadeiras. e) todas são falsas.

90. (Mackenzie)

Relativamente às afirmações anteriores, podemos afirmar que: a) todas são verdadeiras. b) todas são falsas. c) somente I e II são verdadeiras. d) somente I e III são verdadeiras. e) somente II e III são verdadeiras.

91. (Cesgranrio) Se log•³(2x - 5) = 0, então x vale: a) 5. b) 4. c) 3. d) 7/3. e) 5/2.
92. (Cesgranrio) Sendo a e b as raízes da equação x£+100x-10=0, calcule o valor de log•³[(1/a) + (1/b)].
93. (Uff) Pode-se afirmar que o valor de log 18 é igual a: a) log 20 - log 2 b) 3 log 6 c) log 3 + log 6 d) log 36 / 2 e) (log 3) (log 6)
94. (Puccamp) Se (2Ë2)Ñ = 64, o valor do logaritmo a seguir é:

a) - b) -5/ c) -2/ d) 5/ e) 2/

95. (Unesp) Sejam x e y números reais positivos. Se log(xy) = 14 e log(x£/y) = 10, em que os logaritmos são considerados numa mesma base, calcule, ainda nessa base: a) log x e log y b) log (Ëx. y).
    96. (Unesp) Sejam a e b números reais positivos tais que a.b=1. Se logÝaö = logÝbò, em que C é um número real (C> e C·1), calcule os valores de a e b.
    97. (Pucsp) Dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, um número real k é solução da inequação mostrada na figura adiante,

se, somente se, a) k > -3 e k · 0,3. b) k < -0,3 ou k > 0,3. c) k < -3 ou k > 3. d) -3 < k < 3. e) -0,3 < k < 0,3.

98. (Fuvest) Qual das figuras a seguir é um esboço do gráfico da função f(x)=log‚2x?
99. (Unicamp) Dada a função f(x) = log•³ (2x + 4)/3x, encontre: a) O valor de x para o qual f(x) = 1. b) Os valores de x Æ |R para os quais f(x) é um número real menor que 1.

108. (Ufmg) Observe a figura.

Nessa figura, está representado o gráfico de f(x)=logŠx. O valor de f(128) é: a) 5/ b) 3 c) 7/ d) 7

109. (Unesp) Considere os seguintes números reais:

Então: a) c < a < b. b) a < b < c. c) c < b < a. d) a < c < b. e) b < a < c.

110. (Unirio) O conjunto-solução da equação log„x+logÖ4=5/2 sendo U=IR*ø -{1} é tal que a soma de seus elementos é igual a: a) 0 b) 2 c) 14 d) 16 e) 18
111. (Ufrs) Dada a expressão S = log 0,001 + log 100, o valor de S é: a) - b) - c) - d) 0 e) 1
112. (Cesgranrio) A soma dos termos da sequência finita (logÖx/10,logÖx,logÖ10x,...,logÖ10000x), onde x Æ IRø*-{1} e logx=0,6, vale: a) 21, b) 18, c) 12, d) 8, e) 6,
113. (Ita) O valor de y Æ IR que satisfaz a igualdade

a) 1/ b) 1/ c) 3 d) 1/ e) 7

114. (Ita) A inequação mostrada na figura adiante

é satisfeita para todo x Æ S. Então: a) S = ] - 3, - 2] » [ - 1, + ¶[ b) S = ] - ¶, - 3[ » [ - 1, + ¶[ c) S = ] - 3, -1] d) S = ] -2, + ¶] e) S = ] - ¶, - 3 [»] - 3, + ¶[

115. (Mackenzie) Em logÙ 1000 = 2 logÖ 10, 0 <y · 1, x vale: a) ¤Ëy b) Ëy c) ¤Ëy£ d) y£ e) y¤
116. (Mackenzie) Supondo log 3980 = 3,6, então, dentre as alternativas a seguir, a melhor aproximação inteira de

é: a) 100 b) 120 c) 140 d) 160 e) 180

117. (Mackenzie) Se logÙ 5 = 2x, 0 < y · 1, então (y¤Ñ+y-¤Ñ)/(yÑ+y-Ñ) é igual a: a) 121/ b) 21/ c) 1/ d) 21/ e) 121/
118. (Mackenzie) Considere a função f(x) mostrada na figura a seguir:

a) 3 b) 2 c) 100 d) Ë e) 10 Ë

119. (Uel) O valor da expressão: (logƒ 1 + log³ 0,01) / [log‚ (1/64). log„Ë8] é

a) 4/ b) 1/ c) 4/ d) 3/ e) 2/

120. (Uel) Se logƒ 7 = a e log… 3 = b, então log… 7 é igual a a) a + b b) a - b c) a/b d) a. b e) aö

128. (Mackenzie) Se log‹ 6 = m e log‹ 3 = p, 0 < i · 1, então o logaritmo de i/2 na base i é igual a: a) 6m - 3p b) m - p - 3 c) p - m + 1 d) m - p + 1 e) p - m + 6
129. (Mackenzie) A partir dos valores de A e B mostrados na figura adiante, podemos concluir que: a) A = B/ b) A = B c) B = A/ d) A/3 = B/ e) A/5 = B/
130. (Mackenzie) O número real k mostrado na figura a seguir está no intervalo: a) [ 0, 1 [ b) [ 1, 2 [ c) [ 2, 3 [ d) [ 3, 4 [ e) [ 4, 5 ]
131. (Unirio) Um professor propôs aos seus alunos o seguinte exercício: "Dada a função f: IRø* ë IR determine a imagem de x=1024"

f(x) = log‚ 64x¤

Qual não foi sua surpresa quando, em menos de um minuto, um aluno respondeu corretamente que a imagem era: a) 30 b) 32 c) 33 d) 35 e) 36

132. (Unb) Julgue os seguintes itens.

(0) Se x > 0 e (x + 1/x)£ = 7, então x¤+1/x¤ = 7Ë7.

(1) Sabendo-se que, para todo x · 1 e n Æ IN,

1 + x + x£ + ... x¾ - ¢= (x¾ - 1)/(x - 1), então

(1+3) (1+3£) (1+3¥) (1+3©) (1+3¢§) (1+3¤£) = = (3¤¤-1)/2.

(2) Sabendo-se que 0 < log•³¤ < 0,5, é correto afirmar que o número de algarismos de 30¢¡¡¡ é menor que

1502. (Unb) Estima-se que 1350 m£ de terra sejam necessários para fornecer alimento para uma pessoa. Admite-se, também, que há 30 x 1350 bilhões de m£ de terra arável no mundo e que, portanto, uma população máxima de 30 bilhões de pessoas pode ser sustentada, se não forem exploradas outras fontes de alimento. A população mundial, no início de 1987, foi estimada em 5 bilhões de habitantes. Considerando que a população continua a crescer, a uma taxa de 2% ao ano, e usando as aproximações Øn1,02=0,02; Øn2=0,70 e Øn3=1,10, determine em quantos anos, a partir de 1987, a Terra teria a máxima população que poderia ser sustentada.

134. (Uel) Sabendo-se que log2=0,30, log3=0,48 e 12Ñ=15Ò, então a razão x/y é igual a a) 59/ b) 10/ c) 61/ d) 31/ e) 7/
135. (Uel) Se log‚x+log„x+logˆx+log†x=-6,25, então x é igual a a) 8 b) 6 c) 1/ d) 1/ e) 1/
136. (Ufrs) A expressão gráfica da função y=log(10x£), x>0, é dada por a) I b) II c) III d) IV e) V
137. (Puccamp) Sabe-se que 16Ñ = 9 e logƒ 2 = y. Nessas condições, é verdade que a) x = 2y b) y = 2x c) x. y = 1/ d) x - y = 2 e) x + y = 4
138. (Unb) Um método para se determinar o volume de sangue no corpo de um animal é descrito a seguir.

I- Uma quantidade conhecida de tiossulfato é injetada na corrente sangüínea do animal. II- O tiossulfato passa a ser continuamente excretado pelos rins a uma taxa proporcional à quantidade ainda existente, de modo que a sua concentração no sangue decresce exponencialmente. III- São feitas marcações dos níveis de concentração de tiossulfato, em mg/L, a cada 10min após a injeção, e os dados são plotados em um sistema de coordenadas semilogarítmicas - no eixo das ordenadas, são marcados os logaritmos, na base 10, das concentrações encontradas em cada instante t. IV- Para se obter a concentração do plasma no momento da injeção - indicado no gráfico como o instante inicial t=0 - , prolonga-se o segmento de reta obtido até que ele intercepte o eixo das ordenadas.

A figura a seguir ilustra um exemplo de uso desse método, quando iguais quantidades de tiossulfato - 0,5g - foram aplicadas em dois animais - A e B.

Com base nas informações acima e assumido que a aplicação do tiossulfato não altere o volume de sangue dos animais, julgue os itens seguintes.

(1) A capacidade de eliminação do tiossulfato do animal A é superior à do animal B. (2) A quantidade total de sangue no corpo do animal A é de 625mL. (3) Transcorridos 60min desde a aplicação do tiossulfato, a concentração deste na corrente sangüínea do animal A era superior a 80mg/L.