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Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade dos Açores Controlo
João M.G. Cabral
- 1 Revisão de Conteúdos Essenciais Conteúdo
- 1.1 Transformada de Laplace
- 1.2 Função de Transferência
- 1.2.1 Sistemas equivalentes
- 1.2.2 Fatores Básicos de G(s)
- 1.3 Redes Reativas - Regime forçado e regime livre
- 2 Sistemas
- 2.1 Exemplos e perspectiva histórica
- 2.2 Modelos de Sistemas físicos
- 2.3 Linearização de sistemas dinâmicos (físicos)
- 2.4 A Transformada de Laplace e os sistemas de 2ª ordem
- 2.4.1 Notas sobre o sistema mola-massa
- 2.4.2 Forma geral dos sistemas de 2ª ordem
- 2.4.3 Representação do atraso no tempo - tempo morto
- 2.5 Estabilidade e desempenho
- 2.5.1 Estabilidade de um sistema
- 2.5.2 Routh
- 2.5.3 Substituição direta
- 2.5.4 Desempenho - caraterização da resposta no tempo de sistemas dinâmicos
- 2.5.5 Equações de Estado
- 3 Diagramas de blocos
- 3.1 Operações elementares dos blocos
- 3.2 Álgebra de Blocos
- Referências
1 Revisão de Conteúdos Essenciais
1.1 Transformada de Laplace
Definição 1. Diz-se que uma função f : [0, +∞[ 7 −→ R ou (C) é de ordem exponencial se existem A > 0 e B ∈ R
tais que
|f (t)| ≤ AeBt, ∀t ≥ 0
Definição 2. Dada uma função f : [0, +∞[ 7 −→ R ou (C) , seccionalmente contínua e de ordem exponencial,
define-se a sua Transformada de Laplace , e representa-se por L(f )(s)) ou F (s), a função de s definida pelo
integral impróprio
L(f )(s) = F (s) =
Z +∞
0
f (t)e−st^ dt = lim
R→+∞
Z R
0
f (t)e−st^ dt.
Teorema 1 ( Região de convergência - ROC). Dada uma função f : [0, +∞[ 7 −→ R ou (C) , seccionalmente
contínua e de ordem exponencial, existe um único número real σ, tal que que o integral
Z +∞
0
f (t)e−st^ dt
converge, Re (s) > σ
diverge, Re (s) < σ
Chama-se abcissa de convergência ao número σ e tem-se
σ ≤ inf{B ∈ R : ∃A > 0 , |f (t)| ≤ AeBt}.
Sendo F (s) = P Q^ ((ss)) , designam-se zeros da Transformada aos valores que anulam P (s) e polos da Transfor-
mada aos que anulam Q(s).
Exemplos:
Lap(1)(s) =
Z^ ∞
0
1 .e−st^ dt =
s
, com Re (s) > 0
Lap(eat)(s) =
Z^ ∞
0
eate−st^ dt =
s − a
, com Re (s) > c
Proposição 1 ( Linearidade da transformada). A transformada de Laplace é uma Transformação Linear,
gozando por isso da propriedade aditiva e homogénea.
Considerando F (s) = Lap(f )(s) e G(s) = Lap(g)(s), lista-se a seguir algumas propriedades importantes da
Transformada de Laplace:
- Lineariedade. ∀α, β, αf (t) + βg(t) ↔ αF (s) + βG(s) e Re (s) > max{σ(f ), σ(g)}
- Semelhança f (αt) ↔ (^1) α F
s
α
- Diferenciação da original, grau 1 f ′(t) ↔ −f (0+) + sF (s)
- Diferenciação da original, grau 2 f ′′(t) ↔ −f ′(0+) − sf (0+) + s^2 F (s)
- Derivada da transformada (−1)ntn.f (t) ↔ F (n)(s)
- Integração da original
R^ t
0
f (t) dt ↔ 1 s F (s)
- Integração da transformada (^1) t f (t) ↔
R^ t
s
F (s) ds
- Teorema do retardamento, para t 0 ∈ R+, temos que f (t − t 0 ) ↔ e−st^0 F (s)
- Teorema da deslocação eatf (t) ↔ e−sF (s − a)
- Teorema de Borel
R ∞
p F^ (s)G(s)^ ds^ ↔^
R t
0 f^ (τ^ )g(t^ −^ τ^ )dτ
Transformadas de Laplace e ROC
Propriedades das Transformadas de Laplace e ROC
1.2 Função de Transferência
Se x(t) é a entrada de um sistema e y(t) é a saída deste mesmo sistema, em certas aplicações, é mais interessante representar no diagrama de blocos estes sinais no domínio da frequência, em vez de no domínimo do tempo.
Definição 3. Função de Transferência (FT) A Função de Transferência de um sistema de equações diferenciais lineares e ina- vriantes no tempo é definida como sendo a relação da transformada de Laplace da saída (função resposta) pela transformada de Laplace da entrada (função excitação), sob a hipótese que todas as condições inicias são nulas.
G(s) =
Y (s) X(s)
No seu formato canônico a FT apresenta-se como sendo uma função racional do tipo
G(s) = K
Pm i=0 ais
i Pn i=0 aisi^
q(s) p(s)
- A função transferência de um sistema é uma propriedade do sistema, não dependendo da natureza e da magnitude da entrada.
- A função transferência não fornece informações a respeito da estrutura física do sistema. Isso significa que a FT de sistemas fisicamente diferentes podem ser idênticas.
- O polinómio p(s) é chamado de polinómio caraterístico de G(s), ou polinómio caraterístico do sistema. Os valores que anulam p(s) são chamados polos de G(s) e os que anulam q(s) zeros de G(s).
Observação 1. Como obter a Função de Transferência
- Escrever a equação diferencial que representa o sistema;
- Obter a transformada de Laplace da equação diferencial, admitindo que todas as condições iniciais são nulas;
- Determinar a razão da saída pela entrada, sendo esta a função de transferência do sistema em análise.
Se a função de transferência de um sistema não é conhecida, esta pode ser obtida de forma experimental, usando-se sinais de entrada conhecidos e analizando as respostas.
Definição 4. Diagrama de blocos Um diagrama de blocos é a representação gráfica das funções geradas pelos componentes que compõem o sistema, juntamente com o fluxo de sinais dentro do sistema e indica as interrelações que existem entre os seus vários componentes.
O diagrama de blocos, ao contrário da representação matemática do sistema, fornece uma visão global do sistema, indicando realisticamente a finalidade dos componentes dentro do sistema e como ocorre o fluxo de sinais entre os blocos.
Definição 5. Elementos de um bloco
- Bloco funcional : normalmente apresenta no seu interior a função de transferência de um componente do diagrama.
- Ponto de soma : indica uma operação de adição ou subtração.
- Ponto de junção : ponto a partir do qual o sinal oriundo de um bloco migra para outros blocos ou pontos.
1.2.1 Sistemas equivalentes
- Se num sistema existir realimentação, dizemos que estamos num sistema de malha fechada , caso contrário será um sistema de malha aberta.
- Sistema em cascata
- Sistema em paralelo
- Sistemas com realimentação
Note-se que o sinal do denominador é sempre contrário ao da operação no ponto de soma.
- Exercício: Obter a função de transferência (^) XY^ ((ss))
1.3 Redes Reativas - Regime forçado e regime livre
As redes reativas [3], ou sistemas reativos, são redes que contêm bobines e condensadores, além de elementos resis- tivos, tipo resistências e geradores independentes ou comandados. São descritas por equações diferenciais em que figuram derivadas em ordem ao tempo das correntes e tensões. Os elementos reativos são elementos dinâmicos, armazenam energia, sendo descritos por equações diferenciais. Os elementos resistivos são descritos por equações algébricas. Os elementos reativos podem ter dois ou mais terminais. Os mais conhecidos com dois terminais são os condensadores e as bobines, sendo o transformador um elemento com dois terminais. No estudo das redes reativas lineares resolvem-se equações diferenciais ordinárias, lineares, de coeficientes constantes, de ordem n:
an
dnx(t) dtn^
+... + a 1
dx(t) dt
A função f (t) é designada por excitação , uma função dos geradores independentes. A solução de uma equação deste tipo é constituída por duas parcelas: x(t) = xf (t) + xl(t) ≡ xparticular + xgeral
em que xf (t) é a resposta em regime forçado e xl é a resposta em regime livre. A resposta em regime forçado tem uma forma que depende da excitação e o seu valor não depende das condições iniciais ( valor de x(t) e das suas derivadas até à ordem n − 1 para t = 0); xf (t) satisfaz, sozinho, a equação diferencial completa, ou seja, é uma solução particular. Há dois tipos de regime forçado que são particularmente importantes: o regime forçado contínuo e o regime forçado sinusoidal. No caso do regime forçado contínuo, também designado por DC - Direct Current - os geradores independentes são cons- tantes no tempo, o que implica que f (t) na equação diferencial é constante. A equação diferencial é satisfeita se xf for constante no tempo. No caso do regime forçado sinusoidal, também designado por AC - Alternating Current - os geradores independentes são todos sinusoidais, com a mesma frequência ω e f (t) tem a forma
f (t) = Fm cos(ωt + α).
A equação diferencial é satisfeita se xf for sinusoidal com a mesma frequência ω da excitação, ou seja,
xf (t) = Xm cos(ωt + β).
A resposta em regime livre tem uma forma que não depende da excitação e o seu valor depende das condições inciais e do valor da excitação no instante inicial: xl(t) satisfaz a equação diferencial homogénea. Para que a equação diferencial, onde f (t) = 0, seja satisfeita xl(t) é uma combinação linear de funções exponenciais.
xl(t) =
X^ n
i=
Aiesi^ t
Sendo ansn^ +... + a 1 s + a 0 = 0 a equação caraterística da equação diferencial, as suas raízes têm a designação de Frequên- cias Naturais da rede. A equação caraterística depende da topologia e dos componentes da rede, sendo determinada com os geradores independentes anulados. Nas redes estáveis , que constituem a larga maioria das redes com interesse prático, o regime livre atenua-se à medida que o tempo passa e tende para zero, x(t) → 0 , quando t → ∞. Isso significa que, passado tempo suficiente a partir do instante em que operam os interruptores, o regime livre desaparece e fica apenas o regime forçado. Por isso chama-se regime transitório ao conjunto do regime livre mais o regime forçado.
2 Sistemas
2.1 Exemplos e perspectiva histórica
Definição 6 ( Controlar). Controlar um sistema físico é fazer com que uma ou mais variáveis do sistema assumam um valor desejado, ou sigam uma trajetória de referência
Definição 7 ( Processo). Processo é o sistema físico que se deseja controlar.
Definição 8 ( Variável Controlada). Variável Controlada (ou Saída) é a variável do processo físico que deverá ser forçada a ter um valor fixo ou a seguir uma trajetória de referência.
Definição 9 ( Variável Manipulada). Variável Manipulada (ou Entrada) é a variável através da qual o sistema de controlo atua sobre a Planta (Sistema ou Processo) com o objetivo de forçar a variável controlada a seguir o sinal de referência.
Definição 10 ( Atuador). Atuador é o dispositivo que recebe um sinal de controlo (geralmente uma tensão ou corrente elétrica) e que atua fisicamente no processo, modificando a sua entrada (variável manipulada).
Definição 11 ( Controlador). Controlador (ou Compensador) é o dispositivo que recebe o sinal de referência a ser seguido e emite o sinal de controlo para o atuador, com o objetivo de forçar que a saída do processo siga o sinal de referência recebido.
Definição 12 ( Planta). Planta é o conjunto Atuador + Processo.
Definição 13 ( Realimentação). Realimentação é uma técnica que consiste em medir a variável de saída através de um Sensor e injetar esta informação na entrada do Controlador.
Definição 14 ( Perturbação). Perturbação (ou Distúrbio) é todo o tipo de interferência externa inevitável que afeta a variável que se deseja controlar.
Definição 15 ( Sensor). Sensor é um dispositivo que tem por objetivo medir uma grandeza física do processo (pressão, tem- peratura, humidade, salinidade, deslocamento, velocidade, aceleração, massa, ângulo, velocidade angular, etc.), convertendo o valor medido num sinal elétrico de tensão ou de corrente.
Atributos desejados dos sensores
- Fiabilidade. Deverá poder trabalhar no intervalo de sinais desejado e resistir às condições de operação (ex. a vibração no caso de aeronaves).
- Precisão. O sensor deverá fornecer medidas tão próximas do valor real da variável possível.
- Rapidez na resposta. Caso a variável medida mude rapidamente o sensor deverá ser capaz de seguir variações. Tempos de resposta lentos nas medidas, não só afectam a qualidade do sistema de controlo mas podem tornar a malha de retroacção instável. A instabilidade da malha fechada pode verificar-se mesmo quando a malha de retroacção foi projectada para ser estável assumindo a medida exacta e sem atraso da saída do processo e se utiliza um sensor com atraso.
- Imunidade ao ruído. O sistema de medida, incluindo o caminho de transmissão, não deverá ser significativamente afectado por sinal externos tais como ruído associado à medida,
Algumas imagens do uso de sistemas Controlo em Malha Fechada antigos
Vantagem da utilização de sistemas de controlo
- Melhoria na qualidade do produto final
- Minimização do desperdício
- Menor impacto ambiental
- Aumento da produção fase à capacidade instalada
- Aumento do intervalo temporal da manutenção
- aumento das margens de segurança
Características dos sistemas de controlo modernos Controlador implementado, usando dispositivos eletrónicos
- Inicialmente analógico (válvulas, transístores, amplificadores operacionais)
- Atualmente digital (microprocessador executando algoritmos de controle)
Múltiplas Malhas de Realimentação
- Múltiplas variáveis para controlar (portanto múltiplos sensores) e/ou múltiplas variáveis de entrada para atuar (múl- tiplos atuadores).
Controle Multivariável
- Múltiplas entradas e/ou múltiplas saídas. Técnicas de Controlo Avançadas
- Controlo Ótimo - Parâmetros do controlador otimizados para diversos objetivos (mínimo consumo de energia, otimizar algum índice de desempenho dinâmico, etc.)
- Controlo Adaptativo - Os parâmetros de controlo são ajustados continuamente em função do comportamento da planta a cada momento, possibilitando operar com plantas que têm dinâmica não-linear, que varia no tempo e/ou com algum grau de incerteza (probabilística)
- Controlo Robusto - Parâmetros do controlador ajustados para funcionar bem numa ampla faixa de variação dos pa- râmetros do processo, possibilitando operar com plantas que têm dinâmica não-linear, que varia no tempo e/ou com algum grau de incerteza (probabilística)
2.2 Modelos de Sistemas físicos
Para estudar e controlar sistemas complexos construímos um modelo matemático desses sistemas. Por isso, é necessário analisar a relação entre as variáveis do sistema de modo a construir o modelo matemático. Sendo os sistemas considerados como dinâmicos por natureza, normalmente são descritos por equações diferenciais. Se as equações que descrevem o sistema são linearizáveis então a transformada de Laplace pode ser usada para sim- plificar o método de como se obtém a solução. Na prática, sendo os sistemas complexos, por natureza, bem como o relativo desconhecimento qu epossamos ter dos seus factores principais, é sempre necessário introduzir alguns pressupostos relativos ao modo como o sistema funciona. Assim, é muito comum usar o sistema na sua representação física, descriminar os pressupostos necessários and linearizar o sistema. Usando as leis físicas que descrevem o sistema linear equivalente, obtemos um sistema de equações diferenciais lineares. Finalmente, usando ferramentas matemáticas como a transformada de Laplace, obtemos a solução que descreve o modo de funcionamento, de operação, do sistema. Em síntese, temos o seguinte procedimento:
Figura 2: Circuito RLC
Figura 3: Resposta à voltagem num circuito RLC
desde que a massa seja apenas sujeita a pequenos desvios y(t). No entanto, se y(t) for aumentando de forma contínua a mola acabará por ficar demasiado extendida e partir. Assim, a questão da linearidade e o domínio de aplicabilidade tem de ser considerado para cada sistema.
Figura 4: Alguns exemplos de sistemas físicos
Um sistema é definido como linear em termos da sua excitação ou estado e resposta. Sendo este linear o modelo matemático que o descreve terá como propriedades principais as mesmas que caraterizam as transformações lineares na matemática: a propriedade aditiva (superposição) e a propriedade homogénea (homogeneidade). No caso do sistema elétrico, a excitação é dada pela corrente de entrada r(t) e a resposta é dada pela voltagem. No geral, a condição necessária para que um sistema seja linear é que seja observável o princípio da superposição: Se considerarmos y 1 (t) como sendo a resposta a x 1 (t) e y 2 (t) a resposta a x 2 (t) então a excitação x 1 (t) + x 2 (t) produz como resposta y 1 (t) + y 2 (t). Para além da propriedade aditiva, magnitude do factor escala tem de ser preservado num sistema linear. Temos de observar também a propriedade da homogeneidade: Se a entrada de um sistema for dada por x(t) e a sua saída por y(t)
então a resposta de um sistema linear com múltipla entrada β de x(t) tem de ser igual à saída multiplicada pela constante β. Enquanto nos sistemas mecânicos e elétricos é fácil deduzir domínios específicos para cada uma das suas variáveis, em número razoável, conferindo-lhes caraterísticas que possibilitam o seu estudo como sistemas lineares, o mesmo não acontece para os sistemas termais e de fluídos, pois esses têm uma natureza dominante não linear. Felizmente, podemos sempre linearizar as variáveis assumindo que as mesmas oscilam com pequenas variações, usando ferramentas matemáticas como a Série de Taylor. Num determinado sistema a entrada x(t) e a saída y(t) estão relacionadas por uma determinada operação g de tal forma que y(t) = g(x(t)), em torno de um ponto x 0 , que é designado por Ponto de Equilíbrio ou por Ponto de Operação. Como estamos a trabalhar com sistemas contínuos, assume-se a continuidade numa vizinhança do ponto de equilíbrio e usando a série de Taylor, obtemos:
y = g(x) = g(x 0 ) + dg dx (^) x=x 0
x − x 0 1!
(^2) g dx^2 x=x 0
x − x 0 2!
No ponto de equilíbrio, o declive dg dx (^) x=x 0 é uma boa aproximação para a curva num intervalo pequeno x − x 0. Assim, podemos assumir como uma aproximação a equação y = g(x) = g(x 0 ) + dg dx (^) x=x 0
(x − x 0 ) = y 0 + m(x − x 0 )
e num modo mais sintético y − y 0 = ∆y = m∆x Caso a variável dependente y dependa de várias variáveis de excitação, x 1 , x 2 ,... , xn então a relação fuuncional do sistema é descrita por y = g(x 1 , x 2 ,... , xn) e expandindo a série de Taylor no ponto de equilíbrio x 10 , x 20 ,... , xn 0 ficamos com:
y = g(x 10 , x 20 ,... , xn 0 ) +
dg dx (^1) x=x 0
(x 1 − x 10 ) +
dg dx (^2) x=x 0
(x 2 − x 20 ) +... +
dg dxn (^) x=x 0
(xn − xn 0 )
Considerando as variáveis de estado x e as entradas u, de uma forma genérica, podemos sintetizar o processo de lineari- zação de um sistema descrito por uma equação diferencial
dx dt
= f (x, u)
do seguinte modo:
Passo 1: Definir os pontos de equilíbrio uQ e uQ
Passo 2: Definir as variáveis de perturbação ∆x = x − xQ e ∆u = u − uQ
Passo 3: Expandir em Série de Taylor e obter o modelo linear, calculando
a =
δf δx (^) Q
e b =
δf δu (^) Q
dx dt
= a∆x + b∆u
A aproximação linear é dada por x(t) = ∆x(t) + xQ.
Como é óbvio, sendo o processo de linearização uma modelação matemática, contém sempre algum erro. Estes erros são conhecidos como Erros de modelação. Considerando o modelo do sistema real e o modelo nominal (linearizado) dados, respetivamente, por: y = g(u) e y 0 = g 0 (u), podemos identificar dois tipos de erro: Os aditivos ge, em que y = y 0 + ge(u), onde ge(u) = g(u) − g 0 (u) e os multiplicativos, g∆, que são formulados por y = g 0 (u + g∆(u)). Os erros de modelação aditivos têm o handicap de não serem escaláveis face à dimensão do modelo nominal, logo dá-se, quase sempre, prioridade a um modelo multiplicativo.
2.4.1 Notas sobre o sistema mola-massa
Segundo o teorema do valor final, no nosso sistema mola-massa, usado como exemplo, o polo simples de Y (s) na origem é permitido, e todos os polos no semi-plano direito e no eixo imaginário são excluídos. Assim, temos que neste sistema o valor deste limite é zero. Logo a posição final para a massa é a posição normal de equilíbrio y = 0. Podemos reescrever a equação caraterística Y (s) do sistema de mola-massa do seguinte modo:
Y (s) =
(s + b/M )y 0 s^2 + (b/M )s + k/M
(s + 2ζωn)y 0 s^2 + 2ζωns + ω^2 n
A variável ζ representa o rácio de amortecimento ou razão de amortecimento e ωn a frequência natural do sistema. As raízes da equação caraterística são
s 1 , s 2 = −ζωn ± ωn
p ζ^2 − 1 , ωn =
p k/M , ζ = b/2(
kM )
- Para ζ > 1 as raízes são reais e o sistema é superamortecido ;
- Para ζ < 1 as raízes são complexas e o sistema é subamortecido ;
- Para ζ = 1 as raízes são reais múltiplas e a condição é de amortecimento crítico.
Os polos e zeros de Y (s) estão representados na figura 6 onde θ = cos−^1 ζ. À medida que ζ varia com ωn constante, as raízes complexas conjugadas dispõem-se ao longo de um lugar geométrico - locus - circular, como podemos verificar na figura 7. A resposta transiente aumenta em oscilação à medida que as raízes se aproximam do eixo imaginário e ζ aproxima-se de zero.
Figura 6: O s-plano de polos e zeros Y (s)
Figura 7: O lugar geométrico das raízes à medida que ζ varia com ωn constante.
A decomposição em frações elementares de Y (s) é
Y (s) =
k 1 s − s 1
k∗ 1 s − s∗ 1
com o ′∗′^ a representar a relação conjugada. Obtemos neste caso
k 1 = y^0 2
p 1 − ζ^2 ej(π/^2 −θ)^
, k 2 = y^0 2
p 1 − ζ^2
ej(π/^2 −θ)
Assim,como y(t) = k 1 es^1 t^ + k 2 es^2 t, temos que
y(t) =
y 0 p 1 − ζ^2
e−ζωntsen
ωn
p 1 − ζ^2 t + θ
Graficamente, podemos observar na figura 8 a resposta do sistema mola-massa.
Figura 8: Resposta do sistema amortecedor mola-massa
A relação entre a localização dos polos e zeros no s-plano e a forma da resposta transiente permite-nos extrair conclu- sões olhando apenas ao comportamento gráfico desta localização. Por exemplo, na última equação de y(t), aqui descrita, se ajustarmos os valores de ζωn faz com que o envelope eζ^ ωnt também varie. Quanto maior for o valor de ζωn maior o amortecimento da resposta do sistema. Na figura 6 verificamos que a posição do polo s 1 é dada por
s 1 = −ζωn + jωn
p 1 − ζ^2
Logo, aumentando o valor de ζωn o polo move-se mais para o lado direito do s-plano. Então, a conexão entre a localização do polo no s-plano e a resposta ao degrau unitário é aparente - movendo o polo s 1 mais para o lado esquerdo do s-plano conduz a um amortecimento mais rápido da resposta transiente ao degrau unitário. Como é óbvio, a maioria dos sistemas de controlo terão mais do que um par de polos, logo a resposta transiente (transi- tória) será o resultado do contributo dado por cada um dos polos.
2.4.2 Forma geral dos sistemas de 2ª ordem
Sendo u(t) o degrau unitário, aqui consideramos os sistemas de 2ª ordem descritos pela equação caraterística
d^2 y dt^2
(t) + 2ζωn
dy dt
(t) + ω^2 ny(t) = ω^2 nu(t)
O valor ωn > 0 é designado por frequência natural , sendo ζ ≥ 0 o respetivo coeficiente de amortecimento. Nestes sistemas podemos ter dois tipos de resposta: A livre e a forçada.
- Resposta Livre - Quando u(t) = 0 e assim
Y l(s) = s^ + 2ζωn s^2 + 2ζωns + ω n^2
y(0−) + 1 s^2 + 2ζωns + ω^2 n
y′(0−)
- Resposta Forçada - Quando y(0−) = 0, y′(0−) = 0 e assim
Y l(s) =
ω n^2 s^2 + 2ζωns + ω^2 n
U (s)
Definindo ωd = ωn
p 1 − ζ^2 como sendo a frequência amortecida (damped), teremos a localização dos polos dada por (figura 9):
