Sequências
Limites
Convergência: lim
𝑛→∞𝑎𝑛=𝐿
Divergência: lim
𝑛→∞𝑎𝑛=∓ ∞
Propriedades:
lim
𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑏𝑛)=(lim
𝑛→∞𝑎𝑛)+(lim
𝑛→∞𝑏𝑛)
lim
𝑛→∞(𝑎𝑛−𝑏𝑛)=(lim
𝑛→∞𝑎𝑛)−(lim
𝑛→∞𝑏𝑛)
lim
𝑛→∞(𝑐∙𝑎𝑛)=c∙(lim
𝑛→∞ 𝑎𝑛)
lim
𝑛→∞(𝑎𝑛∙𝑏𝑛)=(lim
𝑛→∞𝑎𝑛)∙(lim
𝑛→∞𝑏𝑛)
lim
𝑛→∞(𝑎𝑛
𝑏𝑛)=lim
𝑛→∞𝑎𝑛
lim
𝑛→∞𝑏𝑛
OBS: É preciso garantir a existência de
todos os limites envolvidos antes de
se aplicar o teorema.
OBS 2: Se lim
𝑛→∞(𝑐∙𝑎𝑛) diverge,
c∙(lim
𝑛→∞ 𝑎𝑛) também diverge.
Limite de Funções Racionais
lim
𝑛→∞𝑎𝑘𝑛𝑘+𝑎𝑘−1𝑛𝑘−1 +⋯,𝑎1𝑛+𝑎0
𝑏𝑙𝑛𝑙+𝑎𝑙−1𝑛𝑙−1 +⋯,𝑏1𝑛+𝑏0
• 𝑘 = 𝑙 → lim
𝑛→∞ =𝑎𝑘
𝑏𝑙
• 𝑘< 𝑙→ lim
𝑛→∞ = 0
• 𝑘> 𝑙→ lim
𝑛→∞ = ∓ ∞
Teorema do Confronto
Sejam 𝑏𝑛≤𝑎𝑛≤𝑐𝑛 para
todo 𝑛>𝑛0:
Se lim
𝑛→∞𝑏𝑛= lim
𝑛→∞𝑐𝑛=𝐿,
logo:
lim
𝑛→∞𝑎𝑛= lim
𝑛→∞𝑏𝑛= lim
𝑛→∞𝑐𝑛=𝐿
Corolário: Se 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞|𝑎𝑛|=0, então
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞𝑎𝑛=0.
Teorema
Se lim
𝑛→∞𝑎𝑛=𝐿, e seja f uma função
definida em um intervalo contendo
L, então:
lim
𝑛→∞[𝑓(𝑎𝑛)]=𝑓(lim
𝑛→∞𝑎𝑛)
Teorema
Se 𝑓(𝑛)=𝑎𝑛, e lim
𝑛→∞𝑓(𝑛)=
𝐿, logo lim
𝑛→∞𝑎𝑛=𝐿
Permite o uso da Regra de
L’Hopital e outras ferramentas do
cálculo.
Teorema (Princípio da Indução-
Infinita):
Seja S(n) uma afirmação (fórmula) a
respeito do número natural n.
1. Se 𝑆(1) for verdadeira
2. Da hipótese de 𝑆(𝑛 − 1)
ser verdadeira sempre se
puder concluir (provar) que
S(n) também é verdadeira.
Então S(n) é verdadeira para
todo n.
Sequências monótonas
São monótonas:
• Crescente: 𝑎𝑛+1 ≥𝑎𝑛
• Decrescente: 𝑎𝑛+1 ≤𝑎𝑛
3 (três) métodos para verificar a
monotonicidade de uma sequência:
• 𝑎𝑛+1 ≤𝑎𝑛
• 𝑎𝑛+1
𝑎𝑛≤1
• 𝑓′(𝑥)≥0 ou 𝑓′(𝑥)≤0,
onde 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛
Sequências limitadas
{𝑎𝑛} é limitada superiormente se
existe um M ∈ R tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑀
para todo n.
{𝑎𝑛} é limitada inferiormente se
existe um L ∈ R tal que 𝑎𝑛 ≥ 𝐿 para
todo n.
• {𝑎𝑛} crescente: limitada
inferiormente (por 𝑎_0);
• {𝑎𝑛} decrescente: limitada
superiormente (por 𝑎_0);
Sequências monótonas e limitadas
Toda sequência monótona e limitada
é convergente.
Subsequência
{𝑎𝑛} tem que ser monótona. Se existe
uma subsequência {𝑏𝑛} de {𝑎𝑛} que
converge, então, {an} também é
convergente e,
lim
𝑛→∞𝑎𝑛= lim
𝑛→∞𝑏𝑛= 𝐿
.
Também, se
lim
𝑛→∞𝑏𝑛=∞, então lim
𝑛→∞𝑎𝑛=∞
Dada um {𝑎𝑛}, se existe uma
subsequência {𝑏𝑛} de {𝑎𝑛} que seja
divergente, ou duas subsequências
{𝑏𝑛} e {𝑐𝑛} de {𝑎𝑛} que convergem
para limites diferentes, então {𝑎𝑛} é
divergente.
Séries
Série Geométrica
∑𝑎𝑟𝑛−1
∞
𝑛=1 =∑𝑎𝑟𝑛
∞
𝑛=1 =𝑎+𝑎𝑟+𝑎𝑟2+⋯
É convergente se |𝑟|<1. Nesse caso:
∑𝑎𝑟𝑛−1
∞
𝑛=1 =𝑎
(1−𝑟)
É divergente se |𝑟|>1
Série Telescópica
Se apresentam na forma de fração e
possuem algum produto em seus
denominadores que, quando
decompostos, sua soma é explicitada
(calculando Sn), aparecem termos
semelhantes (com sinais
opostos) em cada uma das parcelas.
Esses termos podem ser cancelados e
uma fórmula para Sn pode ser obtida.
∑1
𝑛(𝑛+1)
∞
𝑛=1
Série harmônica
∑1
𝑛
∞
𝑛=1
Critério para divergência
Se ∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge, então
lim
𝑛→∞𝑎𝑛=0. Logo se ∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1
diverge: lim
𝑛→∞𝑎𝑛≠0 ou lim
𝑛→∞𝑎𝑛 não
existe.
OBS: Não é porque lim
𝑛→∞𝑎𝑛=0, que
a série converge.
Combinação de séries
∑(𝑎𝑛+𝑏𝑛)
∞
𝑛=1 =(∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1 )
+(∑𝑏𝑛
∞
𝑛=1 )
∑(𝑎𝑛−𝑏𝑛)
∞
𝑛=1 =(∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1 )
−(∑𝑏𝑛
∞
𝑛=1 )
∑(𝑐∙𝑎𝑛)
∞
𝑛=1 =𝑐∙(∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1 )
Corolário: Multiplicar uma série por
