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O que é uma sucessão de números reais? ,! Uma sucessão u de números reais é uma função real que vai de N para R. O contradomínio da sucessão un é o conjunto {un : n 2 N} Definição de limite finito de uma sucessão lim un = a 2 R (un! a) se, para todo o número real positivo existir uma ordem p 2 N tal que: 8 n 2 N , n p ) |un a| < Exercício 1 Considera un = 8 n 2 n^2 Usando a definição de limite mostra que lim un = (^82) Seja > 0 , |un a| < , |^8 n 2 n 2 82 | < , |^8 n 22 n 8 n| < , | (^22) n | < , (^1) n < , n > (^1) Considere-se p 2 N tal que p (^1) . Então para n > p, |un 82 | < (lim un = 82 ). Sucessão com limite infinito
- lim un = + 1 : Quando para todo L > 0 existe uma ordem p 2 N tal que 8 n 2 N, n p ) un > L
- lim un = 1 : Quando para todo L > 0 existe uma ordem p 2 N tal que 8 n 2 N, n p ) un < L
Exercício 2 Considera tn = n+1 2 Usando a definição de limite mostra que lim tn = + 1 Seja L > 0 , tn > L , n+1 2 > L , n + 1 > 2 L , n > 2 L 1 Considere-se p 2 N tal que p 2 L 1. Então para n > p, tn > L (lim tn = + 1 ). Exercício 3 Considera vn = 6 62 n Usando a definição de limite mostra que lim vn = Seja L > 0 , vn < L , 6 62 n< L , 6 2 n < 6 L , 6 + 6L < 2 n , n > 6+6 2 L Considere-se p 2 N tal que p 6+6 2 L. Então para n > p, vn < L (lim vn = 1). Teorema 1 da comparação de sucessões
- un e vn são sucessões convergentes
- A partir de uma certa ordem, un vn Então lim un lim vn Exercício 4 Considera un = 4 n 2 n+1 e^ vn^ =^ 4 n^2 +cos^2 n n+ Mostra que un vn 8 n 2 N, 1 cos n 1 , 0 cos^2 n 1 , 4 n^2 4 n^2 + cos^2 n 1 + 4n^2 , 4 n 2 n+1 4 n^2 +cos^2 n n+1 ^ 1+4n^2 n+1 ,^ un^ ^ vn^ c.q.d. Teorema 2 da comparação de sucessões
Considera un = cos^ n+3n 2 2 n^2 +n Usando o Teorema das sucessões enquadradas determina lim un. 8 n 2 N, 1 cos n 1 , 1 + 3n^2 cos +3n^2 n 1 + 3n^2 , 1+3n 2 2 n^2 +n ^ cos n+3n^2 2 n^2 +n 1+3n^2 2 n^2 +n lim 1+3n 2 2 n^2 +n = lim^ 3 n^2 2 n^2 =^ 3 2 lim 1+3n 2 2 n^2 +n = lim^ 3 n^2 2 n^2 =^ 3 2 Pelo teorema das sucessões enquadradas lim cos^ n+3n 2 2 n^2 +n =^ 3 2 Exercício 8 Considera un = ( 4 nn+3+1 )n Usando o Teorema das sucessões enquadradas mostra que lim un = 0. n+3 4n+ -n - (^14 ) 4 11 4 D = d ⇥ q + r , n + 3 = (4n + 1) ⇥ 14 + 114 , 4 nn+3+1 = 14 + (^) 4(4^11 n+1) , 4 nn+3+1 = 14 + (^1611) n+ 8 n 2 N, 0 (^1611) n+4 1120 , 0 1120 1120 , 14 14 + 1120 14 + 1120 , 14 14 + 1120 1620 , (^14 )n^ (^14 + 1120 )n^ (^1620 )n lim 14 )n^ = lim (^41) n = 0 lim 1620 )n^ = lim(^45 )n^ = 0 porque o numerador é menor que o denominador. Pelo teorema das sucessões enquadradas lim( 4 nn+3+1 )n^ = 0 N ota importante: Conceito de vizinhança de uma sucessão un 2 V (a)
significa que a partir de uma ordem n p os termos da sucessão pertencem à vizinhança de raio de a. 8 n 2 N , 9 p 2 N n p |un a| < , un 2 V (a) , un 2 ]a , a + [
